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Programmazione lineare: un esempio Mix produttivo ottimo con risorse vincolate.

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Presentazione sul tema: "Programmazione lineare: un esempio Mix produttivo ottimo con risorse vincolate."— Transcript della presentazione:

1 programmazione lineare: un esempio Mix produttivo ottimo con risorse vincolate

2 2 modelli in produzione Modello AModello B

3 Disponibilita dei componenti 10 MODULI DISPLAY 18 MODULI di MEMORIA 12 MODULI di TRASMISSIONE 21 TASTIERINE 9 TASTIERE di NAVIGAZIONE 10 MICROCAMERE

4 Utilizzo dei componenti Modello A Modello B Componenti Display Tast navigazione Tastiere a 6 tasti Trasmissione Memoria MicroCamera GUADAGNO

5 Modello di PL Max 3 x A + 8 x B : x A + 2 x B 10a 1 2 x A + 2 x B 18a 2 x A + 3 x B 12a 3 2 x A + 3 x B 21a 4 x A 9a 5 x A 10a 6 x A, x B 0 In forma matriciale compatta Max cx: Ax b x 0

6 Rappresentazione geometrica della regione ammissibile xAxA xBxB a 1 : x A +2 x B 10 a 3 : x A +3 x B 12 a 2 : 2x A +2x B x A 0 x B 0 a 5 : x A 9 a 6 : x A 10 a 4 : 2x A +3 x B 21

7 Curve di iso-costo xAxA xBxB A 1 : x A +2 x B 10 A 3 : x A +3 x B 12 A 2 : 2x A +2x B c 3,3 cx=0 cx=16 cx=24 cx=32 cx=33 cx=34

8 Gradiente: vettore ortogonale alliperpiano tangente alla curva di livello (se la funzione c(x) e lineare coincide con il vettore dei coefficienti non dipende dal punto in cui viene calcolato). Curva di isocosto: insieme dei punti che hanno lo stesso valore della funzione obiettivo (se la funzione c(x) e lineare, la curva di isocosto e un iperpiano)

9 Condizione di ottimo: c = y 1 a 1 +y 3 a 3, y 0 xAxA xBxB a 1 : x A +2 x B 10 a 3 : x A +3 x B C = [ 3, 8 ]

10 c appartiene al cono generato dai gradienti dei vincoli a 1 e a 3 y R 2, y 0, tale che c T = y T dove a 1 =[1, 2], a 3 =[1,3] y risolve il sistema 1 1 y 1 3 con y y 2 8 y = a 1 a 2 -1 c = = a1a3a1a3 =

11 Vertici (punti estremi) del politopo xAxA xBxB a 1 : x A +2 x B 10 a 3 : x A +3 x B 12 a 2 : 2x A +2x B (0,0) (0,4) (0,5) (6,3) (6,2) (8,1) (9,1) 0 (9,0) (9,½) (7.5, 1.5)

12 Idee base dellalgoritmo Lottimo (se esiste finito) coincide con (almeno) un vertice del politopo Possiamo definire delle condizioni di ottimalita in base alla geometria dei vettori Per implementare un algoritmo dobbiamo fornire una descrizione algebrica dei vertici. Forniamo un supporto teorico a queste intuizioni

13 Combinazione convessa di due punti x, y z= x + (1- )y, con [0,..1] combinazione convessa stretta per (0,..,1) Programmazione convessa Programmazione convessa richiami di

14 Generalizzando a n punti Dati k punti x 1,..,x k R n, il punto z in R n e combinazione convessa di x 1,..,x k se esistono k scalari 0, 1,.., k tali che i=1,k i x i = z

15 Altri tipi di combinazioni Combinazione affine ( +, R) Combinazione conica (, 0, in R) Combinazione lineare (, R)

16 Un insieme si dice convesso se contiene tutte le combinazioni convesse dei propri punti x y x y di insiemi convessi e convessa

17 Una funzione f:XR si dice convessa se x,y X, [0,1], chiamando z = x + (1- )y la combinazione convessa di x e y, allora f (z) f(x) +(1- ) f(y) Le funzioni lineari sono funzioni convesse x z y f(y) f(x) f(z) f(x) + (1- )f(y)

18 risultati TH: Sia X = {x R n : g i (x) 0, i=1,..,m} e g i (x) sia convessa i, allora linsieme X e convesso (la regione ammissibile definita dalle soluzioni di un sistema di funzioni convesse e convessa) Def: problema di programmazione convessa min {f(x) : x X} dove X R n e convesso, f:XR e convessa TH: Dato un problema di programmazione convessa, ogni punto di ottimo locale e un punto di ottimo globale

19 Dato un vettore a R n e uno scalare a 0 R, si dice –semispazio affine indotto da (a,a 0 ) linsieme X={x R n : ax a 0 } –iperpiano indotto da (a,a 0 ) linsieme X={x R n : ax=a 0 } Poliedro P R n : di semispazi e iperpiani (politopo se limitato) Un punto x P si dice vertice o punto estremo di P se non e esprimibile come combinazione convessa stretta di nessuna coppia di punti di P. Richiami di algebra lineare

20 Faccia: HP P dove HP e un iperpiano tangente a P e P R n. Faccetta: faccia di dimensione n-1. Spigolo (lato): faccia di dimensione 1. Vertice (punto estremo): faccia di dimensione 0

21 Facce, vertici e spigoli di un politopo

22 Si puo dimostrare che … Th di Minkowski-Weyl: Un politopo P e esprimibile come combinazione convessa dei suoi vertici (+ la combinazione conica dei suoi raggi estremi per poliedri non limitati) Se P e limitato, allora esiste almeno un vertice di P che e soluzione ottima del problema di programmazione lineare min {cx : x P} / max {cx : x P}

23 In breve P e un insieme convesso, esprimibile come combinazione convessa dei suoi vertici Th: il problema min {cx : x P} ha ottimo (se esiste finito) su di un vertice Th: e sufficiente lottimalita locale del punto per dimostrarne lottimalita globale

24 algoritmo Per implementare un algoritmo occorre fornire – una caratterizzazione algebrica dei vertici – delle condizioni di ottimalita – una regola per spostarsi su un vertice (adiacente) con miglior valore della funzione obiettivo


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