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ALGEBRA algebrizzare problemi Mohamed al Kharizmi (IX sec) Equazioni di 1° e 2° grado al-jhabr Viéte (1540-1603) Indica con le lettere non solo le incognite.

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2 ALGEBRA algebrizzare problemi Mohamed al Kharizmi (IX sec) Equazioni di 1° e 2° grado al-jhabr Viéte ( ) Indica con le lettere non solo le incognite ma anche altre quantità

3 XIX sec.: ALGEBRA = teoria delle equazioni algebriche Dalle idee di Galois ( ) sulla teoria delle equazioni algebriche nascono : La teoria dei gruppi La teoria dei numeri algebrici

4 ALGEBRA MODERNA STUDIO DI SISTEMI ALGEBRICI Insieme di regole che permettono di trattare enti diversi dai numeri: matrici, vettori, tensori…. ALGEBRA ASSIOMATICA O ASTRATTA Bertrand Russel( ): la matematica si può definire quella materia in cui non sappiamo mai di cosa stiamo parlando, né se quello che diciamo è vero

5 Partiamo da unequazione algebrica: F(x) è detta funzione polinomiale F(x)=0 è detta equazione polinomiale

6 Un numero a è soluzione dellequazione F(x)=0 se e solo se F(a)=0 a è radice del polinomio Ad esempio: Verificare che 1 è soluzione e che – 1 non lo è Equazioni di 1° grado: x + a = 0 soluzione x = - a Equazioni di 2° grado x 2 + px + q = 0 soluzioni con il metodo di completamento dl quadrato x = ………. Equazioni di grado superiore, trovare una soluzione o tutte mediante somme, prodotti, divisioni, elevamenti, estrazioni di radici sui coefficienti dellequazione

7 FORMULA RISOLUTIVA EQUAZIONI DI SECONDO GRADO CON IL METODO DI COMPLETAMENTO DEL QUADRATO

8 I PROTAGONISTI DEL 500 SCIPIONE DAL FERRO ANTONIO MARIA FLOR NICOLO TARTAGLIA GERONIMO CARDANO LUDOVICO FERRARI RAFAEL BOMBELLI

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11 LUDOVICO FERRARI FORMULA RISOLUTIVA EQUAZIONI DI QUARTO GRADO

12 La formula di Ferrari per le quartiche. Sempre nellArs Magna, Cardano scrive che la formula risolutiva delle equazioni di quarto grado era dovuta a Ludovico Ferrari, che lha scoperta dietro mia richiesta. Il procedimento attraverso cui si giungeva alla soluzione dellequazione x 4 +px 2 +q=sx può essere sintetizzato in sei passaggi. Ad esempio, volendo risolvere lequazione x 4 +4x 2 +36=60x si procede in questo modo: 1) si aggiunge ad entrambi i membri un termine in x 2 in modo da rendere il primo membro un quadrato perfetto, nel nostro caso si aggiunge 8x 2, così che si ha (x 2 +6) 2 ; 2) si aggiunge in entrambi i membri una nuova incognita in modo che il primo membro rimanga un quadrato, per noi (x 2 +6+y) 2 =60x+8x 2 +y 2 +12y+2x 2 y ; 3) si ottiene, al secondo membro, ordinando secondo la x, unequazione di secondo grado che vogliamo che sia un quadrato perfetto: a tal scopo basta uguagliare a zero il discriminante; 4) lequazione ottenuta dal discriminante è unequazione di terzo grado nota come la risolvente di Ferrari, risolta tramite la formula risolutiva delle equazioni cubiche; 5) il valore della y trovato si sostituisce nellequazione di cui al punto 2 e si estrae la radice quadrata di entrambi i membri; 6) il risultato del quinto passaggio rappresenta unequazione di secondo grado, facilmente risolvibile.

13 Equazioni di grado superiore: difficoltà insormontabili nei secoli 16°, 17°, 18°, ed inizio del 19° TEOREMA DI ABEL-RUFFINI: Non esiste una formula risolutiva per radicali delle equazioni di grado superiore al quinto Niels Abel ( ) Paolo Ruffini ( )

14 Legame tra risoluzione e fattorizzazione Teorema di Ruffini: sia F(x) un polionmio di grado n e sia c un numero reale Allora c è radice di di F(x) se e solo se F(x)=(x – c)G(x) con degG(x)= n – 1 Diciamo che c ha nolteplicità di k, se e solo se F(x) è divisibile per (x-c) k, ma non per (x-c) k+1

15 Conseguenze del teorema di Ruffini Unequazione polinomiale di grado n ha al massimo n radici, ciascuna contata con la sua molteplicità (si basa sullannullamento del prodotto: ab=0 se e solo se a = 0 o b=0, ad esempio per le matrici non vale!) Risolvere equazioni polinomiali ha la stessa difficoltà di fattorizzare (la fattorizzazione dei polinomi è unica: in altri mondi non è così) Dire che non esiste nessuna formula per calcolare le soluzioni delle equazioni di grado superiore al quinto equivale ad affermare che non esiste alcun metodo per fattorizzare polinomi con deg>4: x 5 – 16x + 2 = 0 ha tre soluzioni reali (visibili disegnando la funzione), ma non sono esprimibili mediante formule per radicali Se esistono soluzioni razionali siamo in grado di trovarle

16 La funzione y = x 5 –16x + 2

17 Oppure possiamo pensare allequazione polinomiale x 5 – 16x + 2 =0 come al risultato dellintersezione di y = x 5 e di y = 16x – 2, anche qui vediamo le tre intersezioni che corrispondono alle tre soluzioni reali

18 REGOLA DI RUFFINI dove i coefficienti a i sono interi, se non lo sono facciamo il mcm. Possiamo supporre che a n 0, in caso contrario 0 è soluzione e possiamo dividere il polinomio per x Ogni soluzione b/c, dove b e c sono numeri interi senza fattori comuni, avrà la proprietà che il suo numeratore b è un divisore del termine noto a n e il suo denominatore c è un divisore del coefficiente direttivo a 0. Infatti, sostituiamo b/c nellequazione e moltiplichiamo i due membri per c n, ottenendo Raccogliamo b dai primi n addendi portando lultimo a secondo membro ………………………………………………………………………………. Poiché b non ha fattori comuni con c li deve avere con a n, ripetendo la stessa operazione per c si arriva a dimostrare che c deve dividere a 0

19 Vogliamo risolvere lequazione F(x) = 0 dove F(x) = 40x 5 – 58x 4 – 5x x 2 – 17x + 3 I divisori di 3 sono: I divisori di 40 sono: Posso usare solo i divisori di 40 positivi Tentiamo: 1, ½, 1/3, ……… Funziona per……, quindi F(x) = ( )G(x) dove G(x) = …………………………………. Procedendo allo stesso modo…..


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