programmazione lineare: un esempio

Presentazione sul tema: "programmazione lineare: un esempio"— Transcript della presentazione:

1 programmazione lineare: un esempio
Mix produttivo ottimo con risorse vincolate

2 Modello A Modello B 2 modelli in produzione

3 Disponibilita’ dei componenti
18 MODULI di MEMORIA 10 MODULI DISPLAY 12 MODULI di TRASMISSIONE 9 TASTIERE di NAVIGAZIONE 21 TASTIERINE 10 MICROCAMERE Disponibilita’ dei componenti

4 Utilizzo dei componenti
Display Tast navigazione Tastiere a 6 tasti Trasmissione Memoria MicroCamera GUADAGNO Modello A 1 2 3 Modello B 2 - 3 8

5 Modello di PL Max 3 xA + 8 xB: xA + 2 xB  10 a1 2 xA + 2 xB  18 a2
xA  a5 xA  10 a6 xA, xB  0 In forma matriciale compatta Max cx: Ax  b x  0

6 Rappresentazione geometrica della regione ammissibile
xB 5 a1: xA+2 xB 10 a6: xA10 a4: 2xA+3 xB 21 4 a5: xA9 a3: xA+3 xB 12 3 2 1 xA0 xB0 a2: 2xA+2xB  18 1 2 3 4 5 xA 6 7 8 9 10

7 Curve di iso-costo xB xA A1: xA+2 xB  10 5 A3: xA+3 xB  12 4
cx=33 3 3,3 cx=24 cx=34 2 cx=16 cx=32 1 c 1 2 3 4 5 6 7 8 xA 9 10 cx=0

8 Gradiente: vettore ortogonale all’iperpiano tangente alla curva di livello (se la funzione c(x) e’ lineare coincide con il vettore dei coefficienti  non dipende dal punto in cui viene calcolato). Curva di isocosto: insieme dei punti che hanno lo stesso valore della funzione obiettivo (se la funzione c(x) e’ lineare, la curva di isocosto e’ un iperpiano)

9 Condizione di ottimo: c = y1a1+y3a3, y0
xB 5 a1: xA+2 xB  10 4 a3: xA+3 xB  12 3 2 1 C = [ 3, 8 ] 1 2 3 4 5 6 7 8 xA 9 10

10 c appartiene al cono generato dai gradienti dei vincoli a1 e a3
y R2, y0, tale che cT = yT dove a1=[1, 2], a3=[1,3] y risolve il sistema y con y y y = a1 a2 -1 c = = = 3 -1 -2 1 3 8 1 2

11 Vertici (punti estremi) del politopo
xB (0,5) 5 a1: xA+2 xB  10 a2: 2xA+2xB  18 4 (0,4) (6,3) 3 a3: xA+3 xB  12 2 (6,2) (7.5, 1.5) (9,1) 1 (8,1) (9,½) (0,0) (9,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 xA 9 10

12 Idee base dell’algoritmo
L’ottimo (se esiste finito) coincide con (almeno) un vertice del politopo Possiamo definire delle condizioni di ottimalita’ in base alla geometria dei vettori Per implementare un algoritmo dobbiamo fornire una descrizione algebrica dei vertici. Forniamo un supporto teorico a queste intuizioni

13 Programmazione convessa richiami di
Combinazione convessa di due punti x, y z=lx + (1-l)y, con l[0,..1] combinazione convessa stretta per l(0,..,1)

14 Generalizzando a n punti
Dati k punti x1,..,xk  Rn, il punto z in Rn e’ combinazione convessa di x1,..,xk se esistono k scalari  0, l1,..,lk tali che i=1,k li xi = z

15 Altri tipi di combinazioni
Combinazione affine (l1+l2=1, l1,l2R) Combinazione conica (l1,l20, in R) Combinazione lineare (l1,l2R)

16  di insiemi convessi e’ convessa
Un insieme si dice convesso se contiene tutte le combinazioni convesse dei propri punti x x y y  di insiemi convessi e’ convessa

17 Le funzioni lineari sono funzioni convesse
Una funzione f:X→R si dice convessa se x,yX, l[0,1], chiamando z = lx + (1-l)y la combinazione convessa di x e y, allora f (z)  l f(x) +(1-l) f(y) Le funzioni lineari sono funzioni convesse lf(x) + (1-l)f(y) f(y) f(x) f(z) x z y

18 risultati TH: Sia X = {x Rn: gi(x) 0, i=1,..,m} e gi(x) sia convessa i, allora l’insieme X e’ convesso (la regione ammissibile definita dalle soluzioni di un sistema di funzioni convesse e’ convessa) Def: problema di programmazione convessa min {f(x) : xX} dove XRn e’ convesso, f:X→R e’ convessa Dato un problema di programmazione convessa, ogni punto di ottimo locale e’ un punto di ottimo globale

19 Richiami di algebra lineare
Dato un vettore aRn e uno scalare a0R, si dice semispazio affine indotto da (a,a0) l’insieme X={xRn : axa0} iperpiano indotto da (a,a0) l’insieme X={xRn : ax=a0} Poliedro PRn:  di semispazi e iperpiani (politopo se limitato) Un punto xP si dice vertice o punto estremo di P se non e’ esprimibile come combinazione convessa stretta di nessuna coppia di punti di P.

20 Faccia: HPP dove HP e’ un iperpiano tangente a P e PRn.
Faccetta: faccia di dimensione n-1. Spigolo (lato): faccia di dimensione 1. Vertice (punto estremo): faccia di dimensione 0

21 Facce, vertici e spigoli di un politopo

22 Si puo’ dimostrare che …
Th di Minkowski-Weyl: Un politopo P e’ esprimibile come combinazione convessa dei suoi vertici (+ la combinazione conica dei suoi raggi estremi per poliedri non limitati) Se P e’ limitato, allora esiste almeno un vertice di P che e’ soluzione ottima del problema di programmazione lineare min {cx : xP} / max {cx : xP}

23 In breve P e’ un insieme convesso, esprimibile come combinazione convessa dei suoi vertici Th: il problema min {cx : xP} ha ottimo (se esiste finito) su di un vertice Th: e’ sufficiente l’ottimalita’ locale del punto per dimostrarne l’ottimalita’ globale

24 Per implementare un algoritmo occorre fornire
una caratterizzazione algebrica dei vertici delle condizioni di ottimalita’ una regola per spostarsi su un vertice (adiacente) con miglior valore della funzione obiettivo