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Lezione del 15 novembre 2006 Retta passante per un punto P di direzione u Equazione vettoriale : X=ku+P, k Esempio : u=(1,1), P=(3,0) u P P+u k=1.

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1 Lezione del 15 novembre 2006 Retta passante per un punto P di direzione u Equazione vettoriale : X=ku+P, k Esempio : u=(1,1), P=(3,0) u P P+u k=1

2 Retta passante per un punto P di direzione u Esempio : u=(1,1), P=(3,0) u P P+u P+3u 3u k=1 k=3

3 Retta passante per un punto P di direzione u Esempio : u=(1,1), P=(3,0) P+3u P+u P u 3u 5u P+5u P-u -u k=1 k=3 k=5 k=-1

4 Retta passante per un punto P di direzione u Esempio : u=(1,1), P=(3,0) P+3u P+u P u 3u 5u P+5u P-u -u -4u P-4u k=1 k=3 k=5 k=-1 k=-4

5 Combinazione lineare di due vettori linearmente indipendenti u -u v -v w= 1 u+ 2 v 1 0, 2 0

6 Funzioni di più variabili – Lezione introduttiva Testi di riferimento per questa parte di programma Cambini A., Carosi L., Martein L. Esercizi di Matematica Generale. Funzioni di più variabile. - Giappichelli Cambini A., Martein L. Introduzione all'algebra lineare. Funzioni di più variabili reali - Ed. Libreria Sc. Pellegrini, Pisa, 1994

7 Elementi di topologia in n Sia. L'intorno circolare di centro e raggio R è l'insieme dei punti aventi da una distanza minore di R Se n=2. L'intorno circolare di centro e raggio R coincide con il cerchio di centro e raggio R, con esclusione dei punti della circonferenza che lo delimitano. R

8 Elementi di topologia in n Sia è detto punto interno ad A se esiste un intorno di contenuto in A. Sia è detto punto di frontiera di A se ogni intorno di contiene sia punti appartenenti ad A che punti che non appartengono ad A. Punto internoPunto di frontiera

9 Elementi di topologia in n I punti interni di S sono i punti appartenenti alla regione colorata di giallo. Analiticamente:

10 Elementi di topologia in n I punti di frontiera di S sono i punti colorati di blu. Analiticamente: N.B. I punti di frontiera non necessariamente appartengono allinsieme

11 Elementi di topologia in n Sia A è un insieme aperto se ogni punto di A è interno. Sia A è un insieme chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera. Nellesempio precedente, S non è né aperto né chiuso

12 Elementi di topologia in n Sia A è un insieme limitato se esiste un intorno di raggio R e centro lorigine che lo contiene. Sia A è un insieme illimitato se non è limitato. Insieme limitatoInsieme illimitato

13 Elementi di topologia in n Sia A è un insieme compatto se è chiuso e limitato. Esempio: A

14 Attenzione!!!!!!! Non confondere aperto con illimitato e chiuso con limitato. I seguenti esempi mostrano che esistono insiemi chiusi ed illimitati ed insieme aperti e limitati. H è chiuso e illimitato. H G è aperto e limitato. G

15 Elementi di topologia in n Sia A è un insieme convesso se per ogni

16 Funzioni di più variabili a valori reali Consideriamo una funzione Dato un sottoinsieme una funzione f definita in A e a valori in R è una legge che associa ad ogni elemento associa uno ed un solo numero reale f(x). Se n=2, con un leggero abuso di notazione, per indicare gli elementi di useremo indistintamente i simboli oppure (x,y). Se n=3, con un leggero abuso di notazione, per indicare gli elementi di useremo indistintamente i simboli oppure (x,y,z).

17 Esempi di Funzioni di più variabili a valori reali dalla geometria: area del rettangolo dall'economia: se un'impresa produce due beni, il costo totale dell'impresa dipende dalle quantità prodotte dei due beni. Funzioni Cobb-Douglas : la produzione di un bene dipende dai due fattori produttivi K (capitale) ed L (lavoro). dalla matematica finanziaria: la rata che pago per estinguere un debito dipende dallammontare del debito, dal numero delle rate, dal tasso di interesse pagato: R=f(D,i,n)

18 Campo di esistenza Campo di esistenza: è linsieme più grande di dove è possibile calcolare f(x). Esempi

19 Campo di esistenza

20 Limiti e Continuità Sia f una funzione a valori reali definita su un sottoinsieme Diremo che se per ogni intorno circolare U di l esiste un intorno circolare V di x 0 tale che N.B. x,x 0 sono due vettori e non due numeri reali.

21 Limiti e Continuità Definizione di continuità: Sia x 0 A. Diremo che f è continua in x 0 se f è continua in A se è continua in ogni punto di A. Proprietà delle funzioni continue. La somma, la differenza ed il prodotto di funzioni continue sono funzioni continue; Il rapporto di funzioni continue è una funzione continua con esclusione dei punti che annullano il denominatore. l prodotto di composizione di funzioni continue è una funzione continua.


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