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M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA1 6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA (ultima modifica 27/11/2012) Velocità di fase e velocità di gruppo Premessa.

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1 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA1 6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA (ultima modifica 27/11/2012) Velocità di fase e velocità di gruppo Premessa Si definisce fronte donda una superficie nella quale in tutti i suoi punti, in un dato istante, una grandezza che caratterizza il fenomeno della propagazione, ha la stessa fase. Il fronte donda serve per rappresentare intuitivamente il movimento di unonda in uno spazio tridimensionale. Nella propagazione di onde si definiscono: la velocità di fase in un mezzo con e senza perdite, la velocità di gruppo e la relazione tra la velocità di gruppo la velocità di fase.

2 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA2 La velocità di fase è la velocità alla quale un fronte a fase costante si trasmette ed è uguale a u p = / up Δtup Δt

3 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA3 La velocità di gruppo di un pacchetto donda dipende dalla natura del mezzo. In un mezzo non dispersivo il pacchetto donde si muove senza cambiare la sua forma con una velocità di gruppo che coincide con la velocità di fase u p delle sue componenti di Fourier. Nel caso di propagazione in un mezzo dispersivo, le diverse componenti di Fourier si muovono con velocità di fase diversa. La perturbazione si muove con una velocità di gruppo u g diversa dalla velocità di fase u p delle diverse componenti del segnale, deformandosi.

4 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA4 La velocità di fase u p = / per unonda sinusoidale, è la velocità alla quale londa deve viaggiare per mantenere costante la fase istantanea. Per dimostrare che questo valore della velocità garantisce la condizione di fase istantanea costante, si esprime il fattore esponenziale con il quale si rappresenta unonda sinusoidale in funzione della velocità di fase come: si deduce la condizione affinché la fase istantanea sia costante, ossia londa deve propagarsi con velocità u p tale che essendo:

5 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA5 La velocità di fase u p di unonda piana a singola frequenza è dunque la velocità di propagazione di un fronte donda equifase. La relazione tra u p e la costante di fase é: Per le onde piane in un mezzo privo di perdite la costante di fase è una funzione lineare di e la velocità di fase risulta una costante indipendente dalla frequenza

6 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA6 In diversi casi reali (dielettrici con perdite, linee di trasmissione e guide donda) la costante di fase β non è una funzione lineare di, per cui onde con frequenza differenti si propagano con velocità di fase diverse, causando una distorsione nella forma donda del segnale, chiamata dispersione. I dielettrici con perdite sono dunque mezzi dispersivi. In generale un segnale che trasporta informazione è costituito da più componenti a frequenza diversa, pacchetto donde. La velocità di gruppo è la velocità con cui si propaga un segnale costituito da una stretta banda di componenti spettrali (gruppo), e più precisamente è la velocità di propagazione dellinviluppo del pacchetto donda (o gruppo di frequenze).

7 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA7 Per comprendere le definizioni date si considera un semplice caso di un pacchetto donde costituito da due onde viaggianti di uguale ampiezza con differenti frequenze angolari : 0 + e 0 - a cui corrispondono valori di costanti di fase diverse essendo: 0 + e 0 -, Sovrapponendo le due onde si ha: poiché << 0 lespressione trovata rappresenta unonda rapidamente oscillante alla frequenza 0 e unampiezza che varia lentamente con frequenza angolare.

8 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA8 Onda portante Onda modulante la velocità di fase: la velocità della modulante : ugug upup z E(z,t)

9 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA9 Si può dimostrare che la velocità di fase e la velocità di gruppo sono legate tra di loro dalla relazione: in base alla quale nel caso di mezzo di trasmissione con: a)nessuna dispersione: (u p indipendente da :, u g =u p funzione lineare di ) b) nei casi di normale dispersione (u p = / diminuisce con ) u g < u p c) nei casi di dispersione anomala: (u p aumenta con ) u g > u p

10 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA10 Potenza elettromagnetica e vettore di Poynting Le onde elettromagnetiche trasportano potenza elettromagnetica. Lenergia é trasportata attraverso lo spazio nei punti distanti di ricezione per mezzo di onde elettromagnetiche. Per mezzo del teorema di Pointyng é possibile scrivere un bilancio energetico in termini di grandezze di campo. Per dimostrare il teorema, si consideri che attraverso le equazioni rotoriche di Maxwell è possibile ricavare una relazione tra la velocità di trasferimento di tale energia e lintensità del campo elettrico e magnetico associati ad un onda elettromagnetica trasmessa:

11 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA11 Moltiplicando la prima relazione per il campo elettrostatico e la seconda per il campo magnetostatico e sommando si ha:

12 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA12 Per il primo membro si può verificare facilmente la seguente identità: sostituendo alla relazione precedente: si ottiene: In un mezzo semplice, i cui parametri costitutivi, e non variano con il tempo, gli addendi del secondo membro si possono esprimere :

13 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA13 Quindi lequazione si può scrivere con la relazione puntuale in funzione di : La forma integrale si ottiene integrando il primo e il secondo membro su un volume V e applicando al primo membro il teorema della divergenza per convertire lintegrale volumico nellintegrale superficiale sulla superficie S che delimita il volume V:

14 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA14 Esaminando la forma integrale della relazione trovata si vede come: il primo e il secondo termine a secondo membro rappresentano la variazione nel tempo della energia immagazzinata nel campo elettrico e magnetico rispettivamente, lultimo termine é la potenza ohmica dissipata nel volume V dovuta al flusso della densità della corrente di conduzione in presenza del campo elettrico. Per essere coerente con la legge della conservazione della energia, la somma dei tre termini a secondo membro deve essere uguale alla potenza, che lascia il volume attraverso la sua superficie, ossia il flusso di potenza per unità di area o potenza trasmessa.

15 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA15 Quindi la quantità é un vettore che rappresenta il flusso di potenza trasmessa per unità di area : essa é nota come vettore di Poynting, che é la densità di potenza vettoriale associata al campo elettromagnetico. Dalla relazione si vede come non ci può essere trasporto di energia in presenza del solo campo elettrostatico o del solo campo magnetostatico.

16 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA16 Più precisamente mentre in regime stazionario lenergia può essere presente in un campo elettrostatico o in un campo magnetostatico indipendentemente, in una regione limitata nello spazio prossimità delle sorgenti del campo in ogni situazione di variazione temporale delle grandezze di campo almeno una parte della energia deve apparire in entrambe le forme e la regione interessata dalle grandezze di campo aumenta (sarebbe infinita se non esistessero dispersioni). Quando le grandezze di campo variano è possibile trasmettere energia in regioni distanti dalle sorgenti.

17 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA17 Lequazione in forma integrale può essere scritta nella seguente forma che esprime il teorema di Poynting, ossia la potenza trasmessa attraverso la superficie S:

18 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA18 Se oltre alle forze elettriche indotte vi sono forze elettriche impresse di altra origine ( chimica, termica etc.), le equazioni rotoriche di Maxwell diventano: da cui rifacendo i passaggi si ottiene una espressione più generale del bilancio energetico in funzione delle grandezze di campo:

19 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA19 Espressione generale del teorema di Poynting: ; lavoro compiuto per unità di volume e per unità di tempo dalle forze elettriche impresse di natura non elettromagnetica ; energia trasmessa mediante il campo elettromagnetico ; energia elettrica e magnetica immagazzinate ; energia dissipata per effetto joule

20 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA20 Il teorema di Poynting in forma generale, dice che ossia, la potenza che fluisce attraverso una superficie chiusa S che delimita una regione spaziale di volume V, è in ogni istante è legata al lavoro compiuto per unità di volume e per unità di tempo dalle forze elettriche impresse di natura non elettromagnetica alle variazioni delle energia elettrostatica e magnetica immagazzinate (nulle in condizioni statiche) e alla potenza ohmica dissipata allinterno del volume (nulla per i mezzi privi di perdite). Per mezzo di questo teorema é possibile scrivere un bilancio energetico in termini di grandezze di campo.

21 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA21 Esempi di applicazioni elementari Resistore rettilineo indefinito Si consideri un tratto l di un resistore rettilineo omogeneo indefinito di sezione circolare S di raggio r, percorso dalla corrente costante I; la forza elettrica agente vale: e il campo magnetico nella superficie vale: I due vettori e sono diretti come riportati in figura e il vettore é in ogni punto della superficie del resistore, un vettore centripeto che vale: P = EH sin(90). I l S

22 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA22 Applicando il teorema di Poynting per la superficie cilindrica chiusa di altezza l e base S: E H 2 rl= J 2 S l (E l ) (2 r H)= J 2 S l VI= J 2 S l Il flusso del vettore entrante dalla superficie che delimita il conduttore è uguale alla potenza dissipata nel conduttore. Detto flusso coincide con il prodotto della differenza di potenziale V=E l per la corrente I = 2 r H.

23 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA23 Trasmissione di energia lungo un cavo coassiale Il circuito sia costituito da un generatore di fem E, di resistenza R i che attraverso un cavo coassiale di conducibilità infinita, alimenta una resistenza R. Entro il cavo il campo é radiale e vale: mentre il campo magnetico vale: R RiRi E + V

24 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA24 Il vettore di Poynting é diretto come in figura e vale,essendo il seno del prodotto vettoriale uguale a zero : il flusso di attraverso la sezione normale al cavo vale : Applicando il teorema di Poynting per una superficie chiusa che tagli il cavo normalmente allasse e racchiuda il generatore: tenedo conto che è nullo fuori dal cavo coassiale, si ottiene: EI=R i I 2 +VI, che esprime il bilancio energetico, ossia il flusso del vettore di Poynting attraverso la sezione considerata è uguale alla potenza che viene trasferita dal generatore allutilizzatore.

25 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA25 Densità di potenza istantanea e media per campi armonici Quando le onde elettromagnetiche sono armoniche nel tempo, é conveniente utilizzare la notazione fasoriale in base alla quale i campi elettrico e magnetico possono essere così espressi: e in funzione del tempo si avrà:

26 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA26 Dalle relazioni precedenti lespressione del vettore di Poynting o del vettore densità di potenza in funzione del tempo diventa: La trasmissione di potenza per mezzo di onde elettromagnetiche é caratterizzata significativamente al suo valore medio, per tale motivo si definisce il valore medio nel tempo del vettore di Poynting per unonda che si propaga nella direzione z:

27 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA27 Correnti indotte nei conduttori massicci Correnti parassite Se in una porzione dello spazio occupata da un conduttore, il campo magnetico è variabile nel tempo, si producono entro il conduttore stesso delle correnti indotte, alle quali in generale si associano fenomeni dissipativi di energia indesiderati; esse sono perciò chiamate correnti parassite o anche correnti vorticose o correnti di Foucault. Correnti parassite nei nuclei magnetici I circuiti magnetici hanno una conducibilità diversa da zero per cui in presenza di un campo magnetico saranno anchessi interessati da correnti indotte. Per quantificare la potenza dissipata per unità di volume dovuta alleffetto delle correnti parassite e comprendere come poter intervenire per ridurla, si considerino gli esempi di una sbarra a sezione circolare e di una sbarra a sezione rettangolare.

28 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA28 Barra a sezione circolare di diametro d Linduzione magnetica sia per ipotesi assiale, uniforme e variabile nel tempo con legge sinusoidale è in modulo: B=B m sen( t). Il flusso concatenato con una spira ideale di raggio r e sezione circolare A c sarà: = B m A c sen( t) = B M ( r 2 ) sen( t) La f.e.m indotta lungo tale spira per la legge di Lenz è: e=-d /dt= - B M ( r 2 ) cos( t) con valore efficace: d dr r Ac r dr L=1m

29 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA29 La potenza dissipata per effetto Joule nello strato cilindrico di spessore dr considerato è: dP=dgE 2 Essendo: e dg = conduttanza di un tubo elementare di raggio r, di larghezza dr e di profondità assiale L= l m: : potenza dissipata nella spira cilindrica elementare d dr r

30 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA30 La totale potenza dissipata si ottiene integrando questultima relazione, per r variabile fra 0 e d/2, ottenendo: Poiché il volume del materiale interessato è La potenza dissipata per unità di volume è: Essa risulta: -inversamente proporzionale -alla resistività, -direttamente proporzionale -al quadrato della pulsazione e quindi al quadrato della frequenza f, -al quadrato della induzione massima B 2 M -al quadrato del diametro d 2.

31 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA31 Barra a sezione rettangolare di dimensioni a x b: Linduzione magnetica sia per ipotesi assiale, uniforme e variabile nel tempo con legge sinusoidale: B=B m sen( t). Il flusso concatenato massimo con una spira ideale di spessore dx e dy e dimensioni 2x*2y e sezione rettangolare A r,sarà: M =A r B M = 2x 2y B M Nella generica spira di spessore dx e dy sarà indotta una f.e.m. di valore efficace: 2x a b dy dx 2y

32 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA32 La resistenza elettrica della spira è espressa da: Poiché il contorno della spira è simile al perimetro del nucleo: Quindi si può esprimere la R xy in funzione della sola variabile x, da cui risulta che : a b dy dx 2y 2x

33 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA33 a b dy dx 2y 2x Nella spira elementare si dissipa una potenza elettrica elementare: Per ottenere la potenza totale P F dissipata nellintera sezione, occorre integrare la potenza elementare per x che varia tra 0 e a/2, ottenendo:

34 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA34 La potenza dissipata per unità di volume sarà: Lipotesi di distribuzione di flusso uniforme nellintera sezione del nucleo è accettabile solo se lintensità delle correnti parassite è sufficientemente piccola, affinché la forza magneto-motrice ad essa associata risulti trascurabile. In caso contrario le correnti concentriche indotte in ciascuna sezione del nucleo, hanno leffetto di produrre una sensibile attenuazione del flusso verso il centro della sezione ed un corrispondente addensamento verso la periferia: questo fenomeno si denota con il nome di effetto schermante delle correnti parassite.

35 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA35 La perdita specifica per correnti parassite nei nuclei laminati si determina sostituendo semplicemente nella formula valida per il nucleo massiccio, al posto della dimensione b lo spessore di ciascuna lamiera: Per molto piccolo rispetto ad a si può ritenere che a a 2, per cui:

36 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA36 Includendo tutti i termini costanti, compresa la resistività e la massa volumica, in un unico fattore K F si esprime la perdita di potenza totale per unità di massa del nucleo come: Esprimendo in [mm], f in [Hz] e B in [T], risulta: K F per le lamiere normali K F per le lamiere al silicio Tale coefficiente deve essere determinato sperimentalmente per ogni tipo di lamiera. La cifra di perdita è il valore delle perdita totale di potenza per unità di massa per f=50Hz, B= 1T

37 M. Usai6d_EAIEE_ POTENZA ELETTROMAGNETICA37 Per ridurre le forti dissipazioni di energia legate ai flussi magnetici variabili si può: 1)Laminare il materiale con superfici di separazione parallele alla direzione del flusso di spessore pari a = mm reciprocamente isolate. In questo modo si riducono notevolmente le perdite, senza comunque annullarle. 2)Aumentare la resistività utilizzando acciai speciali al silicio (3 5% di silicio), che comporta anche una riduzione dellarea del ciclo di isteresi. La percentuale di silicio non si può aumentare oltre questi valori, perché il silicio rende il materiale più fragile.


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