Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 20081 / 25 Variabile casuale: variabile i cui valori non possono essere esattamente.

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1 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 20081 / 25 Variabile casuale: variabile i cui valori non possono essere esattamente predetti. discreta: salti o interruzioni nei valori (conteggio…) continua: non ha salti o interruzioni (altezza…) (limite strumento di misura) Distribuzione di probabilità di V.C. discreta: Specificazione di tutti i valori possibili con le rispettive probabilità… Num. infartinini pipi pipi 0782782/14640,534 1389389/14640,266 2218218/14640,149 37575/14640,051 Totale14641,000 p i ≡ f i 1.p i ≥ 0per ogni i 2.∑p i = 1 3.P(A i o A j ) = p i + p j per ogni i e j

2 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 20082 / 25 graficamente… Prob. Cumulata: F(x) = P(X≤ x)

3 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 20083 / 25 graficamente… Prob. Cumulata: F(x) = P(X≤ x) Num. infartinini pipi F(x) 07820,534 13890,2660,800 22180,1490,949 3750,0511,00 Totale14641,000

4 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 20084 / 25 Distribuzione di probabilità per v.c. continue v.c. continua: p.e. altezza di un oggetto scala di misura: rapporti modalità: infinite! …tra due valori ne esisterà sempre un terzo che si trova in mezzo… Non è possibile specificare ogni singola p(x i ) Si è soliti considerare la probabilità che il valore cercato e ignoto cada in un intervallo, ovvero p(a≤X≤b) con a<b

5 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 20085 / 25 Piuttosto che di probabilità, si parla di funzione di densità di probabilità, f(x)… Densità di frequenza: Istogramma:

6 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 20086 / 25 Ad ogni classe i di ampiezza d i corrisponde una frequenza relativa f i … La classe i ha estremi [x i ; (x i +d i )] → minore è d i, più vicini saranno gli estremi → se d i tende a zero, la classe tenderà al punto x i !!

7 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 20087 / 25 f(x) funzione di densità funzione di densità per X v.c. continua: 1.f(x) ≥ 0 2.Area = “∑” f(x) =1 3.Area (a-b) = P(a ≤ X ≤ b)

8 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 20088 / 25 Funzione di ripartizione Funzione di probabilità cumulata: F(x) = P(X ≤ x)

9 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 20089 / 25 La distribuzione Normale Una variabile casuale si dice avere distribuzione di probabilità Normale se la funzione di densità è del tipo:

10 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 200810 / 25 μ σ 1.Simmetria rispetto alla media 2.Media, mediana e moda coincidono 3.Dipende dai parametri μ e σ f(x) X

11 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 200811 / 25 μ è parametro di scala μ1μ1 μ2μ2 μ3μ3 <<

12 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 200812 / 25 σ è parametro di forma

13 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 200813 / 25 Famiglia di distribuzioni Normali X ~ N(μ; σ 2 ) → esistono infinite curve normali… La più importante: Distribuzione Normale Standard f(x) → z = (x - μ) / σ → Z ~ N(0; 1) → f(z) = (2π)^(-1/2)exp(-z 2 /2)

14 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 200814 / 25 Determinazione della probabilità… 1.Qual è la P(Z ≤ z 0 )? Tavola area tra -∞ e z z0z0

15 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 200815 / 25 Es. P(Z ≤ 0,96) = 0,8315

16 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 200816 / 25 2.P(-z 0 ≤ Z ≤ z 0 ) = ? z0z0 -z 0 z0z0

17 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 200817 / 25 Es. P(-2,55 ≤ Z ≤ 2,55) = 0,9946 – 0,0054 = 0,9892 P(Z ≤ 2,55) = 0,9946 1 – P(Z ≤ 2,55) = 1 – 0,9946 = 0,0054

18 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 200818 / 25 Descrivere le tabelle di contingenza il caso 2x2 Supp. 2 variabili X e Y ciascuna con 2 modalità/classi Y Tot. y1y1 y2y2 X x1x1 n 11 n 12 n 1. x2x2 n 21 n 22 n 2. Tot.n.1 n.2 n Distrib. Prob. Y Tot. y1y1 y2y2 X x1x1 π 11 π 12 π 1. x2x2 π 21 π 22 π 2. Tot.π.1 π.2 1 n ij π ij p ij i j Distrib. Prob. Y Tot. y1y1 y2y2 X x1x1 p 11 p 12 p 1. x2x2 p 21 p 22 p 2. Tot.p.1 p.2 1

19 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 200819 / 25 Esempio Infarto Tot. sìno Farmaco placebo1891084511034 aspirina1041093311037 Tot.2932177822071 Infarto Tot. sìno Farmaco placebo0,0090,4910,500 somm.0,0050,4950,500 Tot.0,0140,9861,00 Prob. Congiunta p ij Prob. Marginale di X p i. Prob. Marginale di Y p.j L’aspirina, riduce la prob. di avere un infarto? Confronto tra palcebo e aspirina

20 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 200820 / 25 Distrib. Condizionata: …dalla legge del prodotto: P(Y|X)=P(Y∩X)/P(X) P(Y j |X i )=P(Y j ∩X i )/P(X i ) → π j|i = π ij / π i. π ij = π j|i π i. Se X e Y sono indip. → π j|i = π.j → π ij = π i. π.j Distrib. Prob. Y Tot. y1y1 y2y2 X x1x1 π 11 π 12 π 1. x2x2 π 21 π 22 π 2. Tot.π.1 π.2 1

21 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 200821 / 25 Esempio Prob. sì|plac p 1|1 Prob. no|plac p 2|1 Prob. sì|asp p 1|2 Prob. no|asp p 2|2 Infarto Tot. sìno Farmaco placebo1891084511034 aspirina1041093311037 Tot.2932177822071 Infarto Tot. sìno Farmaco placebo0,0170,0831,000 aspirina0,0090,9911,000 Tot.

22 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 200822 / 25 Rischio Relativo Confronto tra proporzioni di gruppi differenti Infarto Tot. sìno Farmaco placebo0,0170,0831,000 aspirina0,0090,9911,000 Tot. RR = π 1|1 / π 1|2 = 0,017 / 0,009 = 1,89 la proporzione di coloro che ha sofferto di infarto è 1,89 volte più alta per quelli che prendono il placebo rispetto a quelli che prendono l’aspirina Ovvero: la probabilità di avere un infarto è 1,89 maggiore per chi usa il placebo rispetto a chi prende l’aspirina RR ≥ 0 RR = 1 ←→ X indip. Y

23 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 200823 / 25 Odds Confronto di proporzioni dello stesso gruppo Infarto Tot. sìno Farmaco placebo0,0170,9831,000 aspirina0,0090,9911,000 Tot. Ω 1 = π 1|1 / π 2|1 = 0,017 / 0,983 = 0,017 Ω 2 = π 1|2 / π 2|2 = 0,009 / 0,991 = 0,009 Tra coloro che prendono il placebo (aspirina) è poco verosimile che si presenti un infarto Ovvero tra quelli che prendono il placebo (aspirina) ogni 98 (99) senza infarto ce ne sono 2 (1) che presentano l’infarto. Ω i = π 1|i / π 2|i Ω i ≥ 0

24 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 200824 / 25 Odds Ratio Infarto Tot. sìno Farmaco placebo0,0170,9831,000 aspirina0,0090,9911,000 Tot. Confronto di odds θ = Ω 1 / Ω 2 = 1,89 L’odds della prima riga (ovvero del placebo) è quasi il doppio di quello relativo all’aspirina Ovvero l’evento (infarto) si verifica più verosimilmente nel primo caso (placebo) che nel secondo (aspirina) θ ≥ 0 θ=1 X indip. Y θ<1 y 1 è più verosimile in x 2 θ>1 y 1 è più verosimile in x 1

25 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 200825 / 25 Infarto Tot. sìno Farmaco placebo0,0170,9831,000 aspirina0,0090,9911,000 Tot.

26 Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 24 maggio 200826 / 25 Se X e Y sono indipendenti, allora: π ij = π i. π.j π j|i = π ij / π i. = π i. π.j / π i. = π.j RR = π 1|1 / π 1|2 = π.j / π.j = 1 Ω 1 = π 1|1 / π 2|1 = π.1 / π.2 Ω 2 = π 2|1 / π 2|2 = π.1 / π.2 θ = Ω 1 / Ω 2 = 1