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UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 1 Fondamenti di Automatica Luigi Chisci, Università di Firenze CdL Ingegneria.

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1 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 1 Fondamenti di Automatica Luigi Chisci, Università di Firenze CdL Ingegneria dell’Informazione CdL Ingegneria dell’Ambiente e delle Risorse Prato, A.A

2 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 2 Automatica Automatica: settore scientifico disciplinare con competenze di sistemistica ( modellistica matematica di sistemi reali), controllistica (metodologie per la soluzione di problemi di controllo), automazione e robotica (supervisione e coordinamento di macchine e impianti finalizzati alla realizzazione di processi produttivi). Fondamenti di Automatica: –elementi di sistemistica (modellistica, simulazione e analisi di sistemi dinamici) –elementi di controlli automatici (analisi e sintesi di sistemi di controllo a retroazione)

3 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 3 Cosa è l’Automatica ? Automatico: che può funzionare senza l’intervento di un operatore umano Automatica: complesso di discipline che forniscono strumenti per la progettazione e la realizzazione di sistemi automatici, ad esempio –pilota automatico di un velivolo (veicolo, natante) commerciale –climatizzatore di un ambiente, edificio, serra –sistema automatizzato di produzione industriale (carta, tessuti, prodotti alimentari, circuiti integrati, prodotti chimico-farmaceutici e petrolchimici, pezzi meccanici etc.) –sistema per la depurazione delle acque o per lo smaltimento dei rifiuti –controllo di livello di un fiume (lago, serbatoio idrico etc.)

4 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 4 Problemi di controllo Nella conduzione di apparati ingegneristici di varia natura emergono numerosi problemi di controllo Problema di controllo: si desidera che certe variabili del sistema di interesse si comportino nel modo desiderato corrispondente ad un funzionamento corretto e ottimale del sistema Esempi di problemi di controllo –controllo di temperatura (forno, ambiente, reattore nucleare etc.) –controllo di pressione (cabina pressurizzata, reattore nucleare etc.) –controllo di velocità (motore elettrico, veicolo etc.) –controllo di posizione (raggio laser, antenna, radar, telescopio, manipolatore robotico etc.) –controllo di forza (manipolatore robotico) –controllo di livello (serbatoio idrico, lago, fiume etc.) –controllo di concentrazione (processo chimico) –controllo di portata –controllo di tensione (generatore elettrico, alimentatore, convertitore etc.)

5 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag ELEMENTI COSTITUTIVI DI UN PROBLEMA DI CONTROLLO SISTEMA SOTTO CONTROLLO, P (Processo) variabili di ingresso: variabili di uscita: COMPORTAMENTO DESIDERATO P u = variabili di controllo (manipolabili) d = disturbi (non manipolabili) z = variabili controllate y = variabili misurate z(t) r(t)( r = riferimento = uscita desiderata ) u y z d

6 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 6 Sistema di Controllo Sensori Attuatori Processo Controllore automatico disturbi d variabili misurate disturbi di misura v variabili di controllo riferimento r variabili controllate z uy Obiettivo: z(t)  r(t) ovvero e(t) = r(t) - z(t) 

7 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 7 ESEMPIO Controllo della temperatura in un ambiente riscaldato ad aria Ta P(α) Te Ti, α T z = T (temperatura media dell’ambiente) u = α (apertura della serranda che regola la portata dell’aria immessa a temperatura Ti) d = Te (temperatura esterna) y = Ta (temperatura aria estratta) r = 20°C (temperatura desiderata)

8 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 8 Le variabili di ingresso del controllore, utilizzate per generare il comando, sono indipendenti dal comando stesso 2.1. CONTROLLO AD ANELLO APERTO 2. SISTEMI DI CONTROLLO ESEMPI CP ru d z P = impianto ( + sensore ( S ) ) C = controllore ( +attuatore ) z P2 P1 C d S u y r P

9 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 9 Le variabili di ingresso del controllore, utilizzate per generare il comando, sono influenzate dal comando stesso 2.2.CONTROLLO AD ANELLO CHIUSO (O A RETROAZIONE) ESEMPI CP ruz P = impianto ( + sensore ) C = controllore ( + attuatore ) y d CP ru d z

10 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag ANELLO DI CONTROLLO L’azione di controllo u dipende dall’entità dell’errore CP u d r Sistema di controllo z=y e r d Specifiche di controllo adeguata precisione (statica e dinamica) adeguata stabilità (incertezza) e _ +

11 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag ESEMPIO SISTEMA DI CONTROLLO 4.1. Controllo del livello di un serbatoio q q= portata volumetrica di fluido all’inizio della condotta h= livello del serbatoio q i = portata volumetrica di fluido in ingresso al serbatoio q u = portata volumetrica di fluido in uscita dal serbatoio Att. Idraul. Controllore galleggiante qu qi h* q h o condotta

12 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 12 S galleggiante CP1P2 z r condottaserbatoio u r=h* z=h u=q + P1(s) = exp(-sT) P2(s) = K/(1+τs) - Regolatore+Attuatore +Valvole Impianto sotto controllo, P Il ritardo T dipende dalla lunghezza e dalla sezione della condotta e dalla portata nominale del fluido Il guadagno K e la costante di tempo  del serbatoio dipendono dalla superficie a pelo libero e di uscita del sebatoio e dalla portata nominale del fluido

13 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 13 Problema: regolare la temperatura Tu in uscita dalla tubazione agendo sulla portata di ingresso wi dello scambiatore wi: portata di fluido in ingresso allo scambiatore Ti, To: temperatura del fluido in ingresso e all’uscita dello scambiatore Hi, Ho: entalpie del fluido in ingresso e all’uscita dello scambiatore Tu: temperatura del fluido in uscita dalla tubazione adiabatica di lunghezza l Q: flusso termico assorbito dal fluido nello scambiatore 4. CONTROLLO DI PROCESSO Tu wi, Ti, HiTo, Ho Q l

14 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 14 C1C2 S2 S1 G1G2 Gt Gq Q Ti Tu*Tu wi To Controllore+attuatore Processo sotto controllo, P (+ trasduttori) Tu: variabile controllata (e misurata) (z) Tu * : temperatura di uscita desiderata (z * ) Q, Ti: disturbi agenti sul processo (d) wi: variabile di controllo (u) T0: variabile ausiliaria misurata

15 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag COMPONENTI DEI SISTEMI DI CONTROLLO Componenti base Dispositivi di misura (sensori) Unità di elaborazione (controllo) Dispositivi di attuazione (attuatori) Altri componenti Sistemi di comunicazione fra unità di controllo, sensori e attuatori Interfaccia uomo-macchina per interazione con operatore)

16 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 16 MODELLI MATEMATICI (LINEARI STAZIONARI) G(s) u y D n y + a 1 D n-1 y + …. + a n y = b 0 D n u + b 1 D n-1 u + … + b n u D k y := dt k G(s) = b(s) a(s) = b 0 s n + b 1 s n-1 + … + b n-1 s + b n s n + a 1 s n-1 + … + a n-1 s + a n dkydky s: variabile di Laplace

17 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 17 SISTEMI ELETTRICI CIRCUITI R-L-C + OP AMP oo o o o - + R L C i i i v RESISTORE: v = R i INDUTTORE: v = L di/dt CONDENSATORE: i = C dv/dt AMPLIFICATORE IDEALE v 1 = v 2 i 1 = i 2 = 0 v1v1 v2v2 i1i1 i2i2

18 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 18 SISTEMI ELETTRICI v = R i v = L di/dt sostituendo d/dt con s v = sL i i = C dv/dt v = i 1 sC v = Z(s) i Z(s) = R RESISTORE sL INDUTTORE 1/sC CONDENSATORE IMPEDENZA GENERALIZZATA

19 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 19 ESEMPI ELETTRICI R uC R u C L y y/u = G(s) = 1/(1+  s)  RC (costante di tempo) y u = nn nn s  n s +  n = 1/LC, 2  n = R/L  fattore di smorzamento  n  pulsazione naturale

20 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 20 u R1R1 R2R2 C1C1 C y

21 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 21 SISTEMI MECCANICI (DI TRASLAZIONE) M MASSA F = M dv/dt v = dx /dt MOLLA F = K (x 1 - x 2 ) SMORZATORE F = B (v 1 - v 2 ) K B x oo x1x1 x2x2 x1x1 x2x2 F F F F F

22 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 22 ESEMPI MECCANICI (DI TRASLAZIONE) M M B B K u u x x Ingresso: forza u Uscita: velocità y = dx/dt F.d.T.: G(s) = y/u = G = 1/B,  M/B G 1 +  s Ingresso: forza u Uscita: posizione y = x s  n s +  n 2 G 0  n 2 G(s) = G 0 = 1/K,  2  n  B/M,  n  K/M 2

23 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 23 SISTEMI MECCANICI (DI ROTAZIONE) J INERZIA T = J d  /dt  = d  /dt MOLLA T = K (  1 -  2 ) TORSIONALE SMORZATORE T = B (  1 -  2 ) TORSIONALE K B oo 11 22  22  T T T

24 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 24 SISTEMI MECCANICI (DI TRASLAZIONE) v = Z(s) F x = v/s = [Z(s)/s] F Z(s) = 1/sM MASSA s/K MOLLA 1/B SMORZATORE v: velocità, F: forza, x: posizione Z(s) : IMPEDENZA MECCANICA

25 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 25 SISTEMI MECCANICI (DI ROTAZIONE)  = Z(s) T  =  /s = [Z(s)/s] T Z(s) = 1/sJ INERZIA s/K MOLLA TORSIONALE 1/B SMORZATORE TORSIONALE  : velocità angolare, T: coppia,  : posizione angolare Z(s) : IMPEDENZA MECCANICA (DI ROTAZIONE)

26 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 26 ANALOGIE ELETTRO-MECCANICHE

27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 27 MOTORE IN CONTINUA ( MODELLO PER IL CONTROLLO DI ARMATURA ) Ingresso u = v app (tensione di armatura) e = v emf ( fem indotta ) i ( corrente di armatura ) T =  ( coppia applicata all’albero motore ) R, L ( resistenza, induttanza, di armatura ) J ( momento d’inerzia albero motore ) B = K f ( coeff. attrito viscoso )

28 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 28 MOTORE IN CONTINUA ( MODELLO PER IL CONTROLLO DI ARMATURA ) L di/dt + R i = u - e ( eq.ne elettrica ) e = K e  ( fem indotta ) J d  /dt + B  = T ( eq.ne meccanica ) T = K m i  ( coppia indotta ) K e, K m : costanti del motore

29 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 29 MOTORE IN CONTINUA ( MODELLO PER IL CONTROLLO DI ARMATURA ) CONTROLLO DI VELOCITA’ y =  G(s) = y/u = s  n s +  n G 0  n  n =R/L + B/J  n =(K e K m +BR) / LJ G 0 =K m / (K e K m +BR) 2

30 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 30 MOTORE IN CONTINUA ( MODELLO PER IL CONTROLLO DI ARMATURA ) CONTROLLO DI POSIZIONE y =  G(s) = y/u = s (s  n s +  n ) G 0  n  n =R/L + B/J  n =(K e K m +BR) / LJ G 0 =K m / (K e K m +BR) 2

31 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 31 MOTORE IN CONTINUA ( MODELLO PER IL CONTROLLO DI ARMATURA ) MODELLO SEMPLIFICATO L=0  /u = G 0 / (1+  s),  /u = G 0 / [s (1+  s)] G 0 = K m / (BR+K m K e ) guadagno in continua  = JR / (BR+ K m K e ) costante di tempo

32 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 32 ANALISI NEL TEMPO DI UN SISTEMA LINEARE STAZIONARIO G(s) u y Problema di analisi della risposta: date condizioni iniziali y(0), Dy(0),…,D n-1 y(0) e l’andamento temporale u(t),  0  t, determinare la risposta y(t), 0  t. Commento: occorre risolvere l’eq.ne diff.le y(t) = G(D) u(t) rispetto a y(t).

33 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 33 SISTEMA DEL PRIMO ORDINE G(s)=G 0 /(1+  s) u y Eq.ne diff.le:  dy/dt + y = G 0 u Condizione iniziale y(0) Ingresso (gradino) u(t) = u se t  0 u(t) = 0 se t < 0 Soluzione (risposta y(t) = ( y(0)-G 0 u ) e -t/  + G 0 u al gradino)

34 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 34 SISTEMA DEL PRIMO ORDINE

35 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 35 SISTEMA DEL PRIMO ORDINE La risposta, partendo dal valore iniziale y(0), tende asintoticamente al valore di regime y(  ) = G 0 u, dove G 0 è il guadagno in continua e u è l’ingresso costante, con una rapidità che dipende dalla costante di tempo . In particolare, l’uscita è al 95% della sua escursione per un tempo t = 3 

36 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 36 SISTEMA DEL SECONDO ORDINE G(s)=b/(s 2 + a 1 s + a 2 ) u y Eq.ne diff.le: D 2 y + a 1 Dy + a 2 y = bu Condizioni iniziali y(0), Dy(0) Ingresso (gradino) u(t) = u se t  0 u(t) = 0 se t < 0

37 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 37 SISTEMA DEL SECONDO ORDINE G(s)=b/(s 2 + a 1 s + a 2 ) u y Soluzione (risposta) : y(t) = c 1 exp(p 1 t) + c 2 exp(p 2 t) + G 0 u G 0 = b/ a 2 : guadagno in continua p 1, p 2 : poli di G(s), soluzioni dell’eq.ne algebrica a(s)= s 2 + a 1 s + a 2 = 0 c 1, c 2 : dipendono da y(0), Dy(0), u

38 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 38 SISTEMA DEL SECONDO ORDINE a(s)= 2 s  n s +  n = s 2 + a 1 s + a 2 Poli: p = -  n  n (    -1) 1/2 Si distinguono tre casi:  1 : poli reali distinti  1 : poli reali coincidenti  1 : poli complessi coniugati Casi (1) e (2): comportamento simile ai sistemi del primo ordine Caso (3): comportamento oscillatorio

39 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 39 CASO SOVRASMORZATO: 

40 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 40 CASO CRITICAMENTE SMORZATO: 

41 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 41 CASO SOTTOSMORZATO: 0 <  Risposta y(t) = c e -  t sen(  t  + G 0 u  n,  n  , G 0 : guadagno dc c,  dipendono dalle c.i. y(0), Dy(0) e da u La risposta tende al valore di regime G 0 u con oscillazioni smorzate di pulsazione 

42 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 42

43 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 43

44 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 44 CASO SOTTOSMORZATO: 0 < 

45 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 45

46 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 46

47 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 47

48 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 48

49 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 49

50 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 50

51 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 51 Sistema del 2 o ordine con zero negativo

52 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 52 Sistema del 2 o ordine con zero negativo

53 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 53 Sistema del 2 o ordine con zero negativo

54 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 54 negativo Sistema del 2 o ordine con zero positivo

55 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 55 Sistema del 2 o ordine con polo aggiuntivo

56 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 56 Sistema del 2 o ordine con polo aggiuntivo

57 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 57 GENERALIZZAZIONE: SISTEMA DI ORDINE n G(s)=b(s)/a(s) u y Eq.ne diff.le: a(D)y = b(D)u Condizioni iniziali y(0),Dy(0),…,D n-1 y(0) Ingresso (gradino) u(t) = u se t  0 u(t) = 0 se t < 0

58 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 58 RISPOSTA AL GRADINO DI UN SISTEMA DI ORDINE n G(s)=b(s)/a(s) u y p 1, p 2, …, p n : poli di G(s), soluzioni dell’eq.ne algebrica a(s)= s n + a 1 s n-1 +…+ a n-1 s + a n = 0 Per semplicità si assume p 1  p 2  …  p n  Risposta y(t) = c 1 exp(p 1 t) + c 2 exp(p 2 t) + … + c n exp(p n t) + G 0 u c 1, c 2, …, c n dipendono da y(0), Dy(0),…,D n-1 y(0), u G 0 = b(0)/a(0) = b n / a n : guadagno in continua

59 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 59 RISPOSTA LIBERA DI UN SISTEMA DI ORDINE n G(s)=b(s)/a(s) u=0 y Poli di G(s): p 1, p 2, …, p n Per semplicità si assume p 1  p 2  …  p n Risposta y(t) = k 1 exp(p 1 t) + k 2 exp(p 2 t) + … + k n exp(p n t) k 1, k 2, …, k n dipendono da y(0), Dy(0),…,D n-1 y(0)

60 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 60 STABILITA’ G(s)=b(s)/a(s) u y DEFINIZIONE Il sistema dicesi STABILE se la sua risposta libera tende asintoticamente a zero qualunque siano le condizioni iniziali cioè lim y(t) = 0  y(0), Dy(0),…,D n-1 y(0) t 

61 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 61 STABILITA’ G(s)=b(s)/a(s) u y Poiché la risposta libera è y(t) = k 1 exp(p 1 t) + k 2 exp(p 2 t) + … + k n exp(p n t) dove k 1, k 2, …, k n possono assumere valori arbitrari al variare di y(0), Dy(0),…,D n-1 y(0) il sistema è stabile se e solo se i poli p 1, p 2, …, p n di G(s) hanno tutti parte reale negativa re(p i ) < 0 per i=1,2,…,n

62 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 62 G(s)=b(s)/a(s) u y OSSERVAZIONE Se il sistema è STABILE, ad un ingresso limitato corrisponde sempre un’uscita limitata, cioè il sistema non può mai “esplodere” per effetto di un segnale di ingresso limitato. STABILITA’

63 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 63 COME VERIFICARE LA STABILITA’ G(s)=b(s)/a(s) u y Sistema di ordine 1: a(s)= s + a 1 stabile se e solo se a 1 >0 Sistema di ordine 2: a(s)= s 2 + a 1 s + a 2 stabile se e solo se a 1 >0 e a 2 >0 Sistema di ordine n: a(s)= s n + a 1 s n-1 +…+ a n stabile solo se a 1 >0, a 2 >0, …, a n >0; cioè se almeno uno dei coefficienti a i  allora il sistema è instabile, viceversa se tutti i coefficienti a i >0 non si può dire che il sistema è stabile; occorre determinare le radici di a(s)

64 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 64 VERIFICA DI STABILITA’: CASO n>2 METODO 1: richiede l’uso del calcolatore si determinano radici di a(s) con MATLAB a = [a 1, a 2, …, a n ] roots(a) METODO 2: METODO DI ROUTH-HURWITZ, richiede solo carta e matita

65 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 65 VERIFICA DI STABILITA’: CASO n>2 Esempio: a(s)= s 5 + 2s 4 +s 3 +s 2 + s +1 Verifica con MATLAB a=[ ] roots(a) j j j j0.63 sistema instabile (2 poli con parte reale positiva) sistema oscillatorio: 2 coppie di poli complessi coniugati

66 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 66 Esempio: a(s)= s 5 + 2s 4 +s 3 +s 2 + s +1 Verifica con ROUTH-HURWITZ s s s 3 1/2 1/2 0 s s 1 1/2 s 0 1 I coefficienti della colonna 1 non sono tutti positivi sistema instabile

67 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 67 ANALISI ARMONICA (IN FREQUENZA) DI UN SISTEMA LINEARE STAZIONARIO G(s)=b(s)/a(s) u y Ingresso (armonica) u(t) = A sen(  t+  A,  ampiezza e fase dell’armonica In forma fasoriale: u(t) = im ( U e j  t ), U = A e j  Si vuole determinare risposta armonica y(t) per arbitrarie condizioni iniziali y(0), Dy(0),…,D n-1 y(0)

68 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 68 ANALISI ARMONICA (IN FREQUENZA) DI UN SISTEMA LINEARE STAZIONARIO G(s)=b(s)/a(s) u y TEOREMA DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA La risposta all’ingresso u(t) = im ( U e j  t ) è della forma y(t) = c 1 exp(p 1 t)+c 2 exp(p 2 t) + … +c n exp(p n t) + im( Y e j  t ) dove c 1, c 2, …, c n dipendono da y(0), Dy(0),…,D n-1 y(0), U Y = G(j  U

69 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 69 RISPOSTA TRANSITORIA E A REGIME PERMANENTE G(s)=b(s)/a(s) u(t) = A sen(  t+  y Risposta a regime permanente y rp (t) = im( Y e j  t ) = |G(j  )| A sin(  t+  G(j  è una armonica della stessa pulsazione dell’armonica in ingresso di AMPIEZZA |G(j  )| A FASE  G(j  ) +  Transitorio y T (t) = c 1 exp(p 1 t)+c 2 exp(p 2 t) + … +c n exp(p n t)

70 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 70 RISPOSTA TRANSITORIA E A REGIME PERMANENTE G(s)=b(s)/a(s) u(t) = A sen(  t+  y OSSERVAZIONE Se il sistema è stabile, il transitorio si esaurisce asintoticamente cioè dopo un tempo sufficientemente lungo; rimane quindi la sola risposta a regime.

71 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 71 RISPOSTA IN FREQUENZA G(s) y G(j  ), cioè G(s) valutata per s=j , prende il nome di RISPOSTA IN FREQUENZA Nota che per ogni pulsazione , G(j  ) è un numero complesso il cui modulo |G(j  )| rappresenta il guadagno del sistema alla pulsazione  e il cui argomento (fase)  G(j  rappresenta lo sfasamento del sistema alla pulsazione  u

72 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 72 MISURA DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA Fissato  si applica al sistema un ingresso armonico u di pulsazione  di ampiezza A e fase  note. Si attende che il sistema vada a regime e si misurano ampiezza A’ e fase  ’ dell’uscita y. Allora |G(j  )| = A’ / A (ampiezza uscita / ampiezza ingresso)  G(j  ’ -  (fase uscita - fase ingresso) Si ripete l’esperimento per vari valori di 

73 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 73 PROPRIETA’ RISPOSTA IN FREQUENZA |G(j  | = |G(-j  |  G(j  = -  G(-j  re G(j  = re G(-j  im G(j  = - im G(-j  G(j  |= |G(j  | exp(j  G(j  ) = re G(j  + j im G(j 

74 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 74 RAPPRESENTAZIONI DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA DIAGRAMMI DI BODE (CARTESIANI): diagramma delle ampiezze: |G(j  |, in decibel, in funzione di   diagramma delle fasi  G(j  in gradi, in funzione di  su scala logaritmica per  DIAGRAMMA DI NYQUIST (POLARE): Curva descritta da G(j  al variare di 

75 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 75 G(s) = 1 / (1+  s)

76 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 76

77 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 77 DIAGRAMMI DI BODE DI G(s) = G 0 AMPIEZZA : Retta orizzontale a 20 log 10 |G 0 |dB FASE : Retta orizzontale a O° se G 0 >0, a -180° se G 0 <0 VALORI IN dB |G 0 | |G 0 | dB /  

78 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 78 DIAGRAMMI DI BODE DI G(s) = 1/s AMPIEZZA : Retta con pendenza di -20 dB per decade che attraversa 0 dB alla pulsazione  =1 FASE : Retta orizzontale a -90° ALCUNI VALORI  |G  )  in dB

79 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 79 DIAGRAMMI DI BODE DI G(s) GENERICA OSSERVAZIONI (1) Se G(s) = G 1 (s) G 2 (s) G 3 (s)  i diagrammi di Bode di G(s) sono ottenuti sommando i diagrammi di G 1 (s), G 2 (s), G 3 (s) ….. Poiché | G 1 G 2 G 3  dB = |G 1 | dB + |G 2 | dB + |G 3 | dB +   G 1 G 2 G 3  =  G 1 +  G 2 +  G 3 +  (2) I diagrammi di Bode di 1/G(s) sono ottenuti ribaltando rispetto all’asse delle ascisse i diagrammi di G(s) poiché |1/G| dB = - |G| dB  /G = -  G (3) Il diagramma di ampiezza di G’(s)=1/(1-  s) è uguale a quello di G(s)= 1/(1+  s); il diagramma di fase di G’(s) è ottenuto ribaltando rispetto all’asse delle ascisse quello di G(s). (4) Come al punto (3) vale per i diagrammi di G(s)=  n /(s 2 +2  s+   n ) G(s)=  n / (s 2 -2  s+  n )  

80 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 80 DIAGRAMMI DI BODE DI G(s) GENERICA Una generica f.d.t. G(s) può essere espressa come prodotto di f.d.t. dei quattro tipi già esaminati vale a dire G(s) = G 1 (s) G 2 (s) G 3 (s)  dove G i (s) può essere dei seguenti tipi (già esaminati) G i (s) = G 0 G i (s) =1/s G i (s) =1/(1+  s) o G i (s) = 1+  s G i (s) = 1/[1+2  (s/  n )+(s/  n ) 2 ] o G i (s)=[1+2  (s/  n )+(s/  n ) 2 ] 2

81 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 81 DIAGRAMMI DI BODE DI G(s) GENERICA ESEMPIO: Modello semplificato per il controllo di posizione dell’albero di un motore dc G(s) = G 0 / s (1+  s) G 0  = 10,  = 1 Si ha G(s) = G 1 (s) G 2 (s) G 3 (s) con G 1 (s) = 10, G 2 (s)=1/s, G 3 (s)=1/(s+1)

82 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 82

83 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 83 CONNESSIONE IN SERIE (IN CASCATA) G 1 (s)G 2 (s) u=u 1 y 1 =u 2 y=y 2 y = G 2 (s) G 1 (s) u = G(s) u F.d.T. del sistema serie G(s) = prodotto delle f.d.t. dei sottosistemi G 1 (s) e G 2 (s)

84 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 84 CONNESSIONE IN PARALLELO y = [ G 1 (s) + G 2 (s) ] u = G(s) u F.d.T. del sistema parallelo G(s) = somma delle f.d.t. dei sottosistemi G 1 (s) e G 2 (s) G 1 (s) G 2 (s)  u u1u1 u2u2 y1y1 y2y2 y= y 1 +y 2

85 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 85 CONNESSIONE IN RETROAZIONE y = G 1 [u + G 2 y ] = G 1 u + G 1 G 2 y y = G 1 / (1-G 1 G 2 ) u = G u G(s) = G 1 (s) / [1- G 1 (s) G 2 (s)] F.d.T. del sistema parallelo G(s) = f.d.t. del ramo diretto diviso per (1-f.d.t. d’anello) G 1 (s) G 2 (s)  u1u1 y2y2 y 1 =y u2u2 u

86 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 86 C(s)G(s) rye _ + SISTEMA DI CONTROLLO A RETROAZIONE d u Il sistema deve essere INTERNAMENTE STABILE nel senso che se gli ingressi r e d sono limitati, tutte le variabili interne del sistema (e, u e di conseguenza tutte le altre) devono rimanere limitate La stabilità interna deve impedire che il sistema “esploda” per effetto di ingressi limitati ed è quindi un requisito necessario di un sistema di controllo

87 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 87 C(s)G(s) rye _ + STABILITA’ INTERNA d u F.d.t.: del processo P G(s)=b(s)/a(s) del controllore C C(s)=q(s)/p(s) d’anello L(s)=C(s)G(s)=b(s)q(s) / a(s)p(s) da r a e: 1/(1+L(s)) = a(s)p(s) / c(s) da r a u: C(s)/(1+L(s)) = a(s)q(s) / c(s) da d a e: -G(s)/(1+L(s)) = -b(s)p(s) / c(s) da d a u: 1/(1+L(s)) = a(s)p(s) / c(s) c(s) = a(s) p(s) + b(s) q(s) : polinomio caratteristico

88 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 88 C(s)G(s) rye _ + STABILITA’ INTERNA d u Il sistema a retroazione in figura è internamente stabile se e solo se il polinomio caratteristico c(s)=a(s)p(s)+b(s)q(s) ha tutte le radici con parte reale negativa.

89 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 89 C(s)G(s) rye _ + CRITERIO DI NYQUIST d u Si indichi con L(s)=C(s)G(s) la f.d.t. d’anello del sistema in figura c(s)=a(s)p(s)+b(s)q(s) il pol. caratteristico P a = no. di poli di L(s) con parte reale positiva P c = no. di radici di c(s) con parte reale positiva N = no. di giri del diagramma di Nyquist di L(j  ), in senso orario, intorno al punto critico -1+j0 Vale la relazione N = P c - P a Stabilità interna  P c = 0  N = -P a C(s)=q(s)/p(s) G(s)=b(s)/a(s)

90 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 90 C(s)G(s) rye _ + CRITERIO DI NYQUIST d u Il sistema in figura è internamente stabile se e solo se il diagramma di Nyquist di L(s) = C(s) G(s) non passa per il punto critico -1+j0 e compie intorno ad esso un numero di giri in senso antiorario pari al numero di poli di L(s) con parte reale positiva

91 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 91 C(s)G(s) rye _ + COROLLARIO DEL CRITERIO DI NYQUIST d u Assumendo che L(s)=C(s)G(s) non ha poli con parte reale positiva, il sistema in figura è internamente stabile se e solo se il diagramma di Nyquist di L(s) non passa per il punto critico -1+j0 e non lo contiene al suo interno.

92 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 92 MARGINI DI STABILITA’

93 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 93 MARGINI DI STABILITA’ Pulsazione di attraversamento a 0 dB:    G(j     (0 dB) Margine di fase: m   G(j     Pulsazione di attraversamento a -180°:  g   G(j   g  Margine di guadagno: m g = 1 / |G(j   g   (m g ) dB =  - 20 log 10 |G(j   g 

94 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 94 MARGINI DI STABILITA’ OSSERVAZIONI: (1) I margini di fase e di guadagno misurano la distanza dall’instabilità del sistema; tanto più grandi sono m  e m g tanto più il sistema è “sicuro”, lontano dall’instabilità. (2) Valori indicativi per un progetto soddisfacen- te dell’anello di controllo sono: m  = 40°  60° m g = 4  6 ( 12  16 dB )

95 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 95 CRITERIO DI BODE Se si assume che - la f.d.t. d’anello L(s) non ha poli con parte reale positiva - il diagramma di Bode di |L(j  )| attraversa alpiù una volta gli 0 dB allora il sistema è internamente stabile se e solo se m  > 0° e K B > 0

96 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 96 SPECIFICHE DI UN SISTEMA DI CONTROLLO (1) STABILITA’: L’anello di controllo deve essere internamente stabile (2) PRECISIONE: Il segnale errore e deve essere “piccolo” A REGIME (PRECISIONE STATICA) ed IN TRANSITORIO (PRECISIONE DINA_ MICA) (3) ROBUSTEZZA: Le specifiche di stabilità e precisione devono essere soddisfatte a fronte di incertezze di modello e disturbi C(s)G(s) rye _ + u

97 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 97 PRECISIONE STATICA (A REGIME) L(s)=C(s)G(s) re y   Per misurare la precisione a regime del sistema si definiscono gli errori e k : errore a regime se il segnale di riferimento è r(t) = t k / k! per k=0,1,2, …… e 0 : errore a regime al gradino, o anche errore di posizione e 1 : l’errore a regime alla rampa, o anche errore di velocità e 2 : l’errore a regime alla parabola, o anche errore di accelerazione

98 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 98 ERRORI A REGIME Come dipendono gli errori a regime e k dalle caratteristiche dell’anello di controllo ? Conviene scomporre la f.d.t. d’anello L(s) come L(s) = K L’(s) / s h dove L’(s) ha guadagno in continua unitario: L(0)=1 K è il guadagno d’anello h è il numero di poli di L(s) in s=0

99 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 99 ERRORI A REGIME KL’(s)1/s h e Ke r La precisione statica dipende solo da h e K Precisamente: e 0 = e 1 =  = e h-1 = 0 e h = 1/(1+K) se h=0, e h = 1/K se h>0 e h+1 = e h+2 =  = 

100 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 100 PRECISIONE A REGIME KL’(s)1/s h e Ke r Il sistema in fig. in cui il n° di integratori presenti nell’anello è uguale a h, dicesi di tipo h Per un sistema di tipo h, l’errore e h è finito ma non nullo gli errori e i, ih, sono infiniti

101 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 101 PRECISIONE A REGIME ESEMPIO Specifiche di precisione statica -errore a regime al gradino nullo -errore a regime alla rampa non superiore all’1% L’anello di controllo deve avere - h=1 integratore - K  100

102 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 102 PRECISIONE DINAMICA (IN TRANSITORIO) Le specifiche di precisione dinamica (comportamento in transitorio) possono essere espresse in diversi modi (1) SPECIFICHE NEL DOMINIO DEL TEMPO sulla risposta al gradino dal segnale di riferimento r all’uscita y : sovraelongazione, tem- po di salita, tempo di assestamento (2) SPECIFICHE NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA AD ANELLO CHIUSO sulla risposta in frequenza da r a y : picco di risonanza, banda passante a -3dB. (3) SPECIFICHE NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA AD ANELLO APERTO sulla risposta in frequenza della f.d.t. d’anello L(j  margini di fase e di guadagno e relative pulsazioni di attraversamento

103 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 103 SPECIFICHE NEL DOMINIO DEL TEMPO

104 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 104 SPECIFICHE NEL DOMINIO DEL TEMPO Tempo di salita t s : tempo necessario affinchè l’uscita raggiunga per la prima volta il valore di regime se il transitorio è oscillatorio, oppure tempo richiesto per raggiungere il 90% del valore di regime se il transitorio non è oscillatorio. Tempo di assestamento t a : tempo necessario dopo il quale l’errore di inseguimento si mantiene entro il 5% del valore di regime Sovraelongazione S : valore, in %, di superamento del valore di regime

105 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 105 SPECIFICHE NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA

106 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 106 F.d.T. d’anello: L(s) = C(s) G(s) F.d.T. da r a y: T(s) = L(s)/(1+L(s)) Risposta in frequenza da r a y: T(j  ) Picco di risonanza M r : valore in dB del picco di ampiezza della risposta in frequenza da r a y; valori tipici di un buon progetto M r : 1  4 dB Banda passante (a -3dB)  B : valore della pulsazione alla quale il guadagno si riduce a -3dB PICCO DI RISONANZA E BANDA PASSANTE C(s)G(s) rye _ + u

107 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 107 SPECIFICHE NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA SU L(j  )

108 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 108 CONVERSIONE DI SPECIFICHE Per la sintesi conviene tradurre le specifiche in specifiche equivalenti su m  e  . Formule empiriche per la conversione  B t s   1+S) / M r  0.85  1    B  0.5  0.8 m   arccos( / M r ) 

109 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 109 SINTESI PER TENTATIVI (1) COMPENSAZIONE STATICA: Si determinano il numero c di poli in s=0 del controllore C(s) ed eventualmente un guadagno K c in modo da soddisfare le specifiche di precisione statica. (2) CONVERSIONE SPECIFICHE: Si convertono, tramite le formule approssimate, le specifiche di precisione dinamica in specifiche equivalenti su m  e  . (3) COMPENSAZIONE DINAMICA: Si progetta una rete correttrice C’(s) in modo da conseguire i valori di m  e    impostati. (4) VERIFICA: Si verifica se il controllore C(s)= K c C’(s) / s c soddisfa le specifiche e in tal caso si arresta il procedimento. Altrimenti si modificano i valori impostati di m  e   e si ritorna al passo (3).

110 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 110 RETI CORRETTRICI Si consideri la f.d.t. con un polo ed uno zero C(s) = (1+  s) / (1+  s)  Se la pulsazione di rottura del polo precede quella dello zero, cioè , allora C(s) introduce ATTENUAZIONE e ritardo. Viceversa, se , allora C(s) introduce ANTICIPO e amplificazione.

111 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 111 RETI CORRETTRICI Rete Anticipatrice: C ant (s) =  > 0 m>1 1+  s 1+(  /m)s Rete Attenuatrice: C att (s) =  > 0 m>1 1+(  /m)s 1+  s

112 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 112 DIAGRAMMI DI BODE DELE RETI CORRETTRICI

113 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 113 COMPENSAZIONE DINAMICA - CASO 1

114 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 114 COMPENSAZIONE DINAMICA - CASO 2

115 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 115 COMPENSAZIONE DINAMICA - CASO 3

116 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 116 COMPENSAZIONE DINAMICA - CASO 4

117 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 117 REALIZZAZIONE CIRCUITALE DELLE RETI CORRETTRICI R1R1 C R2R2 u Rete attenuatrice:  C(R 1 +R 2 ) m= 1 + R 1 /R 2 u y R1R1 R2R2 C m y Rete anticipatrice:  R 1 C m= 1 + R 1 /R 2

118 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 118 ESEMPIO DI SINTESI F.d.T. del sistema da controllare G(s) = 1 / s(s+1) Specifiche: (1) errore a regime nullo al gradino e 1   (2) errore a regime alla rampa e 1   (3) sovraelongazione S   (4) tempo di salita t s  0.5 sec

119 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 119 ESEMPIO DI SINTESI C(s)=1G(s) rye _ + u Il sistema non soddisfa specifica (2)

120 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 120 COMPENSAZIONE STATICA 100G(s) ry e _ + u Per soddisfare (2) si sceglie K c =100. Il sistema non soddisfa (3): S>80%

121 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 121 CONVERSIONE SPECIFICHE DINAMICHE Usando le formula empiriche si trovano valori di primo tentativo per m  e   : t s =0.5 sec    = 2 / t s = 4  rad/sec S = 0.2  m  = 50°

122 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 122 COMPENSAZIONE DINAMICA

123 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 123 COMPENSAZIONE DINAMICA Alla pulsazione    = 4  rad/sec occorre - un anticipo di circa 35°  40° - un’attenuazione di circa 15  16 dB Si possono usare - rete anticipatrice con m=8 e w=    =1.5 - rete attenuatrice con m=10 e w=    =200

124 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 124 COMPENSAZIONE DINAMICA Il compensatore risultante è C(s) = 100 guadagno anticipatrice attenuatrice  s  s  s  s

125 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 125 VERIFICA PROGETTO: DIAGRAMMI DI BODE DI L(j  )

126 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 126 VERIFICA PROGETTO: RISPOSTA AL GRADINO DI y

127 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 127 VERIFICA: TEMPO DI ASSESTAMENTO

128 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 128 VERIFICA PROGETTO: RISPOSTA ALLA RAMPA

129 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 129 VERIFICA PROGETTO: DIAGRAMMA DI AMPIEZZA DI T(j 

130 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 130 VERIFICA PROGETTO: INGRESSO DELL’ATTUATORE

131 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 131 Controllo a relay CONTROLLORI INDUSTRIALI STANDARD RegolatoreProcesso u d z*ze _ n eu eu Il controllo a relay è usato diffusamente negli elettrodomestici e in semplici sistemi di controllo di temperatura, industriali e per edifici. Le variabili di un sistema di controllo a relay tendono ad esibire un comportamento periodico, che va studiato con attenzione per garantire che l’ampiezza e il periodo di tali oscillazioni siano compatibili con le specifiche del problema di controllo.

132 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 132 Regolatori industriali standard P: regolatore proporzionale I: regolatore integrale PI: regolatore proporzionale-integrale PD : regolatore proporzionale-derivativo PID: regolatore proporzionale-integrale-derivativo eu Regolatore Azioni di controllo P :u(t) = Kp e(t) I :u(t) =(Kp/Ti) PI :u(t) = Kp  e(t)+(1/Ti)  PD :u(t) = Kp  e(t)+Td  PID:u(t) = Kp  e(t)+Td +(1/Ti)  Funzioni di trasferimento U(s)/E(s) P :C(s)= Kp I :C(s)= Kp/sTi PI :C(s)= Kp(1 + 1/sTi) PD :C(s)= Kp(1 + sTd) PID:C(s)= Kp(1 + sTd + 1/sTi) Kp = guadagno proporzionale; Ti = costante di tempo integrale; Td = costante di tempo derivativa

133 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 133 eu P, I, PI,PD,PID Note sulle proprietà dei regolatori industriali azione proporzionale Il comando u(t) è proporzionale all’errore e(t). L’errore di regolazione in genere non si annulla all’infinito, ma risulta comunque inversamente proporzionale alla costante di proporzionalità K. D’altra parte l’aumento del guadagno K tende a far peggiorare sia la stabilità del sistema di controllo che l’effetto prodotto dal rumore di misura. Talvolta per azzerare l’errore si preferisce sommare all’ingresso u(t) un valore costante U (chiamato valore di reset). azione integrale La differenza fra i comandi u(t) e u(0) è proporzionale all’integrale dell’errore nell’intervallo [0,t]. L’importanza dell’azione integrale deriva dal fatto di assicurare errore nullo a regime per variazioni a gradino del segnale di riferimento (set-point) e del disturbo sull’uscita. Inoltre l’errore si mantiene nullo anche in presenza di variazioni del guadagno in continua del processo. Nel regolatore PI l’azione integrale si somma a quella proporzionale garantendo il reset automatico. Gli inconvenienti maggiori dell’azione integrale sono legati al problema noto come wind-up e al passaggio da funzionamento manuale ad automatico del regolatore. azione derivativa Il comando u(t) è proporzionale alla derivata dell’errore e(t). L’azione derivativa è utile per processi che hanno uno scarso margine di stabilità, non facilmente migliorabile con l’azione proporzionale. D’altra parte l’azione derivativa risulta dannosa per quanto riguarda l’effetto prodotto dal rumore ad alte frequenze sul comando u(t), e non viene mai utilizzata da sola perché farebbe perdere al sistema di controllo la fondamentale proprietà di essere passa-basso.

134 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 134 Altre azioni caratteristiche dei regolatori industriali Azione in andata I regolatori industriali hanno spesso dei morsetti di ingresso addizionali per l’introduzione di un’azione in andata (anticipo o “feedforward”) u°(t) sulla variabile di controllo. Tale azione risulta utile nei casi in cui si ha a disposizione delle misure sul disturbo sull’uscita. Guadagno variabile Alcuni regolatori possono far dipendere il guadagno dell’azione integrale dall’errore di regolazione e(t). Nel caso più comune si hanno due valori fissabili a priori, ed è usato il più piccolo fino a quando l’errore rimane in un intervallo prefissato, mentre al di fuori di tale intervallo è usato il maggiore. Controllo a tempo proporzionale I regolatori commerciali sono predisposti per uscite analogiche di caratteristiche standard (4÷20 mA e 0÷10 V). Esistono anche le predisposizioni per uscite di tipo logico a relay, dette a “tempo proporzionale”. In tal caso si usa un circuito, detto PWM (Pulse Width Modulator), che modula la durata degli intervalli nei quali il comando è on/off. Saturazioni comando La variabile di controllo u(t) in un qualsiasi anello di regolazione è sempre limitata superiormente e inferiormente. In alcuni casi, come per esempio in presenza di variazioni rilevanti dei segnali agenti sul sistema di controllo, può accadere che il comando vada in saturazione. In tal caso anche il regolatore lavora ad anello aperto ed integrando un segnale praticamente costante può allontanarsi molto dal campo di valori utili per il controllo. Questo implica che occorrerà molto tempo per ristabilire i valori normali di controllo (wind-up).

135 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 135 Note sulla scelta della legge di controllo I regolatori industriali sono molto utilizzati per il controllo di processi industriali. Uno dei motivi principali è relativo al fatto che le specifiche di controllo non sono mai molto stringenti. Il PI risulta adeguato per processi caratterizzati essenzialmente da una dinamica del primo ordine, oltre a un eventuale ritardo puro. Il regolatore I risulta adeguato per processi puramente algebrici (dinamica trascurabile) come la regolazione di portata con valvole. Il regolatore PID è indicato per sistemi dove la dinamica risulta essenzialmente del secondo ordine. Nel caso di ritardo puro trascurabile, l’azione derivativa fornisce un anticipo di fase utile per assicurare la stabilità dell’anello in una banda passante più ampia. Se invece il ritardo puro è dominante risulta necessario utilizzare schemi di controllo più sofisticati come il predittore di Smith oppure il controllo in cascata. Il regolatore PID può risultare inadeguato per sistemi con modi oscillatori sostenuti. Tali situazioni si incontrano nei servo-posizionatori elettrodinamici e oleo-dinamici, in cui sono presenti masse mobili, collegate tra loro e con la base fissa mediante trasmissioni in qualche misura elastiche. Esistono diversi metodi per tarare i parametri dei regolatori industriali, sia con procedure manuali che automatiche. Tali metodi sono basati sullo studio della risposta al gradino, sulla determinazione di alcuni punti della risposta in frequenza, e sulla stima parametrica del processo. -s  G(s)= K e /(1 +  s/ω n + s²/ω n ²) -s  G(s)= K e /(1+ Ts) Dinamica del primo ordine + ritardoDinamica del secondo ordine + ritardo

136 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 136 TARATURA DEI CONTROLLORI PID Esistono numerose regole empiriche e metodi sistematici per la scelta dei guadagni K p, K i, K d del controllore PID alcuni dei quali non richiedono la conoscenza della f.d.t. G(s) del processo da controllare.

137 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 137 METODO DI ZIEGLER-NICHOLS AD ANELLO CHIUSO Si determinano sperimentalmente: guadagno critico K c periodo critico T c come il valore del guadagno a cui il sistema oscilla ed il relativo periodo di oscillazione. K p T i T d P 0.5K c PI 0.45K c 0.8T c PID 0.6K c 0.5T c 0.125T c

138 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 138 METODO DI ZIEGLER-NICHOLS AD ANELLO APERTO Si determinano sperimentalmente: f.d.t. del processo G(s) = K exp(-  s) / (1+Ts) guadagno K, ritardo T, costante di tempo  K p T i T d P T/(K  ) PI 0.9 T/(K  ) 3  PID 1.2 T/(K  ) 2  0.5 

139 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 139 METODO DI ZIEGLER-NICHOLS AD ANELLO CHIUSO Si determinano sperimentalmente: guadagno critico K c periodo critico T c come il valore del guadagno a cui il sistema oscilla ed il relativo periodo di oscillazione. K p T i T d P 0.5K c PI 0.45K c 0.8T c PID 0.6K c 0.5T c 0.125T c

140 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 140 CENNI DI CONTROLLO DIGITALE A/D Controllore digitale C D/A Processo P re ekek ukuk u y A/D: convertitore analogico/digitale; converte il segnale analogico e(t) in una sequenza di dati binari e k = e(k  ) a N bit. D/A: convertitore digitale/analogico; converte la sequenza u k in un segnale analogico u(t)

141 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 141 CAMPIONATORE (Convertitore A/D) A/D Campionatore ideale: e k = e(k  ) k=0,1,2,……..  periodo di campionamento A/D effettua campionamento e quantizzazione del campione e k su una parola di N cifre binarie ekek e(t)

142 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 142 MANTENITORE (Convertitore D/A) D/A Mantenitore di ordine zero (Zero-Order-Hold): u(t)= u k k  t < (k+1)  k=0,1,2,……..  periodo di campionamento D/A : fornisce in uscita un segnale costante a tratti mantenendo l’uscita al valore u k nell’intervallo [ k  (k+1)  ) ukuk u(t)

143 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 143 CONTROLLORE (REGOLATORE, COMPENSATORE) DIGITALE C(z) ukuk ekek Nel periodo di campionamento [ k  (k+1)  ), dopo aver campionato e k, il controllore digitale calcola u k mediante l’equazione alle differenze u k +p 1 u k-1 + +p r u k-r = q 0 e k +q 1 e k q s e k-s

144 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 144 CONTROLLORE (REGOLATORE, COMPENSATORE) DIGITALE C(z) ukuk ekek L’eq.ne alle differenze del controllore digitale u k +p 1 u k-1 + +p r u k-r = q 0 e k +q 1 e k q s e k-s è rappresentata sinteticamente dalla funzione di trasferimento: C(z) = q(z) p(z) = q 0 + q 1 z -1 + … + q r-1 z -s+1 + q s z -s 1 + p 1 z -1 + … + p r-1 z -r+1 + p r z -r

145 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 145 SINTESI DI UN CONTROLLORE DIGITALE Esistono due diverse filosofie di progetto di un sistema di controllo digitale: (1) Discretizzazione di un controllore analogico: si progetta con tecniche classiche (ad esempio sintesi per tentativi) la f.d.t. C(s) di un controllore analogico che consente di soddisfare tutte le specifiche (statiche e dinamiche); successivamente si determina la f.d.t. C d (z) di un controllore digitale che, collegato in serie fra D/A e A/D, approssima il comportamento del controllore analogico progettato. (2) Sintesi diretta di un controllore digitale: si approssima la connessione serie mantenitore-processo G(s)-campionatore con una f.d.t. G d (z) e si progetta direttamente in tempo-discreto un controllore C(z) che soddisfa tutte le specifiche.

146 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 146 SCELTA DEL PERIODO DI CAMPIONAMENTO  : periodo di campionamento 1/  : frequenza di campionamento 2  /  : pulsazione di campionamento  /  : pulsazione di Nyquist La scelta del periodo di campionamento  è fondamentale nei sistemi di controllo digitale. Essa è prevalentemente influenzata dai seguenti fattori: - costo dei dispositivi A/D, D/A e potenza di calcolo richiesta - problemi numerici (perdita di precisione per  piccolo) - sensibilità ai disturbi - campionamento e informazione: la pulsazione di campionamento va commensurata alla banda richiesta al sistema retroazionato

147 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 147 SCELTA DEL PERIODO DI CAMPIONAMENTO  : periodo di campionamento 1/  : frequenza di campionamento 2  /  : pulsazione di campionamento  /  : pulsazione di Nyquist Se  B è la banda passante desiderata occorre scegliere (per il teorema di Shannon)  /  B  una buona regola euristica è 6 <  c /  B < 20,  c = 2  / 

148 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 148 DISCRETIZZAZIONE DI UN CONTROLLORE DIGITALE Esistono numerosi metodi per effettuare l’approssimazione C(s)  C d (z), quali METODO DI EULERO (in avanti) s= (z-1)/  METODO DI EULERO (indetro) s= (z-1)/ (  z) METODO DI TUSTIN s=2(z-1)/  (z+1) L’approssimazione è tanto migliore quanto più  è piccolo; buona regola euristica  c /  B = 20  50  c 

149 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 149 SINTESI DIRETTA DI UN CONTROLLORE DIGITALE Processo G(s) A/DZOH ukuk ykyk G d (z) ukuk ykyk Modello discreto equivalente G d (z) = (z-1/z) Z[G(s)/s]

150 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 150 CONTROLLORE PID DIGITALE C PID (s) = K p + K i /s + K d s s  z-1)/  z (approssimazione di Eulero) C PID (z) = K p + K i  z /(z-1) + K d  z-1)/  z u k =u k-1 +K p (e k -e k-1 ) + K i  e k + (K d /  ) (e k -2e k-1 +e k-2 ) PID digitale ekek ukuk

151 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria FONDAMENTI DI AUTOMATICA Pag. 151 IMPLEMENTAZIONE DI UN CONTROLLORE DIGITALE (1)  Acquisizione di e k dal convertitore A/D (2)  Calcolo di u k mediante eq.ne alle differenze (3) Invio di u k al convertitore D/A


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