Marostica Piazza degli Schacchi M. C

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Marostica Piazza degli Schacchi M.C. Escher “Chess” CONOSCERE CONOSCERSI COMUNICARE

Maurits Cornelis Escher (Olanda 17 Giugno 1898 – 27 Marzo 1972)
Ampia galleria delle opere: disegno di Escher Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

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Mosse del cavallo Possibili mosse del cavallo su una scacchiera Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

Problema Si può fare il giro di tutte le caselle di una scacchiera passando per ognuna una e una sola volta e tornare con un’ultima mossa nella posizione iniziale? Iniziare con scacchiere piccole. Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

Esempi 2X3 3X3 3X4 …. 8X8 Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

2X3 Scacchiera minima compatibile con le mosse del cavallo. Non è possibile ricoprire tutta la scacchiera. Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

3X3 Si ricoprono tutte le caselle? Avanti per la soluzione. Non è possibile ricoprire la scacchiera Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

3X4 Si ricoprono tutte la caselle? Avanti per la soluzione. Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

3X4 Ecco tutte le possibili mosse è possibile un tour completo? Proviamo a sciogliere il grafo. Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

3X4 Grafo sciolto. Esiste un tour di tutti i vertici? Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

3X4 Si, si ricopre la tastiera ma non è un ciclo chiuso, un circuito. I vertici 2, 11, 10, 3 sono dispari, allora per il teorema di Eulero…… Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

3X4 Cammino riportato sulla scacchiera Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

8X8 Si può provare a costruire un circuito collegandosi al sito: è difficile!! Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

8X8 Strategia Regola di H.C. Warnsdorff (1823-Germania): dalla casella occupata si individuano le caselle raggiungibili da ognuna si calcolano le possibili mosse si sceglie la casella con il numero minore Questa è una regola EURISTICA: procedimento che sembra giusto ma di cui non si ha alcuna garanzia. Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

8X8 I casi buoni La regola funziona fino a scacchiere 76X76 (verifica con calcolatori). Perché non ha soluzione con scacchiere con un numero dispari di caselle? Il problema ha soluzione per scacchiere: 3X10 o 5X6 minima rettangolare 6X6 minima quadrata…… Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

Pagine extra corso Ancora lui Eulero aveva determinato una soluzione del problema per una scacchiera 8X8. Osservare il circuito Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

Definizioni Cammino di Hamilton: un cammino che passa da tutti i vertici una e una sola volta. Circuito di Hamilton: un cammino di Hamilton in cui il punto di partenza e quello di arrivo coincidono. Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

Sir William Rowan Hamilton (Irlanda 1805 – 1865)
Matematico, fisico e astronomo molto precoce negli studi, studiò molte lingue straniere sia europee sia orientali. All’età di 22 anni fu nominato professore al “Trinity College” di Dublino. Inventore del gioco “The icosian game” Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

The icosian game Trovare un circuito di Hamilton del seguente grafo. Questo è il grafo di un dodecaedro schiacciato su un piano Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

I 5 solidi platonici tetraedro cubo o isaedro ottaedro dodecaedro icosaedro per visione solidi in movimento per sviluppo piano dei solidi: Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

Platone (Grecia a.c.) Filosofo greco, aveva abbinato i cinque elementi della natura ai cinque solidi fuoco tetraedro terra cubo aria ottaedro acqua icosaedro quinta essenza dodecaedro Disegno di Johannes Kepler (tedesco 1571 – 1630) Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

Relazioni solidi platonici
nome tipo faccia Facce Vertici Spigoli Tetraedro triangolo 4 6 cubo quadrato 8 12 ottaedro dodecaedro pentagono 20 30 icosaedro Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

Alcuni solidi schiacciati
tetraedro cubo dodecaedro Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

Soluzione Seguire i numeri Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

Altri cammini Trovare se esistono circuiti hamiltoniani per gli altri solidi platonici Gioco di Mines weeper Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

Conclusione Non esiste ancora una regola generale dimostrata, cioè un teorema che ci assicuri l’esistenza o meno di un cammino di Hamilton di un qualunque grafo. Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

Problemi NP = Problemi decisionali
Un problema è decisionale se dobbiamo rispondere con un si o con un no, e la risposta si è accompagnata da una dimostrazione verificabile in modo efficiente. La verifica se un cammino è di Hamilton in un grafo è un problema decisionale. Ma…. Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

Ma…. …..dato un grafo G, G è privo di circuiti di Hamilton? trovare tutti i circuiti verificare che non sono di Hamilton. Il numero di circuiti e di verifiche in generale diventa un numero enorme (ricordasi Giulio che vuole visitare tutti i suoi amici)…. Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

Hard …il problema è molto più difficile = NP Hard Problemi P = trattabili Problemi NP = difficili Problemi NP-Hard = difficili in NP Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

Esempi problemi NP-Hard
mosse del cavallo in una scacchiera raccolta nettezza urbana caso misto cammini minimi con pesi negativi fori nelle schede elettroniche disegnare con il plotter un insieme di punti gioco “campo fiorito” o “minesweeper” …problema del commesso viaggiatore … sono tutti problemi di ricerca di un cammino di Hamilton Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

Esempi problemi più facili P
raccolta semplice nettezza urbana pulizia strade controllo linee elettriche cammino minimo … sono tutti problemi di ricerca di un cammino di Eulero Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

Ultime ricerche Esistono algoritmi tali che problemi NP = problemi P ? E’ una delle domande a cui i ricercatori cercano di rispondere. Uno dei 7 problemi del millennio Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

Parole chiave Euristica Cammino di Hamilton Circuito di Hamilton Solidi platonici Problemi NP Problemi NP-Hard Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

Fine sesta parte Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

Pagine extra corso NP-Hard Se si riuscisse a risolvere in modo efficiente un problema NP-Hard allora sarebbero risolti tutti i problemi NP. Un algoritmo efficiente per risolvere un Problema NP-Hard, “Satisfiability” di Stefhen Cook (Toronto-Canada 1971), risolverebbe tutti gli altri problemi NP. Ma P = NP ? Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

7 Problemi del millennio
alle pagine: oppure si trovano 7 problemi non risolti: Ipotesi di Riemann: la distribuzione dei numeri primi all’interno dei numeri naturali segue una legge? e in caso affermativo quale? La teoria di Yang-Mills e l’ipotesi dei gap di massa. Le equazioni di Y-M derivano dalla fisica quantistica e furono formulate 50 anni fa per descrivere tutte le forze della natura, eccettuata la gravità. Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

e ancora P = NP cioè per uno qualsiasi dei problemi difficili in NP esiste un algoritmo efficiente? Le equazioni di Navier-Stokes. Le Equazioni di Navier Stokes descrivono il comportamento dei fluidi e dei gas. Sono state scoperte nel diciannovesimo secolo ma ancora non sono state comprese. Il problema è elaborare una teoria matematica che consenta di comprenderle ed analizzarle. Questa teoria sarebbe molto utile per gli studi di aerodinamica. Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

e infine La congettura di Poincarè. Se tendiamo un elastico interno ad una mela, possiamo contrarlo fino a ridurlo ad un punto muovendolo lentamente (senza strapparlo e senza staccarlo dalla superficie)? La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer. Quanti punti razionali ha una curva ellittica? La congettura di Hodge. La Congettura Hodge riguarda gli spazi proiettivi e le varietà algebriche. I cicli di Hodge sono delle combinazioni lineari razionali di cicli algebrici. Parte Sesta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

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