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Come le frazioni e le proporzioni,le equazioni costituiscono validi strumenti per risolvere problemi, che vengono chiamati di 1°,2°…a seconda del grado.

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Presentazione sul tema: "Come le frazioni e le proporzioni,le equazioni costituiscono validi strumenti per risolvere problemi, che vengono chiamati di 1°,2°…a seconda del grado."— Transcript della presentazione:

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2 Come le frazioni e le proporzioni,le equazioni costituiscono validi strumenti per risolvere problemi, che vengono chiamati di 1°,2°…a seconda del grado dellequazione risolvente. Per fissare le idee,analizziamo qualche situazione problematica ricavata da contesti diversi e proviamo a risolverla…

3 Una persona deve costruire uno steccato a forma di trapezio isoscele. Sapendo che la base maggiore è uguale a ciascuno dei lati obliqui,mentre la base minore è i 3/5 di quella maggiore e il perimetro è di 18 metri, calcolate quale sarà la lunghezza di ciascuno dei lati dello steccato.

4 Ricorda che,per la risoluzione di un problema,occorre individuare: Obiettivi Quali risultati dobbiamo ottenere? Dati Quali informazioni ci fornisce il testo del problema? Incognite Quali sono le grandezze di cui non conosciamo il valore? Dominio Con quale insieme numerico sono rappresentabili le grandezze indicate dalle incognite? Relazioni Di quali risorse (conoscenze teoriche,strumenti di calcolo)disponiamo per formalizzare le informazioni?

5 C BA D DATI1)AB = BC = AD 2) DC = 3/5 AB OBIETTIVILa lunghezza di ciascuno dei lati dello steccato INCOGNITELa lunghezza, in metri, del lato AD del trapezio che indicheremo con X DOMINIOLa lunghezza del lato incognito è rappresentabile con un numero naturale diverso da zero,quindi: x Є N -{0} RELAZIONEP(ABCD) =18m ossia AB+BC+CD+DA=18

6 FORMALIZZAZIONE LINGUAGGIO NATURALELINGUAGGIO FORMALE La base maggiore è uguale a ciascuno dei lati obliqui;la loro misura sarà un certo numero di metri x la base minore è i 3/5 di quella maggiore Il perimetro é = di 18 metri 18

7 Quindi la relazione prima indicata diventa: Rappresenta una equazione di 1 grado nellincognit a x

8 Due automobilisti partono da due diverse località,Reggio Calabria e Napoli,che distano fra di loro 510 km. Il primo viaggia alla velocità costante di 90km/h,il secondo alla velocità costante di 80 km/h. Dopo quanto tempo si incontrano?E a quale distanza da Reggio Calabria? Provate a dare le vostre risposte: I due automobilisti si incontrano dopo………….. Si trovano alla distanza di km…….da Reggio Calabria Reggio Calabria Napoli

9 Proviamo adesso a risolvere il problema con lo strumento equazione e dopo confrontiamo i risultati e soprattutto il modo di procedere. Ricordate che in Fisica il rapporto tra lo spazio,percorso da un mobile,e il tempo impiegato a percorrerlo,viene misurato da una grandezza chiamata velocità ed espresso in m/s o km/h.? In formule: Da cui si ricavano facilmente,come vedrete dopo aver studiato le equazioni,

10 NEL NOSTRO PROBLEMA: OBIETTIVI 1.Determinare dopo quanto tempo i due automobilisti si incontrano. 2.Determinare a quale distanza da Reggio Calabria si incontrano. DATI a)Distanza tra le due località : km 510 b)Velocità del primo automobilista: 90km/h c)Velocità del secondo automobilista: 80 km/h INCOGNITE Numero delle ore trascorse dalla partenza al momento in cui gli automobilisti si incontrano : x DOMINIO Le ore sono rappresentabili con un numero naturale diverso da zero,quindi: x Є N -{0}

11 FORMALIZZAZIONE LINGUAGGIO NATURALELINGUAGGIO FORMALE Due automobilisti partendo da due località diverse si incontrano dopo un certo numero di ore x Il primo automobilista si muove alla velocità costante di 90 km/h e quindi percorre un certo numero di chilometri 90x Il secondo automobilista si muove alla velocità costante di 80 km/h e quindi percorre chilometri 80x Quando i due si incontrano,la somma dei due percorsi 90x+80x corrisponde = Alla distanza tra le due località 510

12 LA RELAZIONE : 90x+80x=510 COSTITUISCE IL MODELLO MATEMATICO del problema E una equazione di primo grado in una incognita!

13 Unequazione è unuguaglianza fra due espressioni algebriche che risulta verificata solo per particolari valori attribuiti alla lettera x. Tali particolari valori costituiscono le soluzioni dellequazione. Esempio: 2x+1=7 è unequazione e risulta verificata solo per il valore di x=3 (soluzione) È di 1° perché il polinomio al primo membro è di 1°. Le due espressioni a sinistra e a destra del segno di uguaglianza si chiamano membri dellequazione. 2x-6 = 0 Grado di unequazione intera nella forma P(x)=0: È il grado del polinomio

14 Data una generica x-1+2x = 3x-1 Chiameremo 1° membro lespressione posta a sinistra delluguale e 2° membro lespressione a destra. x – 1 + 2x=3x - 1 1° membro2° membro

15 I valori che rendono vera luguaglianza si chiamano soluzioni o radici dellequazione. Si può anche dire che tali valori verificano lequazione. Esempio: y-9=1 Ha come soluzione il valore 10, perché 10-9=1. Diciamo che la soluzione è y=10. Risolvere unequazione significa determinare tutte le sue soluzioni, cioè tutti i valori che verificano luguaglianza.

16 Data unequazione ax = b determinare una soluzione significa determinare quel particolare valore dellincognita che rende il primo membro uguale al secondo

17 Due equazioni contenenti la stessa incognita si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. Lequivalenza tra equazioni è una relazione di equivalenza nellinsieme delle equazioni, perché gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.

18 Si utilizzano per trasformare unequazione in una equivalente, di solito più semplice Per risolvere unequazione è necessario applicare un procedimento risolutivo, occorre cioè conoscere i metodi che consentono di trasformare unassegnata equazione in una nuova equazione ad essa equivalente ma di forma più semplice. A tale scopo è necessario applicare due importanti teoremi detti principi di equivalenza.

19 PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Se si aggiunge o si sottrae una stessa espressione letterale, contenente o no l incognita, per entrambi i membri, si ottiene unequazione equivalente. SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Se si moltiplicano o o si dividono entrambi i membri di unequazione per uno stesso numero, diverso da 0,o per una stessa espressione letterale ( escludere i valori delle lettere che la annullano o che la rendono priva di significato), si ottiene unequazione equivalente alla precedente. Esempio: 8x – 6 = 7x + 4 ; x = 10 Applicando il 1° principio, aggiungiamo ambo i membri lespressione: 6 – 7x: 8x – – 7x = 7x – 7x x = 10 Esempio: 8x = -16 ; x= -2 Applicando il 2° principio, dividendo ambo i membri per 8 0: 8x : 8 = – 16 : 8 x = – 2

20 Ecco la soluzione del primo problema analizzato Lequazione risolvente era: ossia: cioé Per il secondo principio di equivalenza,moltiplicando ambedue i membri per 5, diventa 18x = 90 e,dividendo ancora entrambi i membri per 18 si ottiene x= 5 quindi i lati dello steccato AB=BC=AD =5 metri,mentre il lato DC=3 metri.

21 Ecco la soluzione del secondo problema analizzato LA RELAZIONE : 90x+80x=510 Equivale a: ax=b) 170x=510 ( modello generale; ax=b) Da cui Dividendo ambedue i membri per 170 ( II principio di equivalenza) Si ottiene: E cioè: Ciò significa che gli automobilisti si incontrano dopo 3 ore dalla partenza Sostituendo poi questultimo dato nella formula già vista Lincontro avviene a 270 km da Reggio Calabria

22 Equazioni di primo grado numeriche intere ad unincognita Forma normale: è la forma più semplice in cui può presentarsi unequazione di primo grado ad unincognita Ax=B Risoluzione : Equazione in forma complessa Equazione equivalente in forma normale Ax=B Principi di equivalenza Equazione determinata A<>0 Equazione indeterminata A=0; B=0 Equazione impossibile A=0 B<>0 Soluzione x=B/A

23 Le equazioni si classificano in base: alla posizione dellincognita intere fratte ai coefficienti numeriche letterali all esistenza di soluzioni determinate indeterminate impossibili

24 Si dice che unequazione è intera se lincognita è presente soltanto nei numeratori. Lincognita è solo al numeratore.

25 Unequazione fratta si ha quando unincognita è presente anche al denominatore. Lincognita è presente anche al denominatore.

26 Quando si risolve unequazione fratta,bisogna fare attenzione al dominio,cioè allinsieme numerico dellincognita x ! Ad esempio,nellequazione fratta Il dominio è rappresentato da R-{0,-1},cioé dallinsieme dei numeri reali tranne 0 e Ciò significa che la x e quindi la soluzione non potrà mai assumere valore 0 o -1. I valori 0 e -1 sostituiti nellequazione alla x,renderebbero i denominatori nulli,quindi le frazioni senza significato e lequazione impossibile!

27 Abbiamo delle equazioni numeriche quando tutti i coefficienti sono numeri. Sono tutti numeri

28 In unequazione letterale nei coefficienti sono presenti anche le lettere Contiene delle lettere

29 Anche le equazioni letterali vanno ridotte alla forma normale ax = b Nelle equazioni letterali compaiono oltre alla incognita x altre lettere che possono assumere valore diverso e dare così luogo ad equazioni numeriche di tipo diverso. Ho capito! Le equazioni letterali,sono quelle che si devono discutere! Le loro soluzioni dipendono dal valore del coefficiente della incognita x. Forse è meglio rivedere la slide n.22!slide n.22!

30 È determinata in quanto ha una sola soluzione: Unequazione è determinata se ha un numero finito di soluzioni

31 Se unequazione ha infinite soluzioni è detta indeterminata È indeterminata perché possiede infiniti valori di x, al variare di y e viceversa: Se y=0 allora x=1; Se y =1 allora x=0; Se x=3 allora y=-2..ecc. Esempi:

32 Questo è un altro caso di equazione indeterminata in quanto NB: la soluzione di questa equazione è data da qualsiasi numero reale, quindi tale equazione ha infinite soluzioni: tutti i numeri reali.

33 Unequazione che non ha soluzioni si chiama impossibile. Non esiste alcun valore di x che renda vera luguaglianza, per questo si dice che è una equazione impossibile.

34 ax = b con a,b,x Equazioni determinate (una soluzione) ax = b Equazioni indeterminate (infinite soluzioni) 0x = 0 Equazioni impossibili (nessuna soluzione) 0x = b Unequazione di 1°,ridotta alla forma normale,assume in generale la forma:

35 Classificazione Equazioni Razionali Le incognite non compaiono sotto un segno di radice Irrazionali Le incognite compaiono sotto un segno di radice Numeriche Oltre alle incognite non compaiono altre lettere letterali Oltre alle incognite compaiono altre lettere Intere le incognite non compaiono in un denominatore Fratte Le incognite compaiono anche nei denominatori Grado di unequazione intera nella forma P(x)=0: È il grado del polinomio


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