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Liceo Scientifico G. Stampacchia- Tricase 25/03/2006 SUL CONCETTO DI LIMITE PER FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Conversazione di Eduardo Pascali Professore.

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1 Liceo Scientifico G. Stampacchia- Tricase 25/03/2006 SUL CONCETTO DI LIMITE PER FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Conversazione di Eduardo Pascali Professore Ordinario di Analisi Matematica Dipartimento di Matematica E.De Giorgi Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Università degli Studi di Lecce

2 Lo scopo di questa conversazione è quello di interpretare una definizione matematica ritenuta, giustamente, fondamentale e, nello stesso tempo, acquisita con notevole difficoltà dalla maggior parte degli studenti. Dopo aver formulato in maniera astratta la definizione, ci adopereremo nella spiegazione dei concetti adoperati e, in conclusione, tenteremo di far vedere come la definizione possa essere interpretata come la codifica formale di un particolare, ma naturale, atteggiamento mentale. Partiamo con la definizione che intendiamo esaminare:

3 Sia assegnata una funzione reale f definita in X e sia x° un punto di accumulazione per linsieme X, inoltre sia L un elemento di R ampliato (cioè linsieme dei numeri reali con laggiunta di + e di -). Diciamo che L è il limite, per x che tende ad x°, della funzione f e scriveremo, per brevità: lim f(x) = L x x° quando si verifica quanto segue: I(L ) I(x°) t.c. x X I(x°)/ x° : (x I(x°) f(x) I(L) )

4 I(L) I(x°) t.c. x X I(x°)/x° : (x I(x°) f(x) I(L) )

5 Si legge in questo modo: Qualunque sia lintorno di L fissato, indicato con I(L), esiste un intorno di x°, indicato con I(x°), tale che per ogni elemento x di X che non sia x° risulta vero quanto segue: se x è elemento di I(x°) allora necessariamente f(x) è elemento di I(L). Ma che vuol dire ? Per dare una risposta occorre analizzare gli oggetti matematici utilizzati nella definizione.

6 Gli oggetti matematici che intervengono nella definizione sono i seguenti.INSIEME I NUMERI REALI E SUOI SOTTOINSIEMI NUMERI REALI CON LAGGIUNTA DI + e - + e - FUNZIONEINTORNI PUNTO DI ACCUMULAZIONE

7 INSIEME La definizione di INSIEME è una delle più difficili della Matematica. Il tentativo di fondare la Matematica su una definizione intuitiva di insieme è fallito, ma lo studio condotto per ottenere una fondazione coerente della Matematica sulla definizione intuitiva di insieme ha evidenziato i limiti della visione logico-formalista della Matematica. Comunque per la gran parte delle indagini matematiche la definizione intuitiva di insieme data da George Cantor è sicuramente utile e non conduce (per lo meno non ancora) a contraddizioni manifeste.

8 Cantor definiva un insieme come qualunque collezione in un tutto di determinati e ben distinti oggetti dati dalla nostra intuizione o dal nostro pensiero. Egli richiedeva che vi fosse una regola definita e priva di ambiguità che stabilisse quali fossero elementi dellinsieme e quali no. Procedere nella indagine sul concetto di insieme ci porterebbe necessariamente su difficili problemi di logica e sui legami tra logica e fondamenti della Matematica. Accontentiamoci della definizione data da Cantor.

9 I NUMERI REALI E SUOI SOTTOINSIEMI I NUMERI REALI CON + e - I NUMERI REALI CON + e - Questo argomento dovrebbe essere, in larga parte, noto. Per questo motivo accenneremo solo al significato che si attribuisce a + e -. Il significato che si attribuisce ai due simboli è il seguente: - < + ; - < a < + per ogni numero reale a.

10 FUNZIONE La nozione di funzione è strettamente legata ad un aspetto di un tipo dattività che ognuno di noi costantemente adopera. Spesso avendo a disposizione due insiemi ci troviamo, quasi inconsapevolmente, a tentare di stabilire delle associazioni: guardo un oggetto di un insieme e lo associo ad un oggetto dellaltro insieme, mediante un criterio che mi posso costruire in quella particolare situazione. La formalizzazione di uno di questi tipi di gioco conduce alla nozione matematica di funzione.

11 Il tipo di gioco che formalizziamo: Il tipo di gioco che formalizziamo: individua chi è linsieme di partenza, ( cioè da quale dei due insiemi a disposizione partiamo) per poi associare ad ogni elemento di questo insieme un elemento dellaltro insieme, con laccortezza che una volta considerato uno degli elementi dellinsieme di partenza (sia x) è univocamente determinato lelemento dellaltro insieme associato ad x (indicato con f(x)).

12 Si comprende bene allora cosa serve per formalizzare questo particolare gioco di associazione : -Due insiemi, non vuoti, distinti o meno, di cui uno sia privilegiato rispetto allaltro -Un procedimento, una legge, comunque espressa, che ad ogni fissato elemento dellinsieme privilegiato associ uno ed un solo elemento dellaltro insieme.

13 Il modo più semplice per codificare questo fatto è esibire una scrittura di questo tipo: (A,B,f) cioè una terna ordinata formata dallinsieme A, dallinsieme B e dal procedimento f. Usualmente si usa la notazione f: A B e si dice di avere la funzione f definita in A ed a valori in B; A si dice insieme di partenza, B insieme darrivo; se x è elemento dellinsieme A, lelemento di B associato ad x dal procedimento f si indica con il simbolo f(x) e si dice immagine di x mediante f.

14 In conclusione si può dare la seguente definizione: Si dice di avere definito una funzione dallinsieme A verso linsieme B se è assegnata una legge f che ad ogni elemento dellinsieme A associa uno ed un solo elemento dellinsieme B. Nota Bene: Può succedere che a due differenti elementi di A la funzione associ lo stesso elemento di B.

15 I matematici hanno individuato alcuni tipi di funzioni particolarmente importanti. Piuttosto che dire perché sono importanti conviene sottolineare che esse corrispondono a codifiche di legittime domande che si possono porre una volta che sia stato dato il concetto di funzione. 1. Supponiamo di avere f:A B, se ho elementi distinti di A, i corrispondenti, mediante la f, sono distinti ? 2.Se ho un elemento di B, esso è sicuramente limmagine mediante f di qualche elemento di A ?

16 La prima domanda si può interpretare meglio pensando alla legge f come ad un trasporto o uno spostamento degli elementi di A sugli elementi di B; la domanda si può allora riformulare dicendo: se prendo due oggetti distinti di A, qualunque essi siano, alla fine del trasporto sono ancora distinti. La seconda domanda si interpreta meglio stando su y, elemento di B, e chiedendosi se il procedimento f porterà su y qualche elemento di A.

17 Funzioni per le quali la prima domanda si risolve in modo positivo sono dette INIETTIVE Quelle per le quali si risolve positivamente la seconda domanda sono dette SURIETTIVE

18 f:A B INIETTIVA x, y A : (x y f(x) f(y)) (una funzione è iniettiva se conserva la diversità) f:A B SURIETTIVA ( y B x A : f(x) = y) Una funzione che sia iniettiva e suriettiva nello stesso tempo si dice bigettiva; pertanto: f:A B BIGETTIVA ( y B | x A : f(x) = y) N.B. In molte situazioni è assegnata semplicemente la legge f ed il problema è quello di determinare linsieme A (dominio o campo di esistenza della variabile indipendente) e linsieme B (insieme darrivo).

19 INTORNO Il concetto di intorno risulta essere una formalizzazione del concetto usuale di vicinanza, di esser vicino. Più che definire intorno di un punto definiremo cosa si debba intendere per la famiglia degli intorni di un punto.

20 Questo atteggiamento è naturale per i Matematici che vogliono, in generale, studiare gli oggetti per quello che permettono di fare non per quello di cui sono costituiti o, detto in altro modo, vogliono studiare le relazioni tra oggetti, o ancora alcune relazioni sono prese a fondamento della definizione di oggetto matematico da indagare.

21 Se X è un insieme astratto e p un suo punto diciamo che V(p) costituisce una famiglia di intorni di p se è formata da sottoinsiemi I di X per cui si abbia Se I V(p) allora p I; Se I V(p) e I J allora J V(p); Se p q allora I V(p) e J V(q) tali che I J = ; Se I V(p) allora J V(p) tale che: q V(p) I V(q). La terza condizione si dice PROPRIETA DI SEPARAZIONE

22 La interpretazione delle precedenti quattro proprietà è semplice. Ad ogni intorno di p appartiene almeno p; Ogni sovrainsieme di un intorno di p è anche un intorno di p; Se abbiamo p, q elementi distinti di X allora si possono determinare due intorni uno di p e laltro di q che non hanno punti in comune Se ho un intorno I di p allora esiste un altro intorno J di p per i cui elementi I è intorno.

23 Pensando molto liberamente, se per intorno di p (persona) si intende un insieme di amici di p, le proprietà dicono: In ogni insieme di miei amici, ci sono io stesso (io sono amico di me stesso !) Se prendo un insieme di miei amici ed aggiungo altri miei amici ho ancora un insieme di miei amici Se considero unaltra persona, allora ci sono due insiemi di amici, uno mio ed uno dellaltra persona, che non hanno persone in comune (o con me o contro di me !) Se ho un insieme di miei amici, un insieme di essi è formato da persone per le quali linsieme originario è formato da persone a loro amiche.

24 Prendiamo la retta reale R. Se p è un numero reale, allora la famiglia degli intervalli aperti contenenti p costituisce una famiglia di intorni di p. Ai fini di quello che ci interesserà potremmo limitarci agli intervalli centrati in p, cioè dare la seguente definizione I intorno di p tale che I = ]p-,p+ [ (osserviamo che la quarta proprietà non è verificata). Se p=+ per intorno si intende ogni semiretta del tipo ]a, + ). Se p=- per intorno si intende ogni semiretta del tipo (-, a[. Prendiamo il piano cartesiano Se p è un punto del piano definiamo intorno di p ogni cerchio (con la circonferenza esclusa) contenente p; anche in questo caso potremo limitarci a considerare solo la famiglia dei cerchi con centro in p.

25 Una Osservazione su cerchi ed intervalli Ricordiamo che sui numeri reali è definita una funzione detta valore assoluto in questo modo: x se x > 0 |. | : R R dove |x| = -x se x 0 Questa funzione verifica importanti proprietà: |x| > 0 per x 0 e |x|= 0 se e solo se x=0; |x| = |-x| per ogni x; |x+y| |x| + |y| ||x|-|y|| |x-y| Se a>0 allora risulta (|x| < a se e solo se -a

26 Dallultima proprietà si ricava quanto segue. Se r >0 allora |x-p|< r se e solo se p-r < x < p+r. Che si può leggere se x dista da p meno di r allora e solo allora x è un elemento dellintervallo di centro p e semidimensione r; in questo modo si comprende che: se consideriamo il generico intervallo aperto ]a,b[, posto p = (a+b)/2 ed r = (b-a)/2, si ha ]a,b[ = ]p-r,p+r[; quindi ogni intervallo della retta numerica è cerchio rispetto alla distanza tra punti della retta numerica.

27 DOMANDA PERCHE ABBIAMO CHIAMATO DISTANZA TRA x ED y IL NUMERO REALE NON NEGATIVO |x-y| ? Questa domanda apre il capitolo matematico degli spazi METRICI, cioè degli insiemi in cui è definito il concetto di distanza. Ma che significa DISTANZA in Matematica ? Se analizziamo le proprietà che noi attribuiamo al termine distanza quando usato comunemente, ci accorgiamo che richiediamo sicuramente i seguenti fatti:

28 Se non mi muovo allora il costo da pagare è zero; se mi muovo per andare da A a B allora ho un costo positivo; Per andare da un punto A ad un punto B pago lo stesso se vado dal punto B al punto A; in più accettiamo che Per andare dal punto A al punto B pago di meno che se facessi una fermata in un altro punto C (questa condizione può essere interpretata come una specie di minimalità del costo). La formalizzazione di queste richieste conduce alla definizione di spazio metrico.

29 Se S è un insieme non vuoto, si dice che d è una distanza in X se risulta d una funzione del tipo d: SxS R che verifica la seguenti condizioni: d(A, B) 0 per ogni coppia di punti; d(A,B)=0 se e solo se A=B; d(A,B) = d(B,A) per ogni coppia di punti; d(A,B) d(A,C) + d(C,B) per ogni terna di punti. Negli spazi metrici si possono definire i cerchi, le circonferenze ed alcuni concetti della geometria, nonché il concetto di intorno di un punto dello spazio metrico.

30 PUNTO DI ACCUMULAZIONE Siamo ora in grado di dare la nozione di punto di accumulazione. Questa definizione codifica un fatto semplicissimo: la possibilità di avvicinarci ad un punto utilizzando punti di un assegnato insieme o se vogliamo codifica i punti che possono essere raggiunti muovendosi sui punti di un assegnato insieme; difatti la locuzione precisa da usare non è punto di accumulazione ma punto di accumulazione per linsieme X.

31 Allora, sia X un fissato sottoinsieme dei numeri reali R, un elemento p si dice punto di accumulazione per X se si verifica quanto segue: I(p) risulta I(p) (X/p) ovvero vicino, quanto voglio, a p cè almeno un elemento di X che è diverso da p. Se osserviamo la definizione notiamo che essa ha significato quando si abbia a disposizione il concetto di intorno (pertanto ha sicuramente significato negli spazi metrici).

32 La definizione precedente se p è un numero reale, tenendo conto dellosservazione fatta sugli intorni (e del fatto che vuol significare), diviene 0 risulta x X, tale che 0< |x-p| <. Come si può riscrivere se p=+ oppure p=- ? La definizione precedente può essere scritta anche cosi 0 risulta x X, tale che 0< d(x,p) <. E si comprende subito che la definizione ha cittadinanza anche negli spazi metrici.

33 Tentiamo ora di comprendere cosa vuole significare la definizione di limite ricorrendo ad un esempio triviale. vetrata ??? Prof.

34 Quale è la domanda che naturalmente vi ponete ? Evidentemente: Dove mi sbatte il Professore ? Quale ragionamento facciamo per tentare di prevedere dove il professore ci metterà a sedere ? Dopo averci pensato un poco………. ANDATE A RIGUARDARE LA DEFINIZIONE DI LIMITE

35 MA NE SIETE PROPRIO CONVINTI ??? NON RAGIONATE PROPRIO COME E CODIFICATO NELLA DEFINIZIONE !!!

36 Auguri per i prossimi esami e per i vostri progetti di studio e di vita


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