R.Garuti-IRRE E.R.1 Il gioco voci-eco: la caduta dei gravi R.Garuti.

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1 R.Garuti-IRRE E.R.1 Il gioco voci-eco: la caduta dei gravi R.Garuti

2 R.Garuti-IRRE E.R.2 La caduta dei gravi Modellizzazione matematica di un fenomeno fisico Dialogo intorno a due nuove scienze (1638)

3 R.Garuti-IRRE E.R.3 Ci si proponeva di superare i limiti dei due tipi più comuni di approccio scolastico alla modellizzazione matematica Approccio tradizionale Approccio costruttivista Attraverso la proposizione di voci storiche alla classe e la richiesta di echi a tali voci da parte degli alunni

4 R.Garuti-IRRE E.R.4 La metodologia del "Gioco voci-echi" si fonda sull'attività di imitazione attiva nella "zona di sviluppo prossimale" (Vygotskij, 1990) degli allievi e sulla constatazione che i contenuti anti- intuitivi e i caratteri salienti del sapere teorico sono portati da "voci" (Bachtin, 1968), in particolare da "voci" storiche: espressioni dense e incisive attraverso le quali tali contenuti e caratteri salienti si sono manifestati, hanno modificato e modificano il nostro modo "spontaneo" di pensare e di esprimerci e possono essere identificati. Il "Gioco voci-echi" consiste nell'appropriazione delle "voci" storiche da parte degli allievi (sotto la guida dell'insegnante) e nella successiva produzione individuale di "echi" attraverso consegne particolari Che cosa è il gioco VOCI-ECO?

5 R.Garuti-IRRE E.R.5 Fase A: costruzione d'ipotesi attraverso consegne che mettono in movimento immagini mentali in rapporto a esperienze personali o ad un sapere teorico già interiorizzato (sia all'inizio, sia nel momento di pasaggio da una teoria all'altra); Fase B: approccio diretto alla teoria (voce) attraverso la lettura dei testi, disegni, etc. per ripercorrere le tappe significative per l'evoluzione del sapere scientifico; Fase C: attualizzazione della voce attraverso la produzione di esempi moderni appropriati alla teoria; Nel gioco voci-eco si possono osservare fasi diverse:

6 R.Garuti-IRRE E.R.6 Fase D: approccio alla verifica argomentativa attraverso il confronto tra gli eco prodotti dagli allievi e le voci storiche; Fase E (eventuale): anticipazione della voce storica, cioè un'intuizione che nasce durante la costruzione di una eco collettiva e nella quale l'insegnante vede una assonanza con una voce che non è ancora stata introdotta in classe. Questa intuizione può essere rafforzata dall'insegnante attraverso la richiesta di formulazioni più precise, domande appropriate,..; Se l'anticipazione è correttamente gestita qualche allievo può arrivare a una formulazione precisa e pertinente che può rimpiazzare la voce storica.

7 R.Garuti-IRRE E.R.7 1. eco meccanica: parafrasi corretta 2. eco assimilativa: uso del contenuto della voce per risolvere un problema nuovo; 3. eco risonante di approfondimento: uso di un nuovo registro linguistico (es; il registro del formalismo matematico); 4. eco risonante moltiplicativo: attualizzazione della voce della storia attraverso esempi reali, appropriati che sostengono la teoria; 5. eco dissonante: rifiuto della teoria della voce Classificazione echi prodotti dagli allievi

8 R.Garuti-IRRE E.R.8 Le “teorie “ ingenue dei ragazzi Da che cosa pensi che dipenda che una foglia o una piuma cadono a terra più lentamente di una pietra? Fabio: penso che la velocità di caduta di un corpo dipenda soltanto dal peso del corpo in questione, perché dato che la forza di gravità è uguale per tutti i corpi, se una cosa è più pesante cade più in fretta. La pietra essendo più pesante va giù diritta, mentre la foglia o la piuma non vanno giù subito, perche vanno nella direzione in cui li porta il vento. Però se butti giù un foglio aperto e uno chiuso, il peso è lo stesso ma questo va giù più in fretta, quindi dipende anche dal volume della cosa che si lascia cadere.

9 R.Garuti-IRRE E.R.9 Daniela: secondo me un corpo vene attirato a terra dalla forza di gravità. Più un corpo è grande più viene attirato. Se la pietra cadesse dalla stessa altezza della piuma arriverebbe prima la pietra perché ha massa maggiore e in più perché essendo la piuma sottile è come se fosse un paracadute che plana per terra. Se però pensiamo al caso limite, come per esempio due sfere identiche molto grandi una di piombo e l’altra di stagno leggero(grande differenza di peso) non può essere vero che toccano terra contemporaneamente, quindi la caduta oltre che dalla massa e dalla forma dipende anche dal peso.

10 R.Garuti-IRRE E.R.10 La voce di Aristotele LA VOCE DI ARISTOTELE Vediamo come Aristotele 2400 anni fa interpretava la diversa velocità di caduta delle cose. Quella che segue è una parte della sua teoria (la parte che verrà contestata più a fondo da Galileo). Per capire la teoria di Aristotele, è opportuno tener conto che Aristotele pone alla base di essa i seguenti principi: · ogni cosa è composta (in proporzioni e modi diversi) da quattro "elementi primi": terra, acqua, aria, fuoco; · ogni cosa nell'universo è disposta in modo ben determinato, ha un suo "luogo" naturale (a cui tende a ritornare se ne è allontanata con la forza).

11 R.Garuti-IRRE E.R.11 Tra i problemi affrontati da Aristotele nella sua teoria considereremo i seguenti: I) Perché esiste il movimento dei corpi? II) Da cosa dipende il fatto che esistono corpi leggeri e corpi pesanti? III) Verso dove si muovono (se abbandonati a se stessi) i corpi pesanti? IV) Cosa rende possibile il movimento dei corpi nell'aria? V) Come la velocità di caduta dipende dal peso dei corpi?

12 R.Garuti-IRRE E.R.12 ARISTOTELE: " (se allontanato a forza) ciascun corpo si muove verso il proprio luogo.... e (se non allontanata a forza) ciascuna cosa rimane nel suo proprio luogo.... Il fuoco è portato per natura secondo uno spostamento che tende all'alto, la terra secondo quello che tende al basso; ed ecco che anche i loro spostamenti sono contrari. Il fuoco è portato in alto per natura, in basso contro natura.... Per la terra la quiete in alto si genera contro natura, mentre il movimento in basso è conforme a natura..... I) Perchè esiste il movimento dei corpi?

13 R.Garuti-IRRE E.R.13 L’eco ad Aristotele Se tu fossi Aristotele come spiegheresti ad un tuo giovane allievo il fatto che una piuma cada più lentamente di una pietra? Se tu fossi Aristotele come spiegheresti il fatto che il fumo sale verso l’alto? E se volessi spiegare a un tuo giovane allievo perché la farina cade a terra più lentamente dei chicchi di grano?

14 R.Garuti-IRRE E.R.14 Eco ad Aristotele Sebastiano: la pietra è fatta di terra e allora va verso il basso, la piuma appartiene agli uccelli che sono nell’aria, quindi va giù più lentamente (meccanico) Stefania: il fumo essendo un derivato del fuoco quindi l’assoluta leggerezza tende ad andare verso l’alto. Il fumo sale verso l’alto per natura perché se andasse verso il basso andrebbe contro natura (assimilativo) Enzo: quando il chicco viene triturato gli si aggiunge aria e l’aria è leggera, meno del fuoco ma più della terra, quindi l’aria fa restare la farina sospesa per più tempo (assimilativo e approfondimento)

15 R.Garuti-IRRE E.R.15 Formalizzazione matematica della voce di Aristotele Prova a rappresentare con gli strumenti matematici di cui disponiamo oggi (formule, grafici) l’ipotesi di Aristotele su come la velocità di caduta di un corpo dipende dal suo peso. La velocità di caduta dei gravi da una data altezza è proporzionale al peso dei gravi.

16 R.Garuti-IRRE E.R.16 Grandissime difficoltà a formalizzare V=h*P P1:P2=V1:V2

17 R.Garuti-IRRE E.R.17 La voce di Galileo

18 R.Garuti-IRRE E.R.18 Salviati: il sagace pensatore Simplicio: il dotto semplicione Sagredo: l’uomo nuovo Dimostrazioni intorno a due nuove scienze (1638)

19 R.Garuti-IRRE E.R.19 Lettura e analisi del brano di Galileo

20 R.Garuti-IRRE E.R.20 …ma allora da cosa dipende la caduta di un corpo ?

21 R.Garuti-IRRE E.R.21 La velocità dipende dall’altezza? Da una lettera di Galileo all’amico Paolo Sarpi (16 ottobre 1604)... il principio è questo: che il mobile naturale vada crescendo di velocità con quella proporzione che si discosta dal principio del suo moto.

22 R.Garuti-IRRE E.R.22 Una discussione in classe Origine della voce [3] Ins.: Ieri nella discussione è intervenuta l’altezza. Cosa ne pensate? [4] Eleonora: se noi facciamo cadere un oggetto dal banco e uno uguale da poco più in alto, visto che come dice Daniele la velocità aumenta con l’altezza, dovrebbero arrivare insieme. [5] Daniele: No, ho detto che la velocità aumenta con l’altezza non che arrivano insieme!! [7] Daniele se un oggetto cade da 10 metri fa un buco così, se invece cade da 200 metri lo fa molto più grande Sag. …moto uniformemente accelerato essere quello nel quale la velocità andasse crescendo secondo che cresce lo spazio che va passando… Quel grave che viene dall’altezza di sei braccia, non abbia e perquota con impeto doppio di quello che ebbe, sceso che fu tre braccia...

23 R.Garuti-IRRE E.R.23 La voce vive nella classe [21] Enzo: quando uno cade dall’alto per ogni metro aumenta un tot la velocità [22] Ins. Spiegati meglio [23] Enzo: se la velocità che uno acquista per metro è di 6 km/h, se cade da due metri la velocità sarà 12, se cade da 3 metri la velocità sarà 18 [24] Ins. Come si chiama questo in matematica? [25] Enzo : Proporzionalità Simp.veramente io sarei del numero dei conceditori e che il grave discendente crescendo la velocità a ragion dello spazio e che il momento dell’istesso percuziente sia doppio venendo da doppia altezza, mi paiono proposizioni da concedersi senza ripugnanza o controversia

24 R.Garuti-IRRE E.R.24 Dissonanze [27] Fabio: se in un metro percorre 6 km, a 2 metri, quando deve percorrere il secondo metro è più veloce quindi ci mette meno tempo… [29] Vincenzo ma allora Enzo dice che più altezza c’è, non aumenta la velocità [30]Ins. Attenzione Enzo dice che la velocità di caduta è proporzionale all’altezza È31] Vincenzo: enzo dice che va sempre alla stessa velocità V=k V=k*H

25 R.Garuti-IRRE E.R.25 Un colpo di teatro! [33] Stefania: ho una obiezione a Enzo, se tu butti un sasso ad esempio da 1000 metri la caduta, se fosse vero quello che tu dici, dovrebbe essere istantanea, e questo è impossibile! /brusio) [34] Ins. Brava, bella obiezione! Come rispondete)? Salv. E pur sono tanto false e impossibili quanto che il moto si faccia in un istante: ed eccovene chiarissima dimostrazione

26 R.Garuti-IRRE E.R.26 La nuova voce [64] Daniela: se metti una cosa a un metro e una cosa a due metri, se a due metri raddoppia la velocità, allora arrivano insieme. [71] Daniele. Appena lo lasci è già per terra [82] Daniela: ma quello più corto non ci può mettere lo stesso tempo a fare uno spazio metà.Posso andare alla lavagna? Se io per dire, mentre scende fermo a metà il corpo che cade da più in alto, dove è l’altro corpo? Salv. …quando le velocità hanno la medesima proporzione che gli spazi passati o da passarsi, tali spazi vengono passati in tempi uguali… Ma passare il medesimo mobile le quattro braccia e le due nell’istesso tempo, non può aver luogo che nel moto istantaneo. Adunque è falso che la velocità sua cresca come lo spazio

27 R.Garuti-IRRE E.R.27 Analisi della discussione: prima parte Voce sorgente [3] e [5] Eco diss. [4] Eco multipla [7,9,11,12,13..] Ist. [20] Voce classe [21,23,25] Eco dissonanti [27] [33] [29] Ist. V=k Ist. V=k*h

28 R.Garuti-IRRE E.R.28 Analisi della discussione: seconda parte Voce EnzoVoce Stefania Ins. Eco riflessiva [61,63] [64,71] Ins. [80,81,82,83] Esp. 82,84 Nuova voce [ 85] Voce classe [87,89,91,92 Costruzione di una nuova voce …come cade un corpo

29 R.Garuti-IRRE E.R.29 Lettura del brano di Galileo “ Se un mobile scende, a partire dalla quiete, con moto uniformemente accelerato, gli spazi percorsi da esso in tempi qualsiasi stanno fra loro in duplicata proporzione di tempi” S 1 :S 2 = t 1 2 : t 2 2

30 R.Garuti-IRRE E.R.30 Verifica 1: la modellizzazione matematica Come hai visto Galileo arriva a descrivere la caduta dei corpi nel seguente modo: Moto uniformemente accelerato dico quello che a partire dalla quiete, in tempi uguali acquista eguali momenti di velocità,ed enuncia la seguente legge: Se un mobile scende, a partire dalla quiete, con moto uniformemente accelerato, gli spazi percorsi da esso in tempi qualsiasi stanno fra loro in duplicata proporzione dei tempi (cioè stanno fra loro come i quadrati dei tempi)

31 R.Garuti-IRRE E.R.31 a)Con gli strumenti matematici odierni che tu possiedi, scegli fra le seguenti formule qual è in accordo con la legge di Galileo? Perché Giustifica con cura l’esclusione delle altre S=k*TS=k/TS=k*T 2 b) Rappresenta con un grafico (spazio in funzione del tempo) la formula da te scelta. Ti pare che il grafico descriva la legge di Galileo? Perché? c) Rappresenta con un grafico come varia la velocità di un corpo che cade di moto uniformemente accelerato, al variare del tempo. Descrivi la relazione velocità tempo

32 R.Garuti-IRRE E.R.32 Un esempio Lucia

33 R.Garuti-IRRE E.R.33

34 R.Garuti-IRRE E.R.34 Verifica : alla ricerca della costante In questa foto sono riportate le successive posizioni fotografate ogni decimo di secondo di una pallina di legno di circa 4 cm di diametro che cade verticalmente a fianco di un doppio metro. Sulla destra sono riportate le misure in metri e in decimetri

35 R.Garuti-IRRE E.R.35 a)Riporta in una tabella i valori del tempo (0,1sec ogni passo) e dello spazio (in metri) b)Cerca di calcolare in buona approssimazione il valore K nella formula che esprime come varia lo spazio in funzione del tempo e spiega con cura il tuo ragionamento c)C) Controlla sulla foto se l’ipotesi “gli spazi aumentano come i numeri dispari” è corretta

36 R.Garuti-IRRE E.R.36 Un esempio: Enzo

37 R.Garuti-IRRE E.R.37

38 R.Garuti-IRRE E.R.38 Da un punto di vista adulto… A) Velocità costante: da un punto di vista grafico ho V s Aumenta lo spazio, ma la velocità di caduta rimane la stessa

39 R.Garuti-IRRE E.R.39 V s Implica che aumenta in proporzione allo spazio, però il tempo di caduta rimane lo stesso Caso limite B) Velocità proporzionale all’altezza Galileo geometrizza lo spazio (Koirè)

40 R.Garuti-IRRE E.R.40 Supponiamo che le velocità raddoppino secondo gli spazi V 2 = s2/t2V 1 =s1/t1 V 2 =2V 1= 2*s1/t1 ma s2=2*s1 quindi V 2 = 2 s1/t2 Allora V 2 =2s1/t1 eV 2 =2s/t2 quindi t1=t2 impossibile!!!

41 R.Garuti-IRRE E.R.41 Moto uniformemente accelerato Essere quello dove gli spazi percorsi stanno fra loro in duplicata proporzione dei tempi. V=s/ts=v*ts=1/2gt 2 Sostituisco 3 a 1 e ho V= 1/2gt velocità proporzionale al tempo Da 3 ricavo lo spazio 2s=gt 2 t 2 =2s/g t= √2s/g il tempo non è proporzionale allo spazio