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I primi insiemi che si incontrano in matematica sono quelli dei numeri; daremo qui una breve descrizione dei principali insiemi numerici, delle loro operazioni.

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Presentazione sul tema: "I primi insiemi che si incontrano in matematica sono quelli dei numeri; daremo qui una breve descrizione dei principali insiemi numerici, delle loro operazioni."— Transcript della presentazione:

1 I primi insiemi che si incontrano in matematica sono quelli dei numeri; daremo qui una breve descrizione dei principali insiemi numerici, delle loro operazioni e delle loro proprietà.insiemi

2 I NUMERI NATURALI Il primo insieme che prenderemo in esame è l insieme dei numeri naturali. Esso si indica con la lettera N e i suoi elementi sono i numeri interi positivi, i primi numeri, storicamente, ad essere stati usati dall'umanità: N = { 0, 1, 2, 3, } Naturalmente gli elementi di N : 1, 2, 3, 4... sono infiniti. In molti testi nellinsieme dei numeri naturali non viene considerato anche lo 0, la notazione utilizzata diventa: N 0 = {1, 2, 3, 4, 5…….}

3 Somma e prodotto Le operazioni elementari che risultano ben definite nell insieme dei numeri naturali sono loperazione di addizione (o somma) e quella di moltiplicazione (o prodotto). a+b=c ab =f Considereremo l operazione di addizione come nota; la moltiplicazione viene definita come una addizione ripetuta: eseguire il prodotto a ·b significa fare: ab = a + a + a a (b volte) = b + b b (a volte).

4 Proprietà della somma L operazione di addizione gode delle seguenti proprietà: 1) proprietà commutativa della somma: Per qualsiasi a,b є N: a+b=b+a. 2) proprietà associativa della somma: Per qualsiasi a,b,c є N: (a+b)+c=(c+a)+b. 3) esistenza dell elemento neutro per la somma: l'elemento neutro per l'addizione è lo 0, infatti per esso vale: per qualsiasi a є N: a + 0 = 0 + a = a.

5 Proprietà del prodotto L operazione di moltiplicazione gode di proprietà analoghe: 4) proprietà commutativa del prodotto: per qualsiasi a,b є N: a·b=b·a 5) proprietà associativa del prodotto: per qualsiasi a,b,c є N: (a · b) ·c=(c·a) ·b 6) esistenza dell elemento neutro: l'elemento neutro per la moltiplicazione è il numero 1, infatti per esso vale: per qualsiasi a є N: a · 1 = 1 · a = a. 7) esistenza dell elemento annullatore: l'elemento annullatore per la moltiplicazione è il numero 0, infatti vale: per qualsiasi a є N: a · 0 = 0 · a = 0. (legge di annullamento del prodotto)

6 Inoltre è valida la seguente proprietà che lega somma e prodotto: 8) proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: (a+b)c = ac + bc.

7 Terminologia Si dice che linsieme N è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione per indicare che queste sono effettivamente operazioni su N, cioè sempre eseguibili per qualsiasi a,b є N. Se abbiamo a+b=c allora gli elementi generici a e b vengono detti addendi mentre c prende il nome di somma. Invece nella moltiplicazione a·b=d a e b vengono detti fattori ed il risultato d è detto prodotto.

8 Sottrazione e divisione Le operazioni di sottrazione e di divisione nell insieme dei numeri naturali non sono sempre possibili. La sottrazione di due numeri naturali (quando esiste) corrisponde all'operazione inversa della somma: Definizione: Dati due numeri naturali n, m є N, si dice n - m quel numero naturale x, se esiste, che sommato ad m dia n. Cioè : n - m = x se e solo se n = m + x. Si vede facilmente che n deve essere maggiore di m per poter svolgere loperazione di sottrazione (cioè perché x esista).

9 In modo analogo alla sottrazione si definisce la divisione: Definizione: Dati due numeri naturali n, m є N, si dice n : m quel numero naturale x, se esiste ed è unico, che moltiplicato per m dia n. Cioè : n : m = x se n = m·x Anche per la divisione è immediato constatare che x non esiste sempre, ma se e solo se n è un multiplo di m (cioè se esiste k є N, tale che n = km), quindi l'operazione di divisione è eseguibile solo sulle coppie n,m є N tali che n = km. Inoltre si può notare che non si potrà mai dividere per 0, infatti per avere ad esempio 8 : 0 = x si dovrebbe avere 8 = 0·x, il che è falso qualunque sia x. Non si può neanche fare 0 : 0 in quanto tale operazione risulterebbe indeterminata, poichè per ogni numero naturale x si ha: 0 = 0·x=x·0 cioè x non sarebbe unico, mentre nella definizione si chiede che x esista e sia unico.

10 Proprietà della sottrazione e della divisione Loperazione di sottrazione gode della proprietà invariantiva: per qualsiasi a,b,c є N: (a - b) = (a + c) -(b + c) oppure (a - b) = (a - c) - (b - c) Loperazione di divisione gode della proprietà invariantiva: per qualsiasi a,b,c є N: (a : b) = (a · c) : (b · c) oppure (a : b) = (a : c) : (b : c) distributiva: per qualsiasi a,b,c є N: (a + b) : c = (a : c) + (b : c) oppure (a - b) : c = (a : c) - (b : c)

11 Terminologia Se abbiamo la sottrazione a-b=c allora a prende il nome di minuendo e b di sottraendo mentre c viene detto differenza. Invece nella divisione a:b=d (con b diverso da 0) a è il dividendo, b il divisore e d il quoto (quoziente esatto), a viene detto multiplo di b mentre b divisore di a.

12 L'elevamento a potenza Procedendo in modo analogo a come abbiamo definito la moltiplicazione a partire dalla somma, si può definire su N, ma ad esclusione dello 0, l'operazione di elevamento a potenza : per qualsiasi n,m є N: con n e m diversi da 0, si pone n m = n · n... n (m volte). Questa volta però non abbiamo proprietà analoghe alle precedenti (per esempio questa operazione non è né associativa né commutativa, ad esempio: 3 2 e 2 3 sono diversi).

13 Proprietà delle potenze Proprietà notevoli della elevazione a potenza sono: p1) Per qualsiasi n,m є N : (n·m) t = n t ·m t p2) Per qualsiasi n,m є N: n (m+t) = n m ·n t p3) Per qualsiasi n,m є N : n (mt) = (n m ) t Esempi: 5 11 = 5 (4+7) = 5 4 ·5 7 ; 3 (2 · 2) = (3 2 ) 2 = 9 2 = 81. p4) Per qualsiasi n,m є N : (n : m) t = n t : m t p5) Per qualsiasi n,m є N: n (m - t) = n m : n t

14 Per quanto detto n m è a questo modo definito solo se m non è 0 (cosa vorrebbe dire moltiplicare n per se stesso "0 volte"?). La proprietà p5) ci pone allora un piccolo problema: m-t ha senso anche quando m= t ? In questo caso si avrebbe: n (m - t) = n 0 = n m : n t = n m : n m = 1 mentre avevamo detto che n 0 non era definito. Quello che possiamo fare allora è di estendere la definizione precedente di elevamento a potenza, in modo da conservare vere le proprietà p1) - p5) anche in questo caso, ponendo : Per qualsiasi n є N, se n non è 0, si ha : n 0 = 1 Sottolineiamo che resta invece privo di senso elevare 0 alla 0: il simbolo 0 0 non rappresenta nessun numero!


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