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ESPONENZIALI E LOGARITMI. La legge esponenziale nella natura.

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Presentazione sul tema: "ESPONENZIALI E LOGARITMI. La legge esponenziale nella natura."— Transcript della presentazione:

1 ESPONENZIALI E LOGARITMI

2 La legge esponenziale nella natura

3 La riproduzione per scissione

4 Numero scissioni (s) Numero di batteri (N) Se indichiamo con N il numero dei batteri e con s il numero di scissioni, la legge che regola la riproduzione per scissione è: N=2 s. Sia dominio che codominio appartengono allinsieme dei numeri naturali.

5 La fissione nucleare Processo che sta alla base dellutilizzo della bomba atomica e dellenergia atomica. Bombardando un atomo di uranio U235 con un neutrone si ha la liberazione di 3 neutroni e di energia. Si innesca una reazione a catena.

6 Numero di urti (u) Numero di neutroni (N) Se indichiamo con N il numero di neutroni e con u il numero di urti, la legge che regola la fissione nucleare è: N=3 u. Sia dominio che codominio appartengono allinsieme dei numeri naturali.

7 Decadimento radioattivo del carbonio 14 Alcuni minerali emettono spontaneamente radiazioni e lemissione di queste radiazioni provoca la trasformazione dei minerali in nuove sostanze. Se il carbonio14 contiene oggi una certa massa di sostanza radioattiva dopo 6000 anni metà di tale massa avrà subito il decadimento radioattivo e metà sarà rimasta inalterata.

8 Tempo di dimezzamento (t) Massa di (M) 01 10,5 20,25 30, Se M indica la massa di C 14,t il tempo, misurata a partire dal numero di tempi di dimezzamento (ossia il tempo utilizzato per dimezzare la massa che nel caso del C 14 è di 6000 anni) trascorsi, la legge che regola il decadimento radioattivo è: M=(1/2) t In questo caso ha senso considerare la massa di C 14 corrispondente a valori di t negativi, valori che indicano il passatoe anche a valori di tempo non interi, come ad esempio t = 1/3 cioè circa 2000 anni. Possiamo quindi infittire quanto vogliamo la tabella che descrive il decadimento radioattivo ed ottenere un grafico come quello in figura. Si passa quindi da un grafico a scatti a un grafico continuo. Il dominio della funzione è linsieme dei numeri reali, mentre il codominio è quello dei numeri reali positivi.

9 La funzione esponenziale Prefissato un numero reale a>0 è possibile associare ad un numero reale qualsiasi x, il numero reale a x F: R R + xa x

10 LA CURVA ESPONENZIALE se a >1 Quando a>1 si viene a creare una curva crescente che non tocca mai lasse delle ascisse e rimane nel semipiano delle ordinate positive. Più la base è grande, più ripida è la crescita; Tutte le curve passano per il punto (0; 1);, xY=2 x -2 0,25 0, Y=3 x 0,11 0, lim a x =+; lim a x =0 + x+ x-

11 LA CURVA ESPONENZIALE se 0

12 LA CURVA ESPONENZIALE se a =1 La curva degenera in una retta parallela allasse delle ascisse

13 Simmetrie Confrontando i grafici di funzioni esponenziali con basi reciproche osserviamo che sono simmetrici rispetto allasse delle ordinate.

14 LOGARITMI

15 Michael Stifel in una sua famosa operaAritmetica integra osservò che i termini della progressione geometrica corrispondono ai termini della progressione aritmetica formata dai loro esponenti.

16 John Napier Approfondisce lidea di logaritmo come progressione geometrica di ragione 10 nellopera Mirifici logarithmorum canonis descriptio e coniò il termine logaritmo. Logaritmo: dal greco LOGON = ragione, intesa nel senso usato nelle progressioni geometriche, cioè rapporto e ARITHMOS = numero: numero razionale, nel senso di numero artificiale creato dalla ragione.

17 Henry Briggs Nel 1615,durante una visita in Scozia,propose di utilizzare la potenza del 10 a Nepero,il quale però non portò avanti il progetto perché morì nel 1617 e la sua opera uscì postuma nel Compilò le prime tavole dei logaritmi da 1 a 1000, più che sufficienti per le esigenze del tempo.

18 Leonard Eulero Agli inizi del 700 con Eulero i logaritmi diventano oggetto matematico adottando un linguaggio e una notazione che per molti aspetti corrispondono a quelli usati oggi. Eulero fu il primo ad usare la lettera e per rappresentare la base del sistema dei logaritmi naturali o neperiani.

19 La funzione logaritmica Funzione che associa a ogni valore della variabile x il valore y =log a x, dove a è un numero reale positivo diverso da 1 e x un numero reale maggiore di zero. F: R + R xlog a x Il dominio è linsieme di tutti i numeri reali positivi x, il codominio è linsieme di tutti i numeri reali. Tutte le curve logaritmiche hanno la particolarità di passare per il punto del grafico A(1,0), perciò risulta log a 1=0 Questa funzione è la funzione inversa della funzione esponenziale.

20 xY=log 2 x 0,25-2 0, La curva occupa solo il semipiano x>0, dato che il suo dominio è R +. Assegnando alla x valori sempre più vicini a 0, la curva tende ad avvicinarsi sempre più allasse delle y senza però toccarlo. Si dice che lasse delle ordinate è asintoto della funzione. La funzione è crescente. 1° CASO: a>1 lim log a x = -; lim log a x=+ x0 + x+

21 2° CASO: 00, dato che il suo dominio è R +. Assegnando alla x valori sempre più vicini a 0 la curva tende ad avvicinarsi sempre più allasse delle y senza però toccarlo. Si dice che lasse delle ordinate è asintoto della funzione. La funzione è decrescente. lim log a x =+; lim log a x=- x0+ x+


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