La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

LEZIONE A.10 Simmetria e ‘normalità’ TQuArs – a.a. 2010/11 Tecniche quantitative per l’analisi nella ricerca sociale Giuseppe A. Micheli.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "LEZIONE A.10 Simmetria e ‘normalità’ TQuArs – a.a. 2010/11 Tecniche quantitative per l’analisi nella ricerca sociale Giuseppe A. Micheli."— Transcript della presentazione:

1 LEZIONE A.10 Simmetria e ‘normalità’ TQuArs – a.a. 2010/11 Tecniche quantitative per l’analisi nella ricerca sociale Giuseppe A. Micheli

2 In questa lezione.. In questa lezione faremo tesoro dei risultati già ottenuti, e compiremo altri passi utili per rifinire la nostra capacità di analizzare una variabile:  Dapprima applicheremo la trasformata standard su esempi di distribuzioni differenti, per imparare a cogliere le differenze di forme al di là dell’ordine di grandezza e della misura di dispersione.  Daremo a questo punto una definizione della proprietà di simme- tria o asimmetria di una variabil, e ne indicheremo una misura.  C’è una distribuzione simmetrica per eccellenza, di fondamentale importanza in Statistica (soprattutto per l’inferenza): la distri- buzione Normale o di Gauss. Ne faremo la conoscenza.  Impareremo infine a usare i valori tabulati delle frequenze sottese alla distribuzione Normale ‘ridotta’ (standardizzata) per stimare – conoscendo solo media e deviazione standard di una variabile – la frequenza di osservare valori entro o fuori di una qualunque ‘regione di accadimento’.

3 La forma delle distribuzioni: un esempio x i -x i+1 nini hihi 0,4-0, ,8-1, ,2-1, ,6-2, ,0-3, ,0-4,0600 4,0-6, Diecimila coscritti secondo il reddito familiare m=1,732; =0,9365; Me=1,46; Md=1,40 z i -z i+1 hihi -1,43--1, ,00--0, ,57--0, ,14- 0, ,29- 1, ,35- 2, ,42- 4,56187 Osserviamo una leva di coscritti secondo il reddito familiare. La trasformata stan- dard mostra un addensamento a sinistra, compensato da una lunga coda a destra. Densità ricalco- late!

4 Due caratteri, una popolazione x i -x i+1 nini hihi , , , , , , , Diecimila coscritti secondo il peso m=83,535; =10,483; Me=83,07; Md=78 z i -z i+1 hihi -3,20--2, ,43--1, ,67--0, ,91--0, ,15- 0, ,62- 1, ,38- 2,91314 E’ ragionevole che i redditi siano distri- buiti in modo ineguale, asimmetrico. Invece la distribuzione del peso sembra più centrata intorno alla media: essa mo- stra però una marcata polarizzazione. La trasformata standard la evidenzia. Densità ricalco- late!

5 Confrontare la forma standardizzando Se sovrappongo le due di- stribuzioni standardizzate, fa- cendo attenzione a uniforma- re le scale degli assi (quello orizzontale con i valori z, quello verticale con le densità ricalcolate), possiamo ora co- gliere le differenze nella forma delle v.s. depurate dall’influenza sia dell’or- dine di grandezza che del- la dispersione, ora tenute sotto controllo. Ma quali altri caratteri della forma di una distribuzione possono essere catalogati? Dopo l'ordine di grandezza e la dispersione, la terza proprietà fondamentale della forma di una variabile è la asimmetria. La distribuzione dei redditi è ‘asimme- trica’, quella del peso molto meno Blu:reddito Rosso: peso

6 Una distribuzione ‘simmetrica’ x i -x i+1 nini hihi , , , , , , , Diecimila coscritti secondo la statura m=175; =10,391; Me=175; Md=175 z i -z i+1 hihi -3,36--2, ,40--1, ,44--0, ,48- 0, ,48- 1, ,44- 2, ,40- 3,3665 Consideriamo un terzo carattere. La di- stribuzione delle stature (Quetelet insegna) dà veramente una sensazione di simmetria…

7 Un’altra distribuzione ‘simmetrica’ x i -x i+1 nini hihi m+m- Coscritti secondo il Quoziente di Intelligenza m=110; =20,02; Me=110; Md=110 z i -z i+1 hihi -1,75- -1, ,25- -0, ,75- -0, ,25– 0, ,25 – 0, ,75 – 1, ,25 –1, Ma anche la distribuzione dei Q.I. dà la stessa sensazione. Come definire allora la simmetria o asimmetria di una variabile? E, se è possibile, come misurarla?

8 Come definire la simmetria Il concetto di simmetria implica un polo centrale della distribuzione, ri- spetto a cui si osservi questa proprietà. Immaginiamo il profilo della distri- buzione di una v.s. come il fondale di un palcoscenico chiuso da un sipario. Man mano che il sipario si apre (quindi a pari distanza a sinistra e a destra del centro del palco) il profilo varia ma sempre con pari altezza sui due lati. Un sipario è sempr e di velluto rosso

9 Una definizione più formale Una distri- buzione è asimmetrica se non è simmetrica Diamo allora una definizione più formale. Anzitutto noi non sappiamo defi- nire la asimmetria in sé, ma solo come assenza di simmetria. Una distri- buzione è asimmetrica se non è simmetrica. In generale: Una distribuzione è simmetrica rispetto a un polo se per ogni mo- dalitàx i =  + k ne esiste una speculare x j =–k con la medesima frequenza: È abbastanza intuitivo che se X è simmetrica allora il polo centrale deve coincidere sia con la mediana (il ‘valore di mezzo’) che con la media aritmetica (il ‘baricentro’). Cioè  = M(X) = Me(X). Se poi la distribuzione è, come si dice, ‘regolare’ (cioè ha un unico valore modale), la simmetria comporta la sovrapposizione delle tre misure cen- trali m=Me=Md. Su questa ultima proprietà si basa una misura della asimmetria come scostamento dalla perfetta simmetria.

10 Definire la asimmetria Definiamo asimmetria "negativa" (skewness sinistra) quella di una distribuzione regolare che presenta una co- da a sinistra di valori lontani dalla media e un massimo spo- stato a destra ri- spetto al baricentro. Definiamo asimmetria “positiva" (skewness destra) quella di una distribuzione regolare che presenta una co- da a destra di valori lontani dalla media e un massimo spo- stato a sinistra ri- spetto al baricentro. Curva skew destra Curva skew sinistra Rispetto alla situazione di perfetta simmetria possiamo distinguere due situazioni opposte

11 Misurare la asimmetria In caso di skewness destra la media (nel cui calcolo entrano tutte le x i incluse le più alte) è trascinata più a destra della me- diana, a sua volta più a destra della moda: Md  Me  m (m-Me)  0 moda mediana media moda mediana media media=mediana=moda Analogamente in caso di skewness sinistra la media (che coinvolge anche le x i più basse) è trascinata più a sini- stra della mediana, a sua volta più a sini- stra della moda: m  Me  Md (m-Me)  0 La differenza (m-Me), depurata dell’effetto della dispersione dei dati divi- dendola per ) è allora u- na buona misura di asim- metria, detta skewness: Sk = (m-Me)/  Sk 0 Sk  0 Sk = 0 NB: lo skewness non è misura normalizzata tra 0 e 1 (altre lo sarebbero).

12 Un miscuglio, due distribuzioni x i -x i+1 nini Sottogruppo con alto red- dito secondo il peso m=78,13; =8,164 Me=78,04; Md=78 x i -x i+1 nini Sottogruppo con basso red- dito secondo il peso m=88,94; =9,69 Me=91,13; Md=94 Sk=+0,011 Sk=-0,226 La distribuzione del pe- so tra i 10mila coscritti aveva forma bipolare e una certa asimmetria positiva (Sk=+0,044). Ma essa ‘mischia’ due popolazioni distinte in base al reddito, con dif- ferenti m,  e Sk

13 Una distribuzione tutta particolare x i -x i+1 nini m x =175 xixixixi m+=185m-=165 m-2=155 m+2=195 x i -x i+1 nini Torniamo alla distribuzione delle stature e disaggreghiamo le classi. L’istogramma as- sume forma simmetrica e campanulare. Se facciamo tendere gli intervalli  i di base a misure infinitesime..

14 La distribuzione Normale o di Gauss m m+m- m-2 m+2 Va sotto il nome di Gauss la legge di frequenza di una v.s. continua, dalla forma simmetrica e campanulare, per la quale sono stati dimostrati fondamentali risultati di convergenza, tanto da farne una legge di riferimento o “Normale”. N(m, ) Una distribuzione Normale con media m e deviazione standard  (la indicheremo con N(m,) possiede queste proprietà:  Ha forma simmetrica e campanulare  Dipende da due parametri che corri- spondono alle statistiche m e   Tende asintoticamente a zero per x  È unimodale, con massimo in x=m=Me  Ha due punti di flesso (dove cambia o- rientamento la concavità della curva) in x=m 

15 Due buoni motivi di interesse zizizizi Ci sono almeno due motivi di interesse per la N(m,). Il primo è che già Gauss la identifica come legge di distribu- zione degli errori accidentali intorno a una misura centrale. Il teorema del limite centrale, formulato nel ‘900, indica nella Normale la legge a cui converge la somma di un numero crescente di ‘esperimenti’ ripetuti, qualunque sia la loro distribuzione. Il secondo motivo è che la legge di densità dipende solo dai due parametri m e  (e,  e 2 = costanti!), interni alla distri- buzione stessa. Quindi se noi standardizziamo le modalità di una distribuzione osservata, qualunque ne sia la forma, la di- stribuzione così ‘ridotta’ N(0,1) non dipende da nessun parametro. Insomma, una distribuzione ‘universale’!

16 La distribuzione Normale ridotta m zizizizi m+m-m-2m+2 34,1% 2,3% 13,6% 34,1% 13,6% 2,3% Ripetiamo questo concetto, così utile e importante. Se noi constatiamo, o sappiamo per certo (o almeno ipotizziamo) che il carattere X si distribui- sce secondo una Normale di media m e deviazione standard (lo scriviamo così: X~N(m;) ), e consideriamo i valori standardizzati z=(x-m)/ questi si distribuiranno ancora secondo una Normale, ma con media m=0 e deviazione standard =0 (e lo scriviamo così: Z ~ N(0,1) ). Quindi la distribuzione normale standardizzata ha legge di den- sità fissa qualunque sia la distri- buzione N(m,) di partenza. L’area sottesa alla curva in un qualunque intervallo dato è quindi fissa e tabulabile. Per esempio: f(-1

17 La tavola della Normale ridotta Per usare la tavola della Normale ridotta N(0,1) si cerca nella prima colonna (intero e primo decimale) e prima riga (secondo deci- male) l’estremo superiore di un intervallo 0

18 Un primo esempio Abbiamo visto che la statura di diecimila coscritti si distribuisce secondo una Normale, con m=175 e =10,39. Senza dover avere sottomano l’intera distribuzione mi bastano questi due parametri e l’ipotesi che X ~ N(m,) Per stimare per es. la frequenza di coscritti di statura compresa tra 175 (media) e 190 cm. Occorre anzitutto trasformare l’intervallo in valori z: Se x=190 allora z=( )/10,39=1,44 Nella tavola in corrispondenza di z=1,44 trovo (z)=f(0

19 Un secondo esempio Prendiamo ora la distribuzione del peso dei coscritti. Supponiamo di non avere l’intera distribuzione ma solo i parametri m=83,5 e =10,5. Per avere una stima della frequenza di osservazioni compresi tra 82 e 90 chili, facciamo la solita ipotesi che X ~ N(m,). Ora però l’intervallo non è centrato sulla media (è spostato a destra). Calcoliamo separatamente due frequenze (sapendo che (-z)= (z)): f{m

20 Un ultimo esempio A volte siamo interessati a stimare la frequenza di casi non entro una data re- gione, bensì al di fuori di essa. Per es.:  La frequenza dei bocciati  La frequenza di frecce scagliate fuori bersa- glio (troppo a destra e troppo a sinistra)… Sappiamo che la distribuzione del peso dei coscritti ha m=83,5 e =10,5. Fissia- mo una soglia critica a k=m+2=104,5 chili e chiediamo: date le diverse di- stribuzioni per alti e bassi redditi, quale sarà nei due casi la frequenza di ragaz- zi sovrappeso? Detto k* il valore stan- dardizzato (k-m)/, vale la relazione: Alto reddito: m=78,1; =8,16 K*=(104,5-78,1)/8,16=3,23 ½ - (3,23)=0,5 – 0,4995  0 f(X>k)=f(Z>k*)=f(0

21 Un confronto con Cebicev L’assunzione di normalità di una distri- buzione, la standardizzazione di una variabile e l’uso della tavola della N(0,1) ci consentono, dati solo m e , di avanzare una valutazione della frequenza di osser- vazioni in un certo intervallo: f{m-z


Scaricare ppt "LEZIONE A.10 Simmetria e ‘normalità’ TQuArs – a.a. 2010/11 Tecniche quantitative per l’analisi nella ricerca sociale Giuseppe A. Micheli."

Presentazioni simili


Annunci Google