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Cabrini, Catalano, Guariglia, Pilati, Verona. I due grandi capitoli dell’Analisi infinitesimale: calcolo integrale e calcolo differenziale Origini del.

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1 Cabrini, Catalano, Guariglia, Pilati, Verona

2 I due grandi capitoli dell’Analisi infinitesimale: calcolo integrale e calcolo differenziale Origini del calcolo integrale: i Greci Non esistevano le funzioni, quindi si studiavano problemi di calcolo di aree e volumi Procedimento adottato: metodo di esaustione (Eudosso di Cnido) 400 a.C. 200 a.C d.C. «riempire» un’area con delle figure note tali che la loro somma approssimi l’area cercata. > XVII sec.

3 Eudosso dimostra che un cerchio può essere “esaurito” da poligoni regolari iscritti con un numero di lati via via crescente. In termini moderni: metodo di esaustione = calcolo dell’integrale semplice. Eudosso fu il primo a sviluppare un calcolo che può definirsi la chiave dell’analisi infinitesimale moderna. Assioma di partenza “Si dice che hanno rapporto fra loro quelle grandezze che sono capaci se moltiplicate di superarsi a vicenda” 400 a.C. 200 a.C d.C. > XVII sec.

4 200 anni dopo: Archimede riprende il metodo di esaustione Problema: risolvere la quadratura del cerchio Idea: trovare l’area del cerchio  costruzione del quadrato di uguale area QUADRARE UNA FIGURA:significa costruire un quadrato di area uguale a quella della figura piana considerata. Se ciò è realmente possibile, allora si dice che la figura è >. 400 a.C. 200 a.C d.C. > XVII sec.

5 Aumentando il numero dei lati ci si avvicina sempre di più all’area del cerchio senza mai raggiungerla. Archimede pensò quindi che fosse possibile quadrare il cerchio. 225 a.C.: Archimede calcola l’area del cerchio costruendo poligoni inscritti e circoscritti. Il rapporto dell’area del cerchio con il suo raggio è un numero irrazionale!!! 400 a.C. 200 a.C d.C. > XVII sec.

6 Origini della scoperta: osservazione del rapporto tra circonferenza C e il suo diametro d All’aumentare del diametro del cerchio aumenta proporzionalmente anche la lunghezza della circonferenza 400 a.C. 200 a.C d.C. > XVII sec.

7 L’area del quadrato equivale esattamente al suo lato elevato al quadrato, applicando il teorema di Pitagora otteniamo: 400 a.C. 200 a.C d.C. > XVII sec.

8 Tra la morte di Archimede e il 1600 d.C.: il progresso occidentale subisce una lunga fase di rallentamento. Seicento: rinascita scientifica e matematica. Introduzione dei concetti di «limite» e di «serie» Va interpretato in chiave rigorosamente logica. Problema: il metodo di esaustione può funzionare come metodo empirico, ma non ha una dimostrazione rigorosa. 400 a.C. 200 a.C d.C. > XVII sec. Bonaventura Cavalieri

9 Bonaventura Cavalieri, un matematico del periodo, conosce Galileo Galilei che lo spinge a dedicarsi allo studio degli integrali pubblica Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, un’opera che si basa sui seguenti principi: Area = numero indefinitivamente grande di segmenti paralleli equidistanti (indivisibili di area) Volume = numero indefinitivamente grande di aree piane parallele (indivisibili di volume) Sviluppo del metodo degli indivisibili 400 a.C. 200 a.C d.C. > XVII sec.

10 Inizi XVII secolo: Fermat e Nicolaus Mercator riprendono le teorie di Cavalieri -> altri metodi per calcolare l'area sottesa di semplici funzioni. Fine XVII sec – inizio XVIII sec: -Newton, Leibniz, Johann Bernoulli scoprono indipendentemente il teorema fondamentale del calcolo integrale -> primitive. -Definizione di integrale per le funzioni continue in tutto un intervallo (Pietro Mengoli), migliorata da Cauchy, poi Riemann e infine Darboux. FermatNewtonBernoulli 400 a.C. 200 a.C d.C. > XVII sec.


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