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Unione europea Fondo Sociale europeo P.O.N. competenze per lo sviluppo MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE Dipartimento dellistruzione Direzione generale.

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1 Unione europea Fondo Sociale europeo P.O.N. competenze per lo sviluppo MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE Dipartimento dellistruzione Direzione generale per gli affari internazionali Uff. V ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE E.AMALDI Corso Roma, MASSAFRA (TA) Tel.099/ CON SEDE STACCATA I.T.I.S. DI STATTE http.://www.amaldi.it

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4 I Maya,con la loro civiltà sviluppatasi in America centro-meridionale,senza alcuna possibilità di contatti e rapporti con altre civiltà più sviluppate,adoperavano un sistema di numerazione a base 20,che era additivo fino al numero 20 e posizionale dal numero 20 in poi. La novità della numerazione Maya era costituita dalla presenza dello zeroche veniva rappresentato con un ovale molto simile ad un occhio semichiuso. Le unità fino a 4 venivano rappresentate da puntini mentre le cinquine erano rappresentate da aste orizzontali. Per scrivere numeri maggiori di 20 i Maya disponevano le cifre in senso verticale.

5 Il sistema di numerazione Maya presentava una anomalia:la base 20,comune a tutti gli ordini del sistema,al 3°ordine diventava 18. Ciò derivava dalla circostanza che il sistema di numerazione era legato al calendario Maya che considerava lanno solare formato da 365 giorni raggruppati in 18 mesi di 20 giorni ciascuno,pari a 360 giorni,più un periodo di giorni.

6 Matematica Babilonese Il sistema di numerazione adottato dai babilonesi è in base sessanta. Si legge sul libro scritto da Boyer: "Il sistema decimale, comune alla maggior parte delle civiltà, sia antiche che moderne, era stato sostituito in Mesopotamia da una notazione che aveva a fondamento la base sessanta. Molto è stato scritto sui motivi che avrebbero dato origine a questo cambiamento; è stata avanzata l'ipotesi che possano avervi contribuito considerazioni di carattere astronomico o che il sistema sessagesimale sia risultato dalla combinazione di due sistemi più antichi, uno decimale, l'altro in base sei. Appare però più verosimile l'ipotesi che la base sessanta sia stata consapevolmente adottata e riconosciuta come fondamentale ai fini della misurazione: una grandezza di sessanta unità può venire infatti facilmente divisa in metà, terzi, quarti, quinti, sesti, decimi dodicesimi, quindicesimi, ventesimi e trentesimi, offrendo così dieci suddivisioni possibili." Le testimonianze giunte sino a noi sono date da tavolette di argilla (incise con uno stilo con caratteri cuneiformi) che sono resistite egregiamente alle ingiurie del tempo e anche a incendi e cambiamenti climatici. La rappresentazione dei numeri discende dai sumeri ed ha quindi un valore posizionale; con un simbolo simile ad una V venivano indicate le unità e con un simbolo simile a < venivano rappresentate le decine.

7 Le operazioni venivano effettuate in modo molto simile al nostro eccetto per la divisione che era considerata come una moltiplicazione per il reciproco del denominatore. A tale proposito sono note alcune importanti tavole di rappresentazione di reciproci di interi e di scomposizione di frazioni in somme di reciproci di interi. Tra le molte tavolette pervenuteci notiamo la presenza, in alcuni casi di grandezze incognite all'interno di problemi (e anche la presenza di problemi di terzo grado); per questo motivo, c'è chi parla di algebra babilonese, anche se bisogna ammettere che se di algebra si può parlare, essa è un'algebra molto diversa dall'algebra attuale. Si nota anche che l'intera matematica babilonese manca di generalità in senso moderno, in quanto non presenta dimostrazioni.

8 Le prime testimonianze dell'utilizzo della matematica presso gli egizi risalgono al periodo dell'Antico Regno, con una iscrizione che registra le conquiste di una guerra, utilizzando il sistema di numerazione che sarà poi in uso per tutta la storia egizia. Inoltre già nella prima dinastia erano diffuse la pratica della misurazione del livello di acqua del Nilo, e il rituale del "tendere la corda" per la costruzione dei templi, a conferma dell'uso di nozioni geometricheAntico Regnoprima dinastiaNilotempli geometriche La matematica egizia classica, descritta nel resto dell'articolo, emerse soltanto nel Medio Regno, con la creazione di vere e proprie scuole di scribi, e la nascita del sistema di frazioni caratteristico della matematica egizia. I problemi affrontati hanno sia carattere numerico e astratto, sia un aspetto pratico, legato al lavoro svolto dagli scribi. Alla matematica veniva comunque riconosciuto il valore di speculazione astratta e di strumento per la conoscenza della natura, come recita l'intestazione del papiro matematico Rhind: «Metodo corretto di entrare nella natura, conoscere tutto ciò che esiste, ogni mistero, ogni segreto».Medio Regnoscribifrazionipapiro matematico Rhind Il Nuovo Regno non ha lasciato grandi testimonianze matematiche, ma dai documenti pervenuti è possibile dedurre che le tecniche matematiche non subirono variazioni. Nel periodo greco, i documenti in demotico rivelano l'influsso della cultura greca; in direzione inversa, anche la matematica greca assorbì le conoscenze di quella egizia, e Erodoto stesso sostenne che i Greci impararono la geometria dai "tenditori di corde" egizi.Nuovo Regno periodo grecodemoticogrecamatematica grecaErodoto

9 : Per quanto riguarda il sistema di numerazione geroglifico, è presente una base 10 e per scrivere i numeri venivano affiancati i simboli di unità, decine, centinaia,... C'è da notare che non si tratta di un sistema posizionale poiché ogni simbolo ha un significato/valore intrinseco e di conseguenza non ha importanza come vengono rappresentati i vari simboli per formare un numero. Esempi: Per quanto riguarda le operazioni si aveva l'addizione e la moltiplicazione pressoché identiche alle nostre, con l'accorgimento che a 10 simboli uguali andava sostituito il simbolo di un ordine di grandezza successivo; la moltiplicazione e la divisione invece si basavano sulla scomposizione dei fattori Esempi:

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11 Gli egiziani svilupparono ed applicarono il sistema di numerazioni principalmente per i calcoli degli agrimensori, degli architetti, e dei contabili. Il sistema egiziano più antico si serviva dei caratteri geroglifici ed era permanente additivo, cioè rispettava il principio della ripetitività, per cui due o più cifre affiancate rappresentavano un numero uguale alla loro somma. Per questo motivo i raggruppamenti di 10 cifre venivano indicati con simboli diversi.

12 Nel seguito gli egiziani semplificarono molto il sistema geroglifico di numerazione adoperando il cosiddetto sistema ieratico più adatto alla scrittura con penna e inchiostro su fogli di papiro

13 LA FRAZIONE PRESSO GLI EGIZI Gli egiziani conoscevano e usavano molto bene le unità frazionarie e le indicavano con il geroglifico della bocca posto sopra al numero che fungeva da denominatore. Altre frazioni venivano scritte con segni diversi. Essi usavano le frazioni per esprimere le capacità di misura,per le quali gli Egizi si servivano di una curiosa notazione che permetteva di indicare le frazioni dell HEGAT. Questa strana notazione si serviva delle diverse parti dellocchio, detto UDJAT, del dio horus.

14 Questa strana notazione risale alla leggenda degli dei Osiride, Iside e La dea del cielo, Nut, sposò segretamente Geb, dio della terra contro la volontà di Rà, dio del sole.

15 Nello stesso papiro compare anche un insieme di regole relative alle frazioni che riguarda la rappresentazione delle parti decimali, fornendo per ogni numero intero dispari compreso fra 3 e 101 la scomposizione in frazioni unitarie della frazione di 2/n. Ancora compaiono problemi relativi alle quattro operazioni elementari, in cui viene esposto il metodo di calcolo. Nel papiro Rhind sono presenti anche problemi algebrici risolvibili con equazioni lineari del tipo x+ax=b e x+ax+bx=c, noti a, b e c con incognita x, nonché problemi geometrici relativi al calcolo delle aree di poligoni, come il triangolo isoscele, oltre al famoso problema 50 esposto più sopra.

16 Tra i più antichi documenti matematici ritrovati dagli archeologi, il papiro Rhind è un rotolo di 5 metri di lunghezza per 30 cm di larghezza (custodito dal British Museum); prende il nome dallantiquario scozzese (Henry Rhind) che lo acquistò nel 1858 a Luxor. Il papiro risale al Regno medio ed è datato tra il 2000 e il 1650 a.C., elaborato in ieratico che era un linguaggio più semplice rispetto al geroglifico e attribuito allo scriba di nome Ahmes. Nel papiro, tra i vari problemi indicati, compare la risoluzione del problema del computo dellarea del cerchio.papiro Rhind

17 I greci fecero molti viaggi ed ebbero molti contatti con egizi e babilonesi. Da loro appresero le forme più progredite dellaritmetica e della geometria

18 Purtroppo il loro sistema di numerazione era poco efficiente in quanto per rappresentare i numeri venivano adoperate le lettere dellalfabeto a cui si faceva seguire un apice

19 Per indicare i multipli di 1000 ma inferiori a si adoperavano le prime nove lettere dellalfabeto precedute da un apice in basso

20 I Romani I Romani adoperavano per i numeri solo 7 simboli presi dal loro alfabeto: I,V,X,L,C,D,M. Il sistema era del tipo additivo anche se è meglio chiamarlo additivo-sottrattivo,in quanto porre una cifra a sinistra di unaltra significava sottrarla da questa.

21 Gli indiani e gli arabi Gli indiani svilupparono un sistema di numerazione che ha costituito la base per la nostra moderna numerazione. Attraverso una graduale evoluzione essi pervennero ad una notazione a nove cifre fondamentali tutte diverse fra loro per le prime nove unità. Tali cifre, inoltre, rappresentavo anche le decine, le centinaia, le migliaia, ecc., a seconda della loro posizione nel numero. Una posizione vuota infine (lo zero), era rappresentata da un puntino o piccolo cerchietto. Gli Indiani ebbero il merito di utilizzare in un unico sistema di numerazione dei principi che erano presenti separatamente nei sistemi di altre civiltà, e cioè: a base decimale, il principio posizionale e la diversità dei simboli per le dieci cifre fondamentali, zero compreso. Gli Arabi nelle loro conquiste vennero in contatto con popoli di civiltà molto diverse fra loro e trasmisero ad essi il sistema di numerazione che avevano appreso dagli Indiani. Da popolo a popolo, però, la scrittura delle dieci cifre fondamentali variava.

22 I numeri Indiani I numeri Arabi

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24 La matematica in Cina I CINESI UTILIZZAVANO DUE SISTEMI DI NUMERAZIONE COMPLETAMENTE DIVERSI. IL PRIMO SISTEMA DI NUMERAZIONE UTILIZZAVA PER I PRIMI NOVE SIMBOLI SI UTILIZZAVANO SEGNI DIVERSI È DEI SIMBOLI AGGIUNTIVI PER LE ALTRE CIFRE, I NUMERI SUPERIORI A 10 SI GIUNGONO DA DESTRA O DAL BASSO. IL SECONDO METODO UTILIZZAVA DEI BASTONCINI. QUESTI BASTONCINI VENIVANO MESSI IN POSIZIONE DIVERSA PER RAPPRESENTARE I NUMERI DA 1 A 10 E IN MODO DIVERSO DA 10 A 90. PER SCRIVERE I NUMERI I BASTONCINI SI POSIZIONAVANO DA DESTRA VERSO SINISTRA. QUANDO SI NOTAVA UN PICCOLO CERCHIO VUOTO STAVA AD INDICARE LO ZERO. ALCUNI CONTABILI TALMENTE ERANO BRAVI CHE CHI GUARDA NON RIESCE A SEGUIRE I MOVIMENTI DELLE MANI. ALCUNE BASTONCINI POTEVANO ESSERE DI BAMBÙ, DI AVORIO E DI FERRO

25 I Numeri nel Mondo Oggi Le scritture usate oggi nel mondo sono 33: -semitiche (araba, armena, cirillica, georgiana, greca, latina,mongola,siriana) - indiane(bengalese,birmana,cambogiana,devanagari,gujarati,gurmukhi,kannada,laotiana, malayam oriya,singalese,tamil,telugu,thailandese,tibetana) -orientali(cinese,kana,hangul) -cherokee, cree, etiopia, maldiviana, tifinagh, yi. Con tali scritture si scrivono più lingue diverse. Scritture che usano il sistema di numerazione posizionale. Oggi, per scrivere i numeri, si usa il sistema decimale posizionale, questo vuol dire che le cifre da 1 a 9 hanno un valore numerico che varia a seconda della posizione; Contando le posizione da destra si rappresentano le unità, le decine e le centinaia. Es. 3x100+0x10+7x1,ovvero 307. Nonostante la scrittura araba si scriva da destra a sinistra i numeri si scrivono da sinistra a destra,come in Europa e in India. La scrittura cinese è un po più complicata: quando si scrive in verticale, si usa la notazione posizionale dallalto verso il basso. Se invece si scrive in orizzontale, si usa un sistema differente, che combina le cifre da uno a nove con simboli che rappresentano gli ordini di grandezza.

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27 LA MATEMATICA E LA MUSICA La scoperta delle frazioni rappresenta per la matematica una tappa fondamentale, perché offre tante possibilità di utilizzo nei vari campi dellattività Nella storia della scienza si trovano tanti episodi occasionali che poi hanno determinato spesso scoperte eccezionali; ad esempio allepisodio della mela che cade sulla testa di Newton; gli consente di formulare la legge di gravitazione. E in un altro episodio si racconta che il grande Pitagora passando vicino allofficina di un fabbro, percepisce che il suono dei martelli sullincudine non era sempre lo stesso.

28 ATTIVITA PRATICA Secoli dopo si avverte lesigenza di dover rappresentare in qualche modo i suoni e così nascono le sette figure musicali con le quali si vuole indicare anche la durata, attribuendo a ciascuna un particolare valore numerico.

29 FRAZIONI E MUSICA Parliamo ora del rapporto fra musica e matematica o, più precisamente, fra suoni e frazioni. Ne avrai discusso anche con il tuo insegnante di musica quando hai studiato le note musicali e le figure di durata, cioè i valori delle note e delle pause. Una composizione musicale è suddivisa in tante piccole parti di uguale valore, chiamate battute

30 Un po di storia della geometria La parola geometria proviene dal greco e significa misura della terra. Ed Erodoto, il padre della storia, ritiene che la geometria sia nata presso gli antichi Egiziani, vari millenni a. C., per la necessità che questi avevano di ripristinare confini di proprietà, che ogni anno venivano cancellati dalle inondazioni del Nilo

31 La grande Piramide di Cheope a GizaPiramide di CheopeGiza Le piramidi egizie sono a base quadrata e hanno quattro facce lisce che congiungono gli spigoli della base al vertice, costituito dal pyramidion. pyramidion Secondo la teoria maggiormente accettata tra gli studiosi, teoria confermata anche da riscontri archeologici, le piramidi egizie furono erette come monumenti funerari al di sopra della tomba del sovrano. Lo sviluppo di tali monumenti ebbe inizio con la III dinastia come evoluzione della tomba a mastaba.III dinastiamastaba Dopo una fase di crescita delle dimensioni del monumento, culminata con la Piramide di Cheope unica delle sette meraviglie del mondo antico ad essere pervenuta a noi, l'uso di questo monumento proseguì ancora per secoli, anche se con forme più ridotte, ed influenzò anche culture limitrofe; le ultime piramidi erette furono quelle rinvenute nel regno di Meroe attribuibili al I millennio a.C.sette meraviglie del mondo anticoregno di MeroeI millennio a.C.

32 La piramide a gradoni del faraone Djoser, progettata dall'architetto Imhotepa SaqqaraDjoserImhotepa Saqqara Questo tipo di piramidi, solitamente, ha una basa molto ampia su cui sviluppano diversi strati, o gradoni, di pietra. Il sistema costruttivo a piramide gradonata è trasversale a molte culture ed ha prodotto anche in contesti storico- geografici indipendenti risultati molto simili. Abbiamo gli esempi più noti di tali costruzioni in Mesopotamia, nell'Antico Egitto e presso le civiltà precolombiane in America.MesopotamiaAntico Egittociviltà precolombianeAmerica Una delle più famose tra quelle antico- egiziane, che risentono dello stretto contatto con le mastabe, è la piramide di Djoser, voluta dall'omonimo faraone e progettata dall'architetto Imhotep.mastabe DjoserImhotep

33 I papiri ritrovati nel XIX° secolo, hanno dimostrato che in epoca abbastanza remota, almeno intorno al a.C., gli egizi disponevano di conoscenze matematiche e geometriche che possono essere definite, con cautela, di una certa rilevanza. Questa evoluzione delle conoscenze matematiche e geometriche degli egizi è avvolta nel più totale mistero poiché le scoperte fatte non gettano luce a sufficienza per avere un quadro esauriente. Quei papiri stanno così a dimostrare che lo stato delle conoscenze scientifiche degli egizi a quel epoca è quello che appare da tali scritti, ma tale elemento non va di pari passo con lesperienza dellarchitettura megalitica, almeno da una certa epoca in avanti. Ciò che impressiona di più delle conoscenze matematiche e geometriche espresse nei papiri che ci sono pervenuti, è che essi sono riusciti ad impiegare delle formule di calcolo che sono state formalizzate dai matematici greci sulla carta solo quasi anni dopo Per contro, ciò che viene "rimproverato" ai matematici egizi e babilonesi è di aver realizzato una matematica e geometria essenzialmente di tipo "pratico" volta alla risoluzione di singoli problemi di natura agraria o economica, o tecnico-geometrica o architettonica, senza raggiungere una vera e propria formalizzazione della materia che avviene solo in epoca greca. Tuttavia nei papiri ritrovati finora sembra evidente che gli Egizi avessero dimestichezza con metodi alternativi, rispetto a quelli che noi conosciamo oggi, per la risoluzione di problemi riguardanti la geometria piana, la matematica e lalgebra (con particolare riguardo alla conoscenza dei metodi di scomposizione dei numeri naturali in frazioni), al punto da poter usufruire di metodi estremamente intelligenti per la scomposizione di figure piane, che si rendeva utile al fine della risoluzione di problemi geometrici e matematici di relativa complessità.

34 IL TEOREMA DI PITAGORA

35 La Storia Del Teorema Di Pitagora Quello che modernamente conosciamo come teorema di Pitagora viene solitamente attribuito al filosofo e matematico Pitagora. In realtà il suo enunciato (ma non la sua dimostrazione) era già noto agli egizi e ai babilonesi, ed era forse conosciuto anche in Cina ed in India. La dimostrazione del teorema è invece con ogni probabilità successiva a Pitagora.filosofo matematicoPitagoraegizi babilonesiCina India

36 In ogni triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è pari alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti. Dato un triangolo rettangolo di lati a, b e c, ed indicando con c la sua ipotenusa e con a e b i suoi cateti. Se la terna a,b,c è costituita da numeri interi questa si chiama terna pitagorica.terna pitagorica Inversamente, ogni triangolo in cui i tre lati verificano questa proprietà è rettangolo: questo teorema, con la sua dimostrazione, appare negli Elementi immediatamente dopo il teorema di Pitagora stesso. La dimostrazione classica del teorema di Pitagora completa il primo libro degli Elementi di Euclide, e ne costituisce il filo conduttore. Dato che richiede il postulato delle parallele, esso non vale nelle geometrie non- euclidee e nella geometria neutrale. Nel testo di Euclide la dimostrazione del teorema è immediatamente preceduta dalla dimostrazione della costruibilità dei quadrati. L'esistenza stessa dei quadrati dipende infatti dal postulato delle parallele e viene meno nelle geometrie non euclidee. Questo aspetto del problema è in genere trascurato nella didattica contemporanea, che tende spesso ad assumere come ovvia l'esistenza dei quadratiElementiEuclidepostulato delle parallelegeometrie non- euclideegeometria neutrale

37 La dimostrazione del teorema di Pitagora più immediata e più diffusa nei libri scolastici consiste nel riempire uno stesso quadrato di lato uguale alla somma dei cateti prima con quattro copie del triangolo rettangolo più il quadrato costruito sull'ipotenusa e poi con quattro copie del triangolo rettangolo più i quadrati costruiti sui cateti, come in figura. Essendo il teorema uno dei più noti della storia della matematica, ne esistono molte altre dimostrazioni, opera di astronomi, agenti di cambio, e anche una di Leonardo da Vinci. Probabilmente, insieme alla reciprocità quadratica, si contende la palma del teorema con più dimostrazioni in assoluto.storia della matematicaLeonardo da Vincireciprocità quadratica

38 Esaminiamone alcune interessanti. Quella proposta nel 1873 dall'agente di cambio Henry Perigal si basa sulla scomposizione del quadrato costruito sul cateto maggiore, in giallo nell'immagine: tagliandolo infatti con due rette passanti per il suo centro, una perpendicolare ed una parallela all'ipotenusa, si può ricomporre in maniera da incorporare l'altro quadrato, e formando il quadrato sull'ipotenusa, come nella figura. 1873Henry Perigal

39 Esiste anche una dimostrazione in forma poetica, dell'astronomo Sir George Airy, in inglese: "Come potete vedere, sono a² + b² - ab Quando ci sono due triangoli sopra di me È rappresentato il quadrato dell'ipotenusa Ma se invece sto io sopra di loro Si leggono i quadrati dei due lati" I versi si riferiscono alla parte bianca: i primi due triangoli sono quelli rossi, i secondi quelli blu.poeticaGeorge Airyinglese Sia quella di Perigal che quest'ultima sono interessanti, in quanto sono puramente geometriche, ossia non richiedono alcuna definizione di operazioni aritmetiche, ma solo congruenze di aree e di segmenti.

40 Un'altra dimostrazione geometrica particolarmente significativa, in quanto nella costruzione non compare alcun quadrato, fu trovata nel 1876 da Garfield, che in seguito divenne il ventesimo Presidente degli Stati Uniti d'America. Allora nell'esercito, Garfield commentò il suo risultato: "Questo è qualcosa su cui i due rami del parlamento potranno essere d'accordo". 1876GarfieldPresidente degli Stati Uniti d'America La dimostrazione è la seguente: consideriamo una copia del triangolo rettangolo in questione, ruotata di 90 gradi in modo da allineare i due cateti differenti (nella figura a lato il rosso ed il blu). Si uniscono poi gli estremi delle ipotenuse, e si ottiene un trapezio. Uguagliando l'area del trapezio alla somma di quelle dei tre triangoli retti, si dimostra il teorema.rossoblutrapezio

41 Un'altra dimostrazione utilizza il primo teorema di Euclide. Si traccia l'altezza sull'ipotenusa, di lunghezza h. Questa spezza l'ipotenusa in due segmenti, di lunghezza p e q. Il teorema di Euclide fornisce le relazioni Vale anche l'inverso del Teorema di Pitagora (proposizione 48 del primo libro degli Elementi di Euclide): Se in un triangolo di lati a, b e c vale la relazione a2 + b2 = c2 allora il triangolo è rettangolo.primo teorema di EuclideElementiEuclide Dimostrazione: Sia T un triangolo di lati a, b e c tale che a2 + b2 = c2. Consideriamo inoltre triangolo rettangolo T' che abbia i cateti pari ad a e b (è sempre possibile costruire un triangolo rettangolo dati i due cateti). Per il Teorema di Pitagora (diretto) l'ipotenusa del triangolo T' sarà pari a, ossia sarà uguale al lato c del triangolo T. I due triangoli T e T' risulteranno dunque congruenti per il terzo criterio di congruenza, avendo tutti e tre i lati ordinatamente uguali. Ma allora anche il triangolo T sarà rettangolo (CVD).

42 Il teorema di Pitagora può essere generalizzato in vari modi. Solitamente, una generalizzazione è una relazione che si applica a tutti i triangoli, e che applicata ai triangoli rettangoli risulta essere equivalente al teorema di Pitagora. La generalizzazione più importante del teorema di Pitagora è forse il teorema del coseno, che si applica ad un triangolo qualsiasi (non necessariamente retto )teorema del coseno

43 Il teorema dei seni mette in relazione le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni degli angoli opposti. Anche questa relazione si applica a qualsiasi triangolo e, nel caso in cui questo sia rettangolo, può essere ritenuta equivalente al teorema di Pitagora (benché in modo meno immediato rispetto al teorema del coseno).teorema dei seniseni

44 È possibile estendere il teorema di Pitagora ad un triangolo qualsiasi senza fare uso di funzioni trigonometriche quali il seno ed il coseno. Dato un triangolo ABC come in figura, si tracciano due segmenti che collegano il vertice A con due punti g e h contenuti nel segmento opposto BC (oppure in un suo prolungamento), in modo tale che gli angoli AgB e AhC siano entrambi uguali all'angolo α del vertice A. La figura mostra un caso in cui l'angolo α è ottuso: se è acuto, i due punti g e h sono in ordine inverso (il primo a destra e il secondo a sinistra) e possono uscire dal segmento BC.ottuso

45 L APOTEMA

46 La Mappa Dei Triangoli

47 I Triangoli

48 BIOLOGIA LA SEZIONE AUREA NEL CORPO UMANO Famosa è la rappresentazione di leonardo delluomo di vitruvio in cui una persona è iscritta in un quadrato e in un cerchio. Nel quadrato laltezza delluomo è pari alla distanza tra le estremità delle mani con le braccia distese. La retta x-y passante per lombelico divide i lati AB e CD esattamente in rapporto aureo tra loro. Lo stesso ombelico è anche il centro del cerchio che inscrive la persona umana con le braccia e gambe aperte.

49 BIOLOGIA LA SEZIONE AURA NEL CORPO UMANO

50 La Gerarchia Piramidale

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54 CAMPI E MISURE CAMPO DA CALCETTO

55 CAMPI E MISURE CAMPO DA BASEBALL

56 CAMPI E MISURE CAMPO DA VOLLEY

57 CAMPI E MISURE CAMPO DA RUGBY

58 CAMPI E MISURE CAMPO DA GOLF

59 CAMPI E MISURE CAMPO DA

60 CAMPO E MISURE PALESTRA

61 CAMPI E MISURE CAMPO DA

62 CAMPI E MISURE CAMPO DA PALLANUOTO

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