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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso E possibile determinare la posizione del CR con la sola.

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Presentazione sul tema: "G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso E possibile determinare la posizione del CR con la sola."— Transcript della presentazione:

1 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso E possibile determinare la posizione del CR con la sola conoscenza dellangolo Un CR in rotazione attorno a d un asse fisso ha un solo grado di libertà È sufficiente una sola equazione scalare per determinare il suo moto. Facciamo riferimento allanta di una porta Asse di rotazione Vista dallalto

2 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Rotazione di un corpo rigido attorno no ad un asse fisso Nel caso della rotazione la forza non è direttamente responsabile delleffetto prodotto. Supponiamo di applicare forze perpendicolari al piano della porta: Se applichiamo una forza a distanza nulla dasse di rotazione: leffetto è nullo: non cè nessun moto Cerchiamo quindi una relazione tra le forze applicate e laccelerazione (angolare) prodotta. Man mano che ci allontaniamo dallasse di rotazione, a parità di forza, leffetto (laccelerazione angolare della porta ) è sempre più vistoso Ecco perché la maniglia si mette il più lontano possibile dallasse di rotazione Vista dallalto

3 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Rotazione di un corpo rigido attorno no ad un asse fisso Leffetto, laccelerazione (angolare) prodotta, sembra dipendere dal momento della forza rispetto al polo O Il modulo del momento vale infatti: Sembra quindi che leffetto, laccelerazione (angolare) prodotta, dipende dal prodotto della forza per il braccio Braccio=distanza della retta di azione della forza dasse di rotazione Vista dallalto b O O r F r F Si osservi che in questo caso il momento della forza è parallelo allasse di rotazione

4 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Rotazione di un corpo rigido attorno no ad un asse fisso Leffetto è maggiore quando langolo è 90° È nullo quando è 0° o 180° Questa osservazione ci conferma che la causa delle rotazioni è il momento della forza. Infatti: Possiamo ulteriormente investigare questa conclusione facendo variare langolo della forza rispetto al vettore posizione mantenendo la forza nel piano perpendicolare allasse di rotazione Vista dallalto O O r r F Che è massimo quando è 90°, è nullo quando è 0° o 180° Si osservi che anche in questo caso il momento della forza è parallelo allasse di rotazione b F b

5 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Rotazione di un corpo rigido attorno no ad un asse fisso Lo stesso modulo del momento quando la forza F è perpendicolare al piano della porta Ma in questo caso leffetto prodotto è nullo!! Non si verifica alcun moto della porta. Concludiamo questo discorso considerando forze nel piano della porta. Se consideriamo una forza perpendicolare al vettore posizione r Il modulo del momento è O r F Cosa cè di diverso nei due casi?? Osserviamo che in questo caso il momento M o è perpendicolare allasse di rotazione In precedenza esso era parallelo allasse di rotazione Possiamo concludere: Il moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso dipende dalla componente del momento della forza lungo lasse di rotazione (Momento assiale)

6 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Equazione del moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso Abbiamo dedotto: –il moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso dipende dal momento assiale (la componente del momento delle forze esterne lungo lasse di rotazione) Si trova infatti che: Equazione del moto di rotazione di un CR attorno ad un asse fisso I = momento di inerzia del CR rispetto allasse di rotazione accelerazione angolare M z componente assiale del momento delle forze esterne

7 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Verifica dellequazione del moto di rotazione di un CR rispetto ad un asse fisso Consideriamo un caso semplice in cui un corpo rigido è costituito da un singolo punto materiale in rotazione attorno ad un asse fisso (lasse z). La componente radiale della forza non produce alcun effetto perché lasta provvede ad annullare il suo effetto (la distanza dallasse di rotazione deve rimanere costante). Invece la componente tangente: Il momento della forza F rispetto al punto O è: Il cui modulo è: Il momento è diretto parallelamente allasse z Moltiplicando per r:

8 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Legame tra lequazione del moto di rotazione del CR e la II equazione cardinale della dinamica dei sistemi Consideriamo un sistema di punti materiali, rigido, in rotazione attorno allasse z con velocità angolare. Consideriamo la particella i-esima. Se il corpo è simmetrico rispetto allasse di rotazione: L x =0, L y =0 j

9 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Calcolo del momento assiale delle forze metodo 1 Il primo metodo consiste nello scegliere un qualsiasi polo O sullasse di rotazione (punto fisso) Calcolare il momento di ciascuna forza esterna rispetto al polo O (modulo direzione e verso) Calcolare il momento risultante Determinare la componente del momento risultante secondo lasse di rotazione Il momento assiale di una forza non dipende dal polo O scelto per calcolarlo. O O r r F I due momenti differiscono per un vettore perpendicolare allasse: questo vuol dire che le componenti assiali sono uguali. Perpendicolare a OO

10 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Calcolo del momento assiale delle forze metodo 2 si prende il modulo del vettore componente della forza nel piano perpendicolare allasse di rotazione. Si moltiplica tale modulo per il braccio della forza (la distanza tra la retta di azione del vettore componente della forza perpendicolare allasse di rotazione e lasse di rotazione) Si assegna a questo prodotto il segno positivo se la forza produce una rotazione antioraria, negativo se la rotazione prodotta è oraria. Il momento assiale complessivo si ottiene sommando i singoli contributi di ciascuna delle forze esterne agenti:

11 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applicaz ione La figura rappresenta un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa M=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco. Trovare laccelerazione di caduta del blocco, laccelerazione angolare del disco e la tensione del filo. Il filo non slitta e il mozzo gira senza attrito. Il moto del disco è un moto di rotazione attorno ad un asse fisso Introduciamo un sistema di riferimento RvRv x y Lasse di rotazione coincide con lasse z Lequazione del moto di rotazione Il momento di inerzia I (disco omogeneo rispetto al suo asse) Dobbiamo ora calcolare M z : –Le forze esterne agenti sul disco sono P Lequazione del moto:

12 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applicaz ione La figura rappresenta un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa M=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco. Trovare laccelerazione di caduta del blocco, laccelerazione angolare del disco e la tensione del filo. Il filo non slitta e il mozzo gira senza attrito. Per il corpo di massa m invece: RvRv x y Abbiamo ottenuto due equazioni con le incognite T, a y,. P Ruotiamo il disco di un angolo in senso antiorario ( negativo), osserveremo il corpo di massa m abbassarsi di un tratto y anchesso negativo: Le equazioni non sono sufficienti. Ma sappiamo che la corda è inestensibile quindi cè una relazione tra a y, Dividendo per t, e passando al limite E con una seconda derivazione si ottiene

13 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applicaz ione La figura rappresenta un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa m=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco. Trovare laccelerazione di caduta del blocco, laccelerazione angolare del disco e la tensione del filo. Il filo non slitta e il mozzo gira senza attrito. Il sistema diventa RvRv x y O meglio: P Sostituendo:

14 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il lavoro nei moti di rotazione Facendo riferimento allapplicazione precedente calcoliamo il lavoro infinitesimo fatto dalla tensione T relativamente ad uno spostamento angolare infinitesimo d : d drdr Il lavoro per una rotazione finita sarà: La potenza: Si osservi che poiché la corda è inestensibile il lavoro complessivo fatto dalle due tensioni ai due capi della corda è nullo. dr1dr1 dr2dr2 Nel caso della figura ds, il modulo dello spostamento infinitesimo, è uguale a -Rd (il segno meno si giustifica per il fatto che d è negativo, mentre ds deve essere positivo)

15 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applicaz ione Con riferimento allapplicazione precedente in cui un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso e un blocco di massa m=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco, calcolare la velocità del corpo di massa m dopo che ha percorso 1m supponendo che inizialmente fosse fermo. Calcolare la corrispondente velocità angolare del disco. Calcolare langolo di cui ha ruotato il disco. Verificare che il lavoro fatto dalla tensione sul disco è uguale alla variazione della sua energia cinetica. Noi abbiamo già calcolato laccelerazione uniforme del corpo di massa m. Potremmo risolvere il problema per via cinematica: RvRv x y P Possiamo anche risolvere il problema con la conservazione dellenergia: La forza peso della carrucola non fa lavoro

16 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applicaz ione Con riferimento allapplicazione precedente in cui un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso e un blocco di massa m=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco, calcolare la velocità del corpo di massa m dopo che ha percorso 1m supponendo che inizialmente fosse fermo. Calcolare la corrispondente velocità angolare del disco. Calcolare langolo di cui ha ruotato il disco. Verificare che il lavoro fatto dalla tensione sul disco è uguale alla variazione della sua energia cinetica. RvRv x y P

17 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applicaz ione Con riferimento allapplicazione precedente in cui un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso e un blocco di massa m=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco, calcolare la velocità del corpo di massa m dopo che ha percorso 1m supponendo che inizialmente fosse fermo. Calcolare la corrispondente velocità angolare del disco. Calcolare langolo di cui ha ruotato il disco. Verificare che il lavoro fatto dalla tensione sul disco è uguale alla variazione della sua energia cinetica. RvRv x y P Ricordiamo il valore della tensione T determinato precedentemente (T=5.96N) Per il teorema delle forze vive:


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