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1 Alunno: Fabio Cacioppo Docente: Prof. Pietro Nastasi.

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1 1 Alunno: Fabio Cacioppo Docente: Prof. Pietro Nastasi

2 2 Sommario Cenni storici Il sistema numerico Le moltiplicazioni e le divisioni I problemi Plimpton 322 Conclusioni

3 3 Cenni storici: Il Regno di Babilonia (babilonese Babil, "porta di Dio") è un antico regno della Mesopotamia; conosciuto inizialmente come Sumer e in seguito come Sumer e Accad, si estendeva su un territorio tra il Tigri e l'Eufrate a sud dell'odierna Baghdad, in Iraq. Sviluppatasi dal XVIII al VI secolo a.C., la civiltà babilonese fu, come quella sumera che la precedette, una civiltà di carattere urbano. Nella regione si potevano contare più di una dozzina di città circondate da villaggi. A capo della struttura politica vi era il re, monarca assoluto che esercitava potere legislativo, esecutivo e giudiziario. Sotto di lui vi era un gruppo di governatori e amministratori. A un consiglio degli anziani della città era delegata l'amministrazione locale.

4 4 La cultura babilonese, complessa e articolata, influenzò quelle dei paesi confinanti, come il regno assiro (Assiria). Gli scavi archeologici hanno restituito molte tavolette d'argilla incise con caratteri cuneiformi, documenti preziosi della letteratura babilonese. La conoscenza della matematica babilonese è relativamente recente e si basa principalmente sui lavori di Otto Neugebauer ( ).I testi matematici babilonesi, incisi anch’ ‘essi su delle tavolette di creta si possono classificare in due gruppi principali: –tavolette contenti tabelle numeriche (il gruppo più numeroso) –tavolette contenenti problemi (di natura sia algebrica che geometrica)

5 5 Il sistema numerico babilonese, almeno quello scientifico (in quanto quello quotidiano usa spesso anche quello additivo per giustapposizione) presenta due caratteri originali, che non si riscontrano in alcun altro sistema antico e che sono rimasti ancor oggi nell’ uso astronomico: –il sistema numerico babilonese è un sistema posizionale. –il sistema numerico babilonese è in base sessagesimale. La notazione posizionale è del tutto opposta a quella additiva (per giustapposizione) diffusa in tutto il mondo antico, che ritroviamo ad esempio nelle cifre romane. Una “appropriata” spaziatura fra gruppi di cunei permetteva di distinguere posizioni che, lette da destra a sinistra, corrispondevano a potenze crescenti della base (qui potenze di 60). Ciascun gruppo di simboli cuneiformi avevano un valore locale. Il sistema numerico:

6 6 Infatti, volendo fare un paragone, a meno dei simboli usati per indicare i numeri della base, avremo ad esempio: 243 in base decimale 34,8,12 1 in base sessagesimale che interpreteremo nel modo seguente: 1 useremo proprio il simbolo “,” per indicare le diverse posizioni mentre il simbolo “;” lo useremo come separatore dei numeri interi dai numeri decimali Ma il sistema babilonese presentava un rilevante svantaggio: quello di non essere un sistema posizionale assoluto a causa della mancanza dello zero. Questa mancanza porta a due notevoli ambiguità: La prima è quella di non riuscire a collocare le cifre del numero nella giusta posizione; Per es. il numero 2 12 poteva essere interpretato senza alcuna obiezione (se non contestuale) in varie maniere, tra cui :

7 7 La seconda è quella di non avere neanche un simbolo (funzione svolta sempre dallo zero) per indicare che in una data posizione del numero non viene considerato alcun valore. Per esempio sempre per il numero 2 12 a causa di uno spazio più o meno vistoso si può interpretare,erroneamente, in due maniere diverse: E una simile ambiguità, forse non rilevante a prima vista, risulterà, come avremo la possibilità di vedere, decisiva in varie tavolette, tra cui proprio la Plimpton 322.

8 8 Le moltiplicazioni e le divisioni Abbiamo già detto che la maggior parte delle tavolette arrivateci sono tavole numeriche,e spesso erano di due tipi: –tavole di moltiplicazione (fatte da 2 colonne: m, m x n) –tavole di inversi (fatte anch’esse da due colonne: n, 1/n) Questo deriva proprio dal fatto che le divisioni dei babilonesi, almeno quelle per i numeri “regolari” 2,venivano fatte in due tempi; L’operazione m:n veniva infatti fatta, come avrebbe detto uno scriba babilonese al suo alunno, così: cerca l’ “inverso” di n nella tavola degli inversi moltiplica il numero trovato per m 2 La definizione di numero “regolare” data da Neugebauer è data nelle pagine seguenti

9 9 Per dividere 12 per 5 saprebbe, da una tavola di reciproci, che 1/5 corrisponde a 0,12 (infatti 1/5 = 12/60). Pertanto l’operazione 12 x 1/5 porta ancora a trovare il valore di 12 x 12, a meno della posizione, ovvero 2;24. Quindi il procedimento babilonese evitava completamente regole speciali per il computo di frazioni (siano queste unitarie, come quelle egizie, o no), ed esige che si ricordi correttamente il valore posizionale di ciascun numero che interviene nel computo (proprio come facciamo noi ad esempio nel calcolare la virgola decimale). Un’ ulteriore osservazione, riguardo il calcolo dei reciproci, è che la divisione dell’unità per un numero n è un’operazione semplice se i fattori di n sono, a meno di esponenti, quelli della base del sistema di numerazione. Uno scriba babilonese per moltiplicare ad esempio 12 per 12 userebbe la tavola del 12,trovando immediatamente il risultato 2,24.

10 10 Quindi possiamo dire sinteticamente che i babilonesi, sfruttando al meglio la flessibilità offerta dal loro sistema di numerazione, tramite la combinazione di tavole di moltiplicazione e di reciproci, riuscivano a calcolare “tutti” i prodotti a x 1/b. Dire che riuscivano a calcolare “tutti i prodotti” tramite le loro tavole non significa che queste erano perfettamente complete: oltre a essere naturalmente finite (troviamo tavole che vanno da 2 a 1,21), presentano chiaramente delle lacune. Infatti nelle tavole dei reciproci non troviamo il reciproco di 7, 13,14…. Ma riflettendoci un momento la ragione è evidente: In realtà, fissata una base del sistema numerico, se l’unità viene divisa per numeri diversi da quelli regolari, il risultato non può essere espresso con un numero finito di posti Come nel nostro sistema decimale la divisione dell’unità è immediata per un numero nella forma con 2 x ∙ 5 y con x, y naturali, analogamente lo è nel sistema sessagesimale per un numero nella forma 2 x ∙ 3 z ∙ 5 y con x, z, y naturali. Neugebauer ha chiamato questi numeri “regolari”.

11 11 Per es. prendiamo i numeri 25 e 9 Infatti per esempio se vogliamo esprimere 1/9 in sessagesimale, essendo 9 regolare, basta fare dei semplici passaggi: Base sessagesimale (i numeri regolari sono nella forma 2 x ∙ 3 z ∙ 5 y con x, z, y naturali) Base decimale (i numeri regolari sono nella forma 2 x ∙ 5 y con x, y naturali) == + ===

12 12 Un’ ultima osservazione rilevante è la presenza di diverse espressioni frazionarie: 1/2, 1/3, 2/3, 5/6. L’impiego di tali frazioni è un fatto originale per la cultura preclassica, in cui era diffuso l’uso delle frazioni unitarie.

13 13 I problemi In questo paragrafo riportiamo alcuni dei problemi che ho ritenuto interessanti nel mio studio. Spesso in una stessa tavoletta, di cui riporterò l’etichetta all’inizio di ogni problema (per esempio YBC 4652), vengono affrontati problemi di un’ uguale tipologia: infatti, quando ciò accade, svilupperò solo uno dei problemi della tavoletta, indicandone il numero che lo identifica. Ecco allora alcuni degli esercizi, inediti nel nostro corso, che ci preparano anche ad affrontare l’argomento più vasto della tavoletta Plimpton 322.

14 14 YBC 4652 Problema 21 Ho trovato una pietra, (ma) non l’avevo pesata; (dopo) ho sottratto un sesto (e) aggiunto un terzo di un ottavo, ho pesato (essa): 1 ma-na. Qual era (il peso) originale della pietra? (Il peso) originale della pietra era 1 ma-na, 9 gin, 21 ½ ŝe, e un decimo di ŝe. Cerchiamo di portare il problema in un linguaggio più idoneo al nostro. Il peso della pietra è la nostra incognita x. ho sottratto un sesto …. loro non intendono x-1/6 ma intendono ho sottratto a x un sesto di x. (e) aggiunto un terzo di un ottavo naturalmente sono un terzo di un ottavo di “qualcosa”… potremmo interpretare un terzo di un ottavo di x ovvero ma in realtà, sulla falsa riga degli esercizi precedenti della tavoletta ( il numero 19 e 20), bisogna interpretare ciò come

15 15 Quindi in conclusione la nostra equazione è che svolgendo le operazioni, possiamo scrivere La parte finale del testo ci dice che (Il peso) originale della pietra era 1 ma-na, 9 gin, 21 ½ ŝe, e un decimo di ŝe. Ora,tenendo presente, sempre dai due problemi precedenti, che 1 ma- na = 60 gin, dobbiamo riuscire a scoprire quanto sia per loro un ŝe. Dopo aver ottenuto 1 ma-na più 19/125 di ma-na portiamo quest’ultima frazione in sessantesimi

16 16 ovvero otteniamo i nove gin più 3/25 gin e quindi, stando sempre al testo dello scriba, dovrà essere che (Il peso) originale della pietra era 1 ma-na, 9 gin, 21 ½ ŝe, e un decimo di ŝe. gin ŝe dove facendo delle semplici operazioni otteniamo che 1 gin = 180 ŝe.

17 17 YBC 4186 Una vasca era 10 GAR quadrati, 10 GAR profondi. Ho fatto uscire [?] l’acqua che conteneva: con quest’ acqua quanto campo posso irrigare ad una profondità di 1 ŝu-si? Metti (da parte) 10 e 10 che formano il quadrato. Metti (da parte) 10, la profondità della vasca. E metti (da parte) 0;0,10 la profondità dell’acqua che irrigava il campo. Prendi il reciproco di 0;0,10 la profondità dell’acqua che irrigava il campo, e (il risultato) 6,0 moltiplicalo per 10, la profondità della cisterna, (e il risultato è) 1,0,0. 1,0,0 tienilo a mente. (Il quadrato[?]) 10, che forma il quadrato, (e il risultato è) 1,40. Moltiplica 1,40 per 1,0,0 che avevi tenuto a mente. Ho irrigato 1,40,0,0 (SAR) di campo.

18 18 Il testo assume una vasca di forma cubica, e la sua lunghezza L, larghezza B, e profondità H sono 10 GAR ciascuno. Il problema posto richiede il calcolo dell’area A del campo irrigato ad una profondità H A di 1 ŝu-si dall’acqua contenuta nella vasca. Dopo la trasformazione di H A = 1 ŝu-si = 0;0,10 GAR i calcoli vengono fatti in base alla formula Andiamo ad esaminare la “ricetta” per risolvere il problema data dallo scriba Prendi il reciproco di 0;0,10 la profondità dell’acqua che irrigava il campo, vogliamo calcolare il reciproco di 0;0,10 (0;0,10) R in base sessagesimale = (10∙60 -2 ) R in base decimale (10∙60 -2 ) R in base dec. = ∙60 2 =(1/6∙60) -1 ∙60 2 = (6·60 -1 )·60 2 = 6∙60 1 = 6,0 in base sessag.

19 19 e (il risultato) 6,0 moltiplicalo per 10, la profondità della cisterna, (e il risultato è) 1,0,0. 6,0·10 = 1,0,0 Non abbiamo fatto altro che calcolare della formula generale Ora dobbiamo moltiplicare questo per L e per B, ovvero come dice il testo 1,0,0 tienilo a mente. (Il quadrato[?]) 10, che forma il quadrato, (e il risultato è) 1,40. Moltiplica 1,40 per 1,0,0 che avevi tenuto a mente. Quindi 1,0,0 ·10·10 = 10,0,0 · 10 = 1,40,0,0 Che concorda con il risultato dato dallo scriba Ho irrigato 1,40,0,0 (SAR) di campo.

20 20 YBC 4608 Un triangolo. 6,30 è la lunghezza, (11,22),30 l’area; Non conoscevo (la sua [?]) larghezza. 6 fratelli lo hanno diviso. La parte di un fratello eccedeva (su quella) degli altri, ma di quanto eccedeva non lo sapevo. Di quanto eccede la parte di questo fratello sulle altre? Quando effettui (i calcoli), moltiplica l’area per due, (e il risultato è) 22,45,0. Il reciproco di 6,30 non è ottenibile. Quanto devo apporre a 6,30 affinché mi dia 22,45,0 ? Poni 3,30, (che è) la larghezza superiore. Prendi il reciproco di 6, i fratelli, (e moltiplica il risultato) 0;10 per 6,30 e ( il risultato) 1,5 (è) la lunghezza che ogni (…) 35 GAR è la larghezza. 35 (da 3,30 …) 35 da 2,5(5…) 35 da 2,2(0…) 35 da 1,4(5…) sottrai 35 da 1,10 (…) sottrai 35, e la lunghezza [?] (…)

21 21 Affrontiamo il problema passo passo: Un triangolo. 6,30 è la lunghezza, (11,22),30 l’area; Non conoscevo (la sua [?]) larghezza. L B1B1 6 fratelli lo hanno diviso. La parte di un fratello eccedeva (su quella) degli altri, ma di quanto eccedeva non lo sapevo. Di quanto eccede la parte di questo fratello sulle altre? L = 6,30 B 1 = ? A T = 11,22,30 B2B2 B3B3 B4B4 B5B5 B6B6 Seguiamo la ricetta dello scriba: Quando effettui (i calcoli), moltiplica l’area per due, (e il risultato è) 22,45,0. Il reciproco di 6,30 non è ottenibile. Quanto devo apporre a 6,30 affinché mi dia 22,45,0 ? Poni 3,30, (che è) la larghezza superiore

22 22 Ovvero sta usando la formula inversa dell’area del triangolo Infatti 2A T = 2·11,22,30 = 22,45,0 Poiché il reciproco di 6,30 non lo trova nelle tavole, si domanda: Quanto devo apporre a 6,30 affinché mi dia 22,45,0 ? Ovvero “per quante volte devo moltiplicare 6,30 affinché mi dia 22,45,0 ?”, non sta facendo altro che una divisione come l’inverso della moltiplicazione! Proviamo ad effettuarla con il nostro algoritmo … L B1B1 L = 6,30 B 1 = ? A T = 11,22,30 B2B2 B3B3 B4B4 B5B5 B6B6

23 23 ( 6,00 x 30 ) + ( 30 x 30 ) = ( {6 x 60} x {½ x 60} ) + {900} = 22,45,00 6,30 22,45,00 6, ,45,00 6,30 19,303 22,45,00 6,30 19,303 3,15 22,45,00 6,30 19,303, 3,15,00 22,45,00 6,30 19,303,30 3,15,00 6,30 x 30= 6,30 x ( {6 x ½} x {60 2 } ) + 15,00 = 3,00, ,00 = 3,15,00 6,30 x 30= 3,15,00 22,45,00 6,30 19,303,30 3,15,00 22,45,00 6,30 19,303,30 3,15,00 0 Proviamo a controllare effettivamente quanto fa 6,30 x 30 Applicando semplicemente la proprietà distributiva, e indicando in parentesi graffa la notazione decimale, si ha: Effettivamente allora abbiamo trovato quante volte devo moltiplicare 6,30 affinché mi dia 22,45,0: lo devo moltiplicare per 3,30 volte. Possiamo ora continuare il problema. Poni 3,30, (che è) la larghezza superiore.

24 24 Il testo prosegue L = 6,30 B 1 = ? A T = 11,22,30 L = 6,30 B 1 = 3,30 A T = 11,22,30 Prendi il reciproco di 6, i fratelli, (e moltiplica il risultato) 0;10 per 6,30 e ( il risultato) 1,5 (è) la lunghezza che ogni (…) Non è che la banale divisione della base L del triangolo per 6, il numero dei fratelli (6) R = 0;10 6,30·0;10 = 6;30·10 = (6·10) + (0;30·10) = 1,0 + ( ½ · 10) = 1,5 A questo punto il passo successivo ci dice 35 GAR è la larghezza. 35 (da 3,30 …) L1L1 L = 6,30 B 1 = 3,30 A T = 11,22,30 L 1 = 1,5 L B1B1 B2B2 B3B3 B4B4 B5B5 B6B6

25 25 Svolgendo il problema, anche in maniera autonoma, si trova che 35 è proprio B 6 e il testo sembra dire che 35 si ricava da 3,30 che ormai sappiamo essere B 1 L = 6,30 B 1 = 3,30 A T = 11,22,30 L 1 = 1,5 B 6 = 35 Allora usando la similitudine dei triangoli OCD e OEF si ha la seguente proporzione L 1 : L = B 6 : B 1 35 da 2,5(5…) 35 da 2,2(0…) 35 da 1,4(5…) sottrai 35 da 1,10 (…) sottrai 35, e la lunghezza [?] (…) L = 6,30 B 1 = 3,30 A T = 11,22,30 L 1 = 1,5 OC D F E L1L1 L B1B1 B2B2 B3B3 B4B4 B5B5 B6B6

26 26 35 da 2,5(5…) 35 da 2,2(0…) 35 da 1,4(5…) sottrai 35 da 1,10 (…) sottrai 35, e la lunghezza [?] (…) Per trovare i restanti B5 B4 B3 e B2 basta continuare ad usare la similitudine, questa volta tra OCD e OGH: e otteniamo 2L 1 : L = B 5 : B 1 L = 6,30 B 1 = 3,30 A T = 11,22,30 L 1 = 1,5 B 6 = 35 L1L1 L B1B1 B2B2 B3B3 B4B4 B5B5 B6B6 OC D F E H G Ed alla stessa maniera si trova

27 27 Ci si domanda come invece lo scriba abbia ottenuto i risultati in ordine inverso. Basta verificare che 35 da 2,5(5…) 35 da 2,2(0…) 35 da 1,4(5…) sottrai 35 da 1,10 (…) sottrai 35, e la lunghezza [?] (…) L = 6,30 B 1 = 3,30 A T = 11,22,30 L 1 = 1,5 B 6 = 35 B 5 = 1,10 B 4 = 1,45 B 3 = 2,20 B 2 = 2,55 L1L1 L B1B1 B2B2 B3B3 B4B4 B5B5 B6B6 OC D F E H G L = 6,30 B 1 = 3,30 A T = 11,22,30 L 1 = 1,5 B 6 = 35 Risultato già trovato ma che ci fa notare che allora E quindi possiamo ottenere i risultati proprio nell’ordine dell’autore

28 28 YBC 6967 L’ “igibum” supera l’ “igum” di 7. Quanto (sono l’igum e) l’igibum ? Quanto a te – dimezza 7, di cui l’igibum supera l’igum, e (il risultato è) 3;30.Moltiplica insieme 3;30 con 3;30, e (il risultato è) 12;15. A 12;15, che hai come risultato, aggiungi ( 1,0,il prodotto,) e ( il risultato è) 1,12;15.Qual è (la radice quadrata di 1,)12,15? (Risposta:) 8;30.Metti da parte (8;30 e) 8;30, il suo uguale,e dopo sottrai 3;30, il “takiltum”, da uno, aggiungi (questo) all’altro.Uno è 12. l’altro è l’igibum, 5 l’igum. Il problema qui trattato appartiene ad una ben nota classe di equazioni di secondo grado caratterizzate dai termini accadici “igibum” ed “igum”. Questi termini si riferiscono ad una coppia di numeri che oltre ad avere una relazione numerica che li lega sono uno il reciproco dell’altro, più in generale numeri il cui prodotto è una potenza di 60. Prima di affrontare tale problema dobbiamo ricordare che i babilonesi avevano una maniera ben precisa di risolvere questo tipologia di problemi.

29 29 Loro se conoscevano la somma s e il prodotto p di due numeri x e y oppure se conoscevano la differenza d e il prodotto p usavano le formule Da dove hanno ricavato tali formule? Si pensa dalle formule del completamento del quadrato infatti dalla c) ad esempio si ricava da cui c)d) a)b)

30 30 e invece con lo stesso tipo di passaggi dalla d) si ricava Risultati che ci ricordano, e in effetti sono casi particolari, la nostra formula per la soluzione delle equazione di secondo grado dove infatti Torniamo al nostro problema.

31 31 Possiamo seguire passo passo la ricetta dello scriba… effettivamente è come se egli avesse la formula davanti Quanto a te – dimezza 7, di cui l’igibum supera l’igum, e (il risultato è) 3;30. Moltiplica insieme 3;30 con 3;30, e (il risultato è) 12;15. A 12;15, che hai come risultato, aggiungi ( 1,0,il prodotto,) e ( il risultato è) 1,12;15. Qual è (la radice quadrata di 1,)12,15? (Risposta:) 8;30. Metti da parte (8;30 e) 8;30, il suo uguale, e dopo sottrai 3;30, il “takiltum”, da uno, aggiungi (questo) all’altro. Uno è 12. l’altro è l’igibum, 5 l’igum. Ed ecco risolto il problema, avendo seguito le indicazioni dello scriba. Gli stessi calcoli, a meno dell’estrazione di radice, risultano molto semplici.

32 32 YBC 4662 Problema 21 Una ki-lá. 7 ½ SAR è l’area, 45 SAR il volume; 3 un settimo di quanto la lunghezza eccede sulla larghezza è uguale a ½. Quali sono la lunghezza, la larghezza e la sua profondità? Quando effettui (i calcoli), prendi il reciproco di 7 ½ SAR, l’area, (moltiplica per) 45, (il volume, e) tu otterrai la sua profondità. Dimezza 4 il sette che è stato assunto prima, (e) otterrai 3;30. Prendi il reciproco della sua profondità, (e) otterrai 0;10. Moltiplica 0;10 per 45 (SAR), il volume, (e) otterrai 7;30. Dimezza 3;30, (e) otterrai 1;45 : 5 moltiplica insieme 1;45 con 1;45, (e) otterrai 3;3,45. Aggiungi 7;30 a 3;3,45, (e) otterrai 10;33,45 : così per 10;33,45, (prendi) la sua radice quadrata, (e) otterrai 3;15 : opera con 3;15 (per due volte): aggiungi 1;45 all’uno, sottrai 1;45 all’altro, (e) otterrai la lunghezza e la larghezza. 5 GAR è la lunghezza; (1 ½ GAR è la larghezza). 3 era tradotto “un settimo di quello per cui la lunghezza eccede la larghezza è la sua profondità.” 4 era tradotto “l’un settimo” 5 era tradotto “moltiplica insieme 1;45 volte 1;45”

33 33 Sviluppiamo il problema come al solito seguendo le indicazioni dello scriba Una ki-lá. 7 ½ SAR è l’area, 45 SAR il volume; 3 un settimo di quanto la lunghezza eccede sulla larghezza è uguale a ½. Quali sono la lunghezza, la larghezza e la sua profondità? A = 7 ½ V = 45 a = ? b = ? p = ? Lo scriba continua Quando effettui (i calcoli), prendi il reciproco di 7 ½ SAR, l’area, (moltiplica per) 45, (il volume, e) tu otterrai la sua profondità. Non sta facendo altro che usare la formula (7 ½ ) R = (7 + 0;30) R p = V·A R = 45·(7;30) R = 6 A = 7 ½ V = 45 a = ? b = ? p = 6

34 34 A = 7 ½ V = 45 a = ? b = ? p = 6 Dimezza 4 il sette che è stato assunto prima, (e) otterrai 3;30. Prendi il reciproco della sua profondità, (e) otterrai 0;10. Moltiplica 0;10 per 45 (SAR), il volume, (e) otterrai 7;30. 7:2 = 3;30 (p) R = (6) R = 0;10 V·(p) R = 45·0;10 = 7;30 = a·b = A Effettivamente questi due ultimi passaggi sembrano inutili, in quanto il prodotto a·b = A lo conosceva già! Si tratta forse di una svista dello scriba. Dal prossimo passaggio lo scriba utilizza la formula, a noi ormai nota,con una certa variante, Infatti egli non conosce d = a – b ma sa che 3 un settimo di quanto la lunghezza eccede sulla larghezza è uguale a ½.

35 35 Allora procede nel seguente modo A = 7 ½ V = 45 a = ? b = ? p = 6 Dimezza 3;30, (e) otterrai 1;45 : 5 moltiplica insieme 1;45 con 1;45, (e) otterrai 3;3,45. Aggiungi 7;30 a 3;3,45, (e) otterrai 10;33,45 : così per 10;33,45, (prendi) la sua radice quadrata, (e) otterrai 3;15 : opera con 3;15 (per due volte): aggiungi 1;45 all’uno, sottrai 1;45 all’altro, (e) otterrai la lunghezza e la larghezza. 5 GAR è la lunghezza; (1 ½ GAR è la larghezza). Una volta fatta un po’ di pratica non è più necessario imbattersi in conti manuali in sessagesimale. Quindi conviene, per controllare, riportarsi i conti in decimale A = 7 ½ V = 45 a = 5 b = 1;30 p = 6

36 36 BM Ho messo insieme le superfici di due miei quadrati: 21;15. Il lato di uno è un settimo meno dell’altro. Annota 7 e 6. Tu moltiplica 7 e7: 49. Tu moltiplica 6 e 6. Tu somma 36 e 49: 6 1,25. Il reciproco di 1,25 non può essere trovato. Per cosa devo moltiplicare io 1,25 per darmi 21;15? 0;15. 0;30 il lato. Tu moltiplica 0;30 per 7: 3;30 il primo lato. Tu moltiplica 0;30 per 6: 3 il secondo lato. Problema 10 I dati del problema sono semplicemente: Vediamo che tecnica di risoluzione adotta seguendo, ancora una volta, le istruzioni dello scriba … 6 era trascritto, per ogni sua occorrenza nel testo, come 1;25.

37 37 Annota 7 e 6. Tu moltiplica 7 e7: 49. Tu moltiplica 6 e 6. Tu somma 36 e 49: 6 1, ·7 = 49 6·6 = = 1,25 Il reciproco di 1,25 non può essere trovato. Per cosa devo moltiplicare io 1,25 per darmi 21;15? 0;15. (1,25) R = ? n·1,25 = 21;15 ↔ 21;15 : 1,25 = n, ovvero n = 0; Ormai i calcoli li effettuiamo col calcolatore solo come controllo 0;30 il lato. 0;15, per come è stato ottenuto, ha dimensione di un quadrato. Il suo lato è allora Tu moltiplica 0;30 per 7: 3;30 il primo lato. Tu moltiplica 0;30 per 6: 3 il secondo lato. 0;30·7 = 3,30 = y 0;30·6 = 3,00 = x

38 38 Annota 7 e 6. Tu moltiplica 7 e7: 49. Tu moltiplica 6 e 6. Tu somma 36 e 49: 6 1, ·7 = 49 6·6 = = 1,25 Il reciproco di 1,25 non può essere trovato. Per cosa devo moltiplicare io 1,25 per darmi 21;15? 0;15. (1,25) R = ? n·1,25 = 21;15 ↔ 21;15 : 1,25 = n, ovvero n = 0;15 0;30 il lato. 0;15, per come è stato ottenuto, ha dimensione di un quadrato. Il suo lato è allora Tu moltiplica 0;30 per 7: 3;30 il primo lato. Tu moltiplica 0;30 per 6: 3 il secondo lato. 0;30·7 = 3,30 = y 0;30·6 = 3,00 = x

39 39 Per capire meglio il procedimento che ha seguito, osserviamo come ha ottenuto ad esempio y Ovvero non ha fatto altro che una sostituzione dove Ugualmente si ricava x dalla formula

40 40 Plimpton 322 La denominazione è dovuta al fatto che la tavoletta porta il numero "322" nel catalogo della collezione di G.A. Plimpton della Columbia University. La tavoletta risale ad un periodo imprecisato tra il 1900 e il 1600 a.C. ( probabilmente al periodo del grande Hammurabi, 18° secolo a.C. ). La tavoletta è mutila e il suo bordo sinistro, danneggiato, porta tracce di colla, segno che la tavoletta si è rotta dopo che era stata riportata alla luce e che, incollata, le due parti si sono successivamente separate. Forse la parte mancante, giace da qualche parte in qualche museo.

41 41 Come molte altre simili tavolette, è stata interpretata inizialmente come un inventario od un registro. Proviamo innanzitutto a sfatare questa superficiale interpretazione della tavoletta. La parte restante della tavoletta, quella destra della tavoletta più ampia, contiene 4 colonne. Indicheremo le prime 3 colonne (la quarta non indica altro che il numero della riga) rispettivamente con A, B,C. Alla colonna A, nonostante i buchi dovuti all’erosione, sembrano appartenere numeri in ordine decrescente. Si notano numeri di lunghezza sia corta che lunga, apparentemente a caso. Invece i numeri della colonna B e C sono piuttosto corti, e non si notano forme di monotonicità. Traduciamo i numeri in notazione arabica per incominciare a trovare qualche modello

42 42 Notiamo che Tranne che in due casi (riga 13 e 15) i numeri di colonna B sono più piccoli di quelli di C La colonna B contiene esattamente un numero primo (541) mentre la C ben 8 primi Stimolati da ciò continuiamo a cercare altri modelli, combinando ad esempio i valori di B e di C. Proviamo a sommare e sottrarre i valori creando le colonne C+B e C-B. Nei primi interi ci sono circa primi (pressappoco il 10%). Se ci riflettiamo in una colonna di 15 interi ci aspettiamo 1, 2 primi, non certo 8! Questo ci dice subito che la tavoletta è di tipo matematico e non soltanto aritmetica.

43 43 Troviamo subito che in molti casi i numeri delle colonne create sono il doppio di quadrati perfetti. Infatti se C+B = 2a 2 e C-B = 2b 2 allora B = a 2 - b 2 e C = a 2 + b 2. Sembra allora che i numeri della colonna B e C della tavoletta Plimpton siano generati da delle coppie (a,b). Riscriviamo le due colonne B e C con le relative coppie (a,b) nei casi in cui è possibile.

44 44 Notiamo di essere sulla giusta via in quanto le coppie sono “buoni” sessagesimali, ovvero fattorizzabili in potenze di 2 3 e 5. In 5 casi il modello fallisce e non esistono le coppie. Possiamo allora cominciare a ipotizzare errori dello scriba che ha prodotto tale tavoletta. Studiamo i 5 casi di incompatibilità sul modello, ipotizzando almeno uno dei due valori (di B o di C) corretto.

45 45 Riga 9: B = 541, che è il solo primo nella colonna B. Perciò consideriamo B sbagliato e C corretto. Considerando C = 769 = a 2 + b 2,l’unica soluzione è la coppia (25,12) Così B = a 2 - b 2 = 481. C’è una possibile spiegazione per l’errore compiuto? Si: {481} = 8;1 mentre {541} = 9;1… sembra un semplice errore di copiatura. Riga 13: B = > C = 289 Perciò consideriamo B sbagliato e C corretto. Considerando C = 289 = a 2 + b 2,l’unica soluzione “buona” è la coppia (15,8). Così B = a 2 - b 2 = 161. C’è una possibile spiegazione per l’errore compiuto? Una risposta parziale è immediata: (161) 2 = 25921… sembra che lo scriba registri, per non sappiamo quale motivo, il valore del quadrato di B piuttosto che di B.

46 46 Riga 15: B = 56 > C = 53 Non sappiamo quale dei due sia sbagliato. Se consideriamo C corretto allora da C = 53 = a 2 + b 2 otteniamo l’unica soluzione (7,2). Scartiamo questa ipotesi non essendo 7 un “buon” sessagesimale. Allora B = a 2 - b 2 = 56. Questa equazione ha due soluzioni (15,13) e (9,5). Prendiamo, naturalmente la seconda coppia (9,5). Così C = a 2 + b 2 = 106. C’è una possibile spiegazione per l’errore compiuto? Una risposta parziale è immediata: 160:2 = 53… sembra che lo scriba registri, per non sappiamo quale motivo, il valore dimezzato di B piuttosto che di B.

47 47 Riga 2: B = 3367, C = Non sappiamo quale dei due sia sbagliato. Se consideriamo C corretto allora da C = 53 = a 2 + b 2 otteniamo due soluzioni (100,39) e (89,60). Scartiamo questa ipotesi non essendo né 39 né 89 “buoni” sessagesimali. Allora B = a 2 - b 2 = Questa equazione ha quattro soluzioni (1684,1683), (244,237), (136,123), (64,27). Possiamo accettare l’unica coppia “buona” (64,27). Così C = a 2 + b 2 = C’è una possibile spiegazione per l’errore compiuto? Non esiste una spiegazione immediata, e non sembra nemmeno un errore di copiatura, essendo {4825} = 1,20,25 e = 3,12,1.

48 48 Riga 11: B = 45, C = 75 Non sappiamo quale dei due sia sbagliato. È l’unico caso in cui B e C non sono primi fra loro. Neugebauer interpreta ciò arbitrariamente: Ricordiamo che C+B = 120 e C-B = 30 Ma in notazione sessagesimale C+B = {120} = 2,0 valore doppio di 1,0 che si può scrivere pure come 1, quadrato perfetto. Ugualmente C-B = {30} = 30 = 2·15. A sua volta se scriviamo 15 come 0;15 = ¼,quadrato perfetto di ½. Ma a parer mio possiamo interpretare B = {45} = 45 = 45,0 = 2700 (in quanto il sistema babilonese non è posizionale assoluto) C = {75} = 1,15 = 1,15,0 = 4500 Tutto torna al suo posto, poiché C = a 2 + b 2 e B = a 2 - b 2 allora

49 49 Ecco allora la tabella corretta per le colonne B e C Affrontiamo ora un'altra domanda cruciale: qual è lo scopo della tavoletta? Varie interpretazioni si sono date alla tavoletta Plimpton 322. Incominciamo a chiederci se i numeri nella forma a 2 + b 2, a 2 - b 2 hanno qualche proprietà. Una relazione piuttosto suggestiva ci viene data dalla formula (a 2 - b 2 ) 2 + (2ab) 2 = (a 2 + b 2 ) 2 (formula euclidea per la generazione di terne pitagoriche)

50 50 Quindi se noi introduciamo la colonna D = 2ab, D sarà insieme ad A e B, la colonna dei numeri tali che B 2 + D 2 = C 2, ovvero la tavoletta si configura come una serie di triplette pitagoriche, generate dalle coppie di interi (a,b). C = a 2 +b 2 B =a 2 -b 2 Non ci sono informazioni che mostrano che questa formula era conosciuta al tempo in cui venne scritta la tavoletta, benché la loro algebra aveva già dominato le soluzioni delle equazioni quadratiche.

51 51 Se la tavoletta effettivamente è connessa a questa interpretazione, la colonna A deve avere una certa relazione col triangolo retto dato da B C e D. Il passo successivo sarà allora procedere come prima e tentare differenti combinazioni di C B e D, nella speranza che una approssimi i valori della colonna A. Dopo un po’ di tentativi si trova che A = (B / D) 2. C = a 2 +b 2 B =a 2 -b 2 A = (B/D) 2 θ Infatti la ricostruzione è stata difficoltosa soprattutto perché la colonna A è quella che ha risentito di più dell’erosione. Anche qui si riscontrano errori minori di copiatura: Per esempio troviamo:

52 52 Riga 13: Infatti ritroviamo 27,3,45 invece del valore esatto (B / D) 2 27,0,3,45 ciò si pensa essere un’abitudine dello scriba non marcare tale presenza dello 0, oppure ciò potrebbe essere la conseguenza di uno spazio vuoto non abbastanza largo (notazione usata in alcuni testi babilonesi per indicare la presenza di nessuna cifra in quella posizione). C = a 2 +b 2 B =a 2 -b 2 A = (B/D) 2 θ Riga 8: Troviamo 41,33,59,3,45 invece del valore esatto (B / D) 2 41,33,45,14,3,45 è evidente l’errore fatto nel sommare i valori 45 e 14 piuttosto di scriverli separati: = 59. Osserviamo allora la tavola ricostruita fino ad ora

53 53 In questa tabella abbiamo aggiunto anche il valore di A in sessagesimale, per poter notare meglio gli errori di copiatura appena affrontati, includendo pure alla fine l’ottava riga originaria. C = a 2 +b 2 B =a 2 -b 2 A = (B/D) 2 θ

54 54 C = a 2 +b 2 B =a 2 -b 2 A = (B/D) 2 θ Neugebauer e Sachs non usano la notazione (B / D) 2 ma piuttosto (C /D) 2. Nella notazione che abbiamo riportato noi non bisognerebbe far altro che aggiungere un 1; all’inizio di ogni riga in quanto (C / D) 2 = (B / D) 2 +1 ↔ C 2 = B 2 + D 2 Ma i pareri degli studiosi che hanno esaminato la tavoletta sul valore originale della colonna A come (B / D) 2 o (C / D) 2 rimangono separati. Riesaminiamo alcuni nostri ragionamenti fatti. Nelle righe 2,9,13,e 15 lo scriba registra l’esatto valore di A ma non quello di B e C. Questo suggerisce fortemente che A non è stato calcolato direttamente dai valori di B e C, ma le tre colonne sono state calcolate indipendentemente, e ciò accredita ancora di più l’ipostesi che i dati della tabella nascono da valori non presenti nella tabella (ad esempio le coppie (a,b) ). Potrebbe anche essere che la tavoletta Plimpton 322 sia una copia di una tavola madre a noi non arrivata.

55 55 C = a 2 +b 2 B =a 2 -b 2 A = (B/D) 2 θ Ma nascono pure altre domande (argomentate dallo stesso Neugebauer). Se effettivamente la tavoletta riporta una raccolta di terne pitagoriche, perché non ritroviamo la colonna D? Perché è invece riportato il valore del quadrato della tangente dell’angolo? E perché i dati sono proprio registrati in ordine decrescente per i valori di A? Esiste una variante di tutta questa interpretazione. Soffermiamoci sul fatto che il computo della tabella A avviene in maniera decrescente da un angolo di circa 45° ad uno di circa 30°, ad intervalli pressappoco di un grado l’uno. È un caso? Sopra un suggerimento di Bruins è stata più recentemente proposta un’ipotesi da Voils. Alcuni studiosi ipotizzavano l’uso di tipo astronomico della tavoletta e quindi una certa spiegazione per tale ordine dei valori in A. Ma tale ipotesi non ha avuto riscontri.

56 56 Inoltre abbiamo già visto che i babilonesi avevano una maniera ben precisa di risolvere tale tipo di problemi, usando, secondo i casi le formule Voils collega questa classe di problemi alla tavoletta Plimpton in questo modo: Per prima cosa assume come Bruins che la tavola non è calcolata dalle coppie (a,b) ma da un singolo parametro, il numero x = a/b Poiché sia a che b sono “buoni” sessagesimali il numero x e il suo reciproco x r sono facilmente calcolabili da una tavola di reciproci. x = a·b r e x r = b·a r dove a r e b r compaiono in una tavola standard di reciproci. Sappiamo benissimo che in molti testi scolastici erano proposti problemi del tipo “igum”-“igibum”. Come abbiamo già detto questi termini si riferiscono ad una coppia di numeri che oltre ad avere una relazione numerica che li lega sono uno il reciproco dell’altro, più in generale numeri il cui prodotto è una potenza di 60.

57 57 Così osservando che. notiamo come la tavoletta Plimpton potrebbe essere calcolata semplicemente da una tavola di reciproci babilonese. Voils osserva pure che il valore di A non sarebbe altro che il secondo passo della soluzione algoritmica del problema igum-igibum! Nell’esempio della tavoletta YBC 6967 trovavamo L’ “igibum” supera l’ “igum” di 7. Quanto (sono l’igum e) l’igibum ? Quanto a te – dimezza 7, di cui l’igibum supera l’igum, e (il risultato è) 3;30. Moltiplica insieme 3;30 con 3;30, e (il risultato è) 12;15 Ovvero Quanto a te – dimezza d, di cui x supera x r, e (il risultato è) ½ ·( x - x r ). Moltiplica insieme ½ ·( x - x r ) con ½ ·( x - x r ), e (il risultato è) [½ ·( x - x r )] 2.

58 58 Quindi Voils presenta la tavoletta Plimpton 322 non come una tavoletta di triplette pitagoriche o trigonometriche ma come tavola pedagogica concepita come strumento di aiuto agli insegnanti di matematica del periodo. Secondo lui è una tavoletta dalla quale possono scaturire un largo numero di problemi igum-igibum, conoscendo a priori la soluzione e il passo intermedio [½ ·( x - x r )] 2 che coincide col valore registrato in A. Un’ulteriore possibile conferma di tale interpretazione è il seguente fatto.

59 59 Cominciamo a costruire tutte le coppie di numeri (a,b) di interi coprimi tali che b < a < 100, e ogni intero a e b sia “buono”, fattoriabile in potenze di 2,3 e 5. Sarà poi facile trovare x e x r come x = a·b r e x r = b·a r. Costruendo una tabella di queste coppie tali che x sia decrescente, e imponendo l’ulteriore restrizione (ciò corrisponde alla limitazione dell’angolo θ del triangolo rettangolo compreso tra C e D) C = a 2 +b 2 B =a 2 -b 2 A = (B/D) 2 θ Il risultato coincide con la tavoletta corretta vista precedentemente, a meno delle coppie (125,54) e la coppia (60,30). Dopo aver incontrato queste due interpretazioni, ho provato ad approfondire questa ultima di cui ancora non testavo la costruzione. Supponiamo di volere una tavola graduale di numeri x e i propri reciproci x r.

60 60 Innanzi tutto esaminiamo i valori di A della tavoletta. Sperimentiamo effettivamente che il valore dell’angolo θ è proprio 30° < θ < 45° C = a 2 +b 2 B =a 2 -b 2 A = (B/D) 2 θ Il passo successivo è quello di testare se effettivamente la seconda costruzione delle terne funziona.

61 61 Dobbiamo anzitutto cominciare a, come ci suggeriva il procedimento costruire tutte le coppie di numeri (a,b) di interi coprimi tali che b < a < 100, e ogni intero a e b sia “buono”, fattoriabile in potenze di 2,3 e 5. Costruendo una tabella di queste coppie tali che x sia decrescente, e imponendo l’ulteriore restrizione Come costruiamo tali coppie? Possiamo farci aiutare dal calcolatore. Ecco che ho allora allegato i testi di alcune funzioni, scritte in sintassi Matlab, ma facilmente leggibili per chi ha un minimo di nozioni di programmazione. Analizziamo le varie funzioni utilizzate, per arrivare alla funzione finale “nicepair” che ci darà le coppie cercate f = invt Descrizione: La funzione, dato un vettore di valori inverte l’ordine dei suoi elementi Algoritmo: Si crea un nuovo vettore che viene “riempito” a cominciare dall’ultimo elemento del vettore iniziale……

62 62 f = primo Descrizione: Dato un intero la funzione restituisce l’intero stesso se è primo, oppure il suo più piccolo divisore Algoritmo: Un numero è primo se gli unici suoi divisori sono 1 e se stesso. E quindi N è un numero primo se e solo se f = coprimi2 Descrizione: Data una coppia di interi la funzione restituisce il valore 1 (= Vero) se sono coprimi, 0 (= Falso) se non lo sono Algoritmo: Si controlla se, in ordine, Sono entrambi primi (allora saranno sicuramente coprimi) Sono uno divisore dell’altro (allora non saranno sicuramente coprimi) Esistono divisori comuni a partire da 2 fino al valore più piccolo della coppia

63 63 f = nicesd Descrizione: Restituisce tutti i numeri interi compresi tra 2 e 99 che siamo “buoni sessagesimali” Algoritmo: Con l’aiuto delle funzioni precedenti Crea la lista dei numeri primi da 7 a 99 ( i numeri 2,3,5,6 sappiamo già essere buoni sessagesimali) Controlla per ogni N,compreso tra 7 e 99, se sia divisibile per 2,3,5 Se lo è controlla che N non sia divisibile per alcun primo minore del numero stesso f = nicepair Descrizione: La funzione, utilizzando i numeri trovati da nicesd, crea tutte le coppie (a,b) tali che a>b e a,b siano coprimi Algoritmo: Con l’aiuto delle funzioni precedenti Inverte la lista di numeri trovata da nicesd per poter “lavorare meglio” Con due cicli annidati crea le coppie (a,b) controllando che a e b siano coprimi.

64 64 Così, come prefissatoci, siamo riusciti a costruire tutte le coppie di numeri (a,b) di interi coprimi tali che b < a < 100, e ogni intero a e b sia “buono”, fattoriabile in potenze di 2,3 e 5. Ci rimane solo da ordinarle in modo tale che x = a·b r sia decrescente

65 65 Ecco la tabella ordinata In cui riusciamo già a vedere le coppie (a,b) della Plimpton 322

66 66 Consideriamo uno scorcio della tabella più vicino a ciò che ci interessa Notiamo che come ben ci diceva l’autore troviamo, ordinate, le coppie della tavoletta a meno delle righe 5 e 11. Comunque ritroveremmo anche la riga 11 in veste della coppia (2,1) se avessimo considerato anche il numero 1 come buon sessagesimale per creare il valore x = a·b r.

67 67 Ma a questo punto mi è sembrato opportuno chiedermi perché dovevamo fermarci a 99 per cercare i buoni sessagesimali quando ancora ci manca completamente la riga 5 perlopiù in cui figura una coppia in cui uno dei due elementi, a, ha valore 125! Quindi con una semplice, ma radicale, modifica alle funzioni “nicesd” e “nicepair” in cui si estende il campo di ricerca a b < a < 126 otteniamo il risultato sperato: E oltre ad apparire la coppia cercata (125,54), troviamo al posto della coppia (60,30), che esce a priori dal modello matematico della tavoletta avendo dei fattori comuni, la coppia (125,64)

68 68 Il fatto di trovare un’altra coppia al posto di quella della riga 11 non deve suscitare alcuno stupore. Infatti non abbiamo mai cercato di individuare in un nostro modello la coppia “generatrice” della riga 11 appunto perché esce fuori dallo schema generale di tutta la tavoletta. Ricordiamo inoltre che nella riga 11, in cui figurano i numeri 110, appare sempre vero che essa è l’unica riga in cui B e C non sono primi fra loro. ABC Volendo riassumere in una tabella quello che abbiamo trovato in questo ultimo caso otteniamo la seguente tavola, in cui abbiamo “esteso” la tavoletta fino a due righe successive: Teniamo sempre presente che effettivamente il valore di A all’ undicesima riga porta essenzialmente ad escludere altri valori di B e C diversi dai precedenti, essendo A il valore 0;33,45 = {0,56250} perfettamente d’accordo con essi.

69 69 11a valore trovato seguendo l’algoritmo del modello D colonna non presente (insieme ad a,b,a/b) nella tavoletta Plimpton 322 C = a 2 +b 2 B =a 2 -b 2 A = (B/D) 2 θ Plimpton 322: ricostruzione

70 70 Conclusioni Abbiamo trovato numerosi problemi in cui vengono applicate regole algebriche e geometriche, ma senza alcuna dimostrazione. Probabilmente i matematici babilonesi non ne hanno mai sentito il bisogno, e inoltre, tale carattere “pratico” della matematica, è comune a tutta la matematica pre-classica greca. Si tratta effettivamente di “ricette” per come risolvere i vari problemi proposti, ma bisogna non dimenticare che questo non significa affatto che la matematica babilonese sia puramente “aritmetica”: Infatti abbiamo notato proprio come lo scriba descriva il procedimento risolutivo delle equazioni quadratiche come se avesse la nostra formula moderna davanti agli occhi. Troviamo numerose tavolette in cui uno stesso problema è ripetuto cambiando solamente i dati numerici. È probabile che questa era proprio la tecnica adoperata, come ai giorni nostri, per insegnare agli alunni formule e procedimenti.

71 71 Bisogna tenere presente la bassa conoscenza che si ha in materia di tavolette babilonesi. Noi ne conosciamo poche e non sappiamo effettivamente quante altre tavolette ci siano ancora da trovare o da tradurre. La difficoltà di tale studio non è bassa: in casi come ad esempio la Plimpton 322, in cui non compaiono altro che numeri e scritte senza figure geometriche, la difficoltà aumenta. Un’ultima considerazione sulla tavoletta Plimpton 322. Subiamo effettivamente un certo fascino da entrambe le interpretazioni, sia quella che vede la tavoletta come tavola di triplette pitagoriche, sia quella che la assume come tavola pedagogica per la creazione di problemi igum-igibum. Credo che proprio quest’ ultima ricostruzione, oltre a riuscire a dare risposte più adatte a quel che rimane della tavoletta Plimpton originale (valori ordinati di A e coincidenza con un modello matematico), sia anche la più vicina al pensiero ed alla cultura dello scriba babilonese.

72 72 Bibliografia The History of Mathematics: A Reader Edited by John Fauvel and Jeremy Gray At the Open University.


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