Quantità di moto quantità di moto di una particella di massa m che si muove con velocità v: è un vettore la cui direzione e il cui verso sono quelli del.

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1 Quantità di moto quantità di moto di una particella di massa m che si muove con velocità v: è un vettore la cui direzione e il cui verso sono quelli del vettore velocità Se m e’ costante possiamo riscrivere la seconda legge della dinamica mediante la quantità di moto: nel caso in cui non ci sia una forza agente q rimane costante 29/4/2010

2 Leggi della dinamica prima legge della dinamica:
in assenza di forze, o in presenza di forze a risultante nulla, la quantità di moto di un corpo non muta seconda legge della dinamica: in presenza di forze non equilibrate la risultante delle forze eguaglia istante per istante la derivata della quantità di moto 29/4/2010

3 Quantità di moto l'eguaglianza F = ma
è valida solo nella meccanica classica F = dq/dt vale sempre , purche’ q sia definito come Dove c e’ la velocita’ della luce e v la velocita’ di m0. m0 e’ la massa del corpo misurata a v =0 q tende a m0 V ( e dq/dt a ma) per v<< c 29/4/2010

4 Terza legge della dinamica
dati due corpi A e B osserviamo che, se A esercita una forza su B, anche B esercita una forza su A il modulo delle due forze risulta uguale la direzione è la stessa il verso è opposto possiamo dire che se A agisce su B, B reagisce su A dobbiamo allora parlare di mutua interazione tra i corpi questo lo osserviamo quotidianamente: quando spingiamo un oggetto tendiamo ad allontanarcene quando lo tiriamo tendiamo ad avvicinarcene 29/4/2010

5 Terza legge della dinamica
se un corpo A esercita una forza FA su un corpo B, questo a sua volta esercita su A una forza FB avente la stessa intensità, la medesima direzione e verso opposto la somma dei due vettori è nulla: FA + FB = 0 29/4/2010

6 Il moto avviene nello spazio e nel tempo.
La posizione “cambia” e il tempo “passa” La posizione richiede la definizione di un sistema di riferimento ( X,Y,Z,t) Si misurano U=(X,Y,Z) e t rispetto a (Xo.Yo.Zo) e to La posizione e’ definita da tre numeri , da un VETTORE (U) Il tempo da uno scalare t, un numero solo. C’e’ moto quando U cambia di dU (in lunghezza e/o direzione) nel tempo dt dU/dt ≠ 0 (in senso vettoriale dU/dt = (dX/dt,dY/dt,dZ/dt) Se si ipotizza che lo stato “naturale” di un corpo libero sia la quiete, deve esistere un sistema di riferimento “assoluto” che permetta di dire che un corpo materiale fermo (in quiete) rispetto ad esso e’ “libero” O (0000) U dU 29/4/2010

7 lo spazio percorso nel tempo Δt e’ proporzionale a Δt
Se la risposta e’ SI’ : Se un corpo e’ fermo rispetto al riferimento “assoluto” su di esso non agiscono “forze” Si muove se su di esso agisce una “forza”. C’e’ “forza” se dU/dt ≠ 0 V= dU/dt e’ la velocita’ Se F = cost V = dU/dt = cost U2 –U1 = V (t2 –t1) lo spazio percorso nel tempo Δt e’ proporzionale a Δt Il “peso” e’ una forza costante: G.Galilei “discorso e dimostrazioni matematiche intorno etc…” “In un regolo di legno, lungo circa 12 braccia, incavatoun caneletto, tiratolo dritissimo, .., incollatovi dentro una carta pecora zannata e lustrata al possibile, …..scendere una palla dì bronzo durissimo, ben rotondata ……si lasciava (come dico) scendere per il detto canale la palla, notando, nel modo che appresso dirò, il tempo con esatissima bilancia pesando. per esperienze ben cento volte replicate sempre s'incontrava gli spazii passati esser tra di loro come i quadrati dei tempi, e questo in tutte le inclinazioni del regolo, …… lo spazio percorso nel tempo Δt e’ proporzionale a Δt2 !!!! 29/4/2010

8 Dunque il moto e’ un moto uniformemente acc. Lungo X
Y Y j R i mg sin θ i -mg cos θ j θ mg X θ Scelta assi: Y perpendic. al piano e x parallelo al piano. Per il principio di sovrapposizione e’ possibile scomporre le forze agenti come sovrapposizione di forze lungo X e Lungo Y. Sia R la forza sviluppata dal piano per sostenere m lungo Y. Poiche’ non c’e’ moto lungo Y deve essere – mg cos θ j + R = 0 L”unica componente efficace e’ quella di g lungo x Fx= mgsin θ Dunque il moto e’ un moto uniformemente acc. Lungo X 29/4/2010

9 di velocita’ (accelerazioni) e che una forza costante produce una
Galilei (1638) conclude che una forza non provoca velocita’ ma variazioni di velocita’ (accelerazioni) e che una forza costante produce una accelerazione costante. F = k dV/dt = k A se F = cost A=dV/dt = Ao = cost dV = Ao dt V = Ao t+Vo dU = Vdt =Ao t dt +Vo dt U = ½ Aot2 + Vo t + Uo Se a t =0 V=0 e U = U(t) = ½ Ao t2 Non esiste alcun sistema di riferimento “assoluto” ( in prigione!) Se non esiste un riferimento “assoluto”, non esiste una posizione/ orientamento preferenziale nello spazio, Ogni suo punto o orientazione e’ indistinguibile da ogni altro <e’ inconoscibile> : lo spazio e’ isotropo e omogeneo. Se lo stato “naturale” di un corpo “libero” e’ quello di possedere una Velocita’ costante (anche nulla) cio’ che e’ possibile misurare e’ solo V V = DS/Dt. Una variazione di posizione divisa per una variazione di Tempo. E’ possibile misurare solo “variazioni” di tempo o “segmenti” di spazio l’ origine del tempo (t=0) come quello delle coordinate (X=0) e’ arbitraria <e’ inconoscibile> 29/4/2010

10 relativo rettilineo e uniforme rispetto ad O’.
Si da’ il nome di “galileiano” o “inerziale” ai sistemi di riferimento nei quali un corpo libero si muove con velocita’ costante. Una volta identificato un sistema “galileiano” ( O’ ) ce ne sono infiniti altri: tutti quelli in moto relativo rettilineo e uniforme rispetto ad O’. Due osservatori studiano il moto dello stesso punto P da due riferimenti Galileiani ( O e O’). Le origini sono scelte arbitrariamente, essi si muovono l’uno rispetto all’altro con velocità’ W = costante in valore e verso. Sia P “libero”, non soggetto a forze. La sua velocità e’ diversa in O e O’ Ma essa e’ costante in entrambi. O’ O P (X,t) V W X’ X X’(t) = X(t)+ O’O(t) = X(t) + Wt Y’= Y Z’= Z t’ = t N.B. la trasformazione del tempo e’ indipendente da quella di X V’= dX’/dt = dX /dt+ d(OO’)/dt = = V +W = cost In presenza di una forza P accelera a = dV/dt a’ = dV’/dt = dV/dt + dW/dt = a + dW/dt = a perche’ W= cost 29/4/2010

11 La legge fondamentale di Galilei diventa la legge d’inerzia di Newton:
Newton (1666) osserva che l’accelerazione in presenza di una data forza dipende dalla quantita’ di materia M posseduta dal corpo e che la variabile importante non e’ V ma P = MV quantita’ di moto In assenza di forze la quantita’ di moto di un corpo libero e’ costante (nel senso che non cambia nel tempo) in tutti i riferimenti “galileiani”. La legge fondamentale di Galilei diventa la legge d’inerzia di Newton: La legge P = cost e’ invariante per trasformazioni di coordinate tra riferimenti “galileiani” P = cost P’ = cost’ Questa proprieta’ (l’esistenza di una costante del moto) e’ la conseguenza di una “simmetria” della natura , che si traduce nell’arbitrarietà’ nella scelta dell’origine del sistema di riferimento dello spazio e del tempo. Una conseguenza e’ che anche l’equazione del moto in presenza di una forza e’ invariante per trasformazioni “galileiane” dP/dt = dP’/dt 29/4/2010 29/4/2010

12 (“un monumento del pensiero umano” A.Einstein)
Qualunque sia il riferim. scelto, una rotazione di 60 gradi (o multipla) di un cristallo di neve e’ inavvertita, “non osservabile”. La descrizione matematica F(phi,r) del cristallo deve essere invariante per variazioni di phi di passo 60°. La rotazione di 60 e’ una operazione di simmetria che lascia F(phi.r) invariante. Ad ogni grandezza fisica conservata e’ associata una simmetria legata ad una variabile il cui valore assoluto e’ inconoscibile La legge del moto e’ invariante per cambiamenti dell’origine di quella variabile Emma Noether (Emmy) fissa nel 1905 la relazione tra Invarianza, Simmetrie e Costanti del Moto. E’ un teorema celebre. Ad ogni costante del moto e’ associata una simmetria locale continua (differenziabile) che lascia la Lagrangiana (e quindi le equazioni del moto) invarianti (“un monumento del pensiero umano” A.Einstein) 29/4/2010

13 In un riferimento “galileiano”, P di un sistema isolato rimane costante
Viceversa se in un dato riferimento la P di un sistema isolato rimane costante il riferimento e’ un riferimento “gallileiano”. 1 Una Forza produce variazioni di P In un riferimento “galileiano” la variazione istantanea di P e’ una misura dell’intensità’ della Forza : F = dP/dt = d (MV)/dt = MA se M rimane costante 2 P e’ una quantita’ additiva (in senso vettoriale). In presenza di due corpi si puo’ considerare come “sistema” l’insieme dei due. Se l’insieme e’ isolato P = P1 + p2 = costante. Se tra i due agisce una forza : dP/dt = dP1/dt + dP2/dt = F21 + F12 = 0 (legge di azione e reazione) 3 Assumendo che per le osservazioni astronomiche la terra possa esser considerata un riferimento “galileiano”, e che le tre leggi abbiano valore universale, Newton conclude che il moto dei pianeti intorno al sole e’ dovuto ad una forza F = G MsMp/r2 Se e’ cosi’ non ha alternative : la forza che fa cadere la mela m e’ F= G’ MtMm/rt2 con G’ = G !!!!! 29/4/2010

14 Le leggi di Newton dicono quale e’ l’effetto di una forza, ma
F = G MsMp/r2 e’ la prima descrizione matematica di una forza. L’espressione dice molte cose per es. - L’ intensita’ di F dipende dalla massa - Essa agisce a distanza ( e non per contatto) - Essa e’ conservativa ( vedi piu’ avanti) etc…… In particolare la 2° legge F = G’ MtMm/rt2 =Mm A dice che sulla superficie terrestre A = G’Mt = 9,81 m/sec 2 e’ indipendente da Mm Ma : La massa che compare nella legge di gravitazione e’ la stessa che compare nella legge d’inerzia P = MV = costante ? Il principio di Azione/Reazione dice che la forza esercitata dal sole sul pianeta e’ la stessa esercitata dal pianeta sul Sole allo stesso istante. L’effetto gravitazionale si propaga con V infinita La gravita’ e’ intrinseca alla massa? Newton risponde che cio’ che dice e’ che due masse si attraggono con quella forza “la massa non so cosa sia” Sta 29/4/2010

15 legate ad una invarianza delle equazioni del moto rispetto ad un
Secondo E.Noether le grandezze fisiche che si conservano in natura sono legate ad una invarianza delle equazioni del moto rispetto ad un cambiamento “locale” di una variabile cioe’ ad una simmetria locale della natura . Questa invarianza si manifesta nella impossibilita’ di conoscere il valore assoluto della variabile stessa. Il valore assoluto di posizione, orientamento e tempo e’ inconoscibile. E’ facile dimostrare che l’inconoscibilita’: di posizione assoluta > Conservazione della quantita’ di moto P in un sistema isolato di orientamento assoluto >conservazione momento angolare M in s.i. del tempo assoluto > Conservazione dell’energia E in sist. Isolato. N.B. 0) [PX] =[θ M] =[Et] = “azione” = [L2,m1,t-1] N.B.1) La conservazione di P,M e E e’ un fatto sperimentale. La “teoria” interpreta questa conservazione come dovuta ad una particolare “simmetria” dellospazio/tempo O’ O P (X,t) V W X’ X’= X + O’O = X + Wt N.B. 2) Questa e’ una trasformazione “globale” . Il valore di X e’ cambiato allo stesso istante della stessa quantita’ in tutti i punti dello spazio E.Noether dice qualcosa di piu’ “profondo”:parla di invarianza per Trasformazioni locali ! In una trasformazione “locale” OO’ potrebbe essere diverso per ogni X e per ogni T. (equivalente a fare una trasformazione “globale” usando un metro con passo non costante) 29/4/2010

16 Tra il 1887 e il 1901 si scoprono due cose importanti
Michelson e Morley la velocita’ della luce e’ indipendente dal Sistema di riferimento V’(luce) = V (luce) e non V(luce) + W 1901 Planck Atomo assorbe ed emette energia in quantita’ finite E=h n h ha un valore molto piccolo h ~ J sec [E/n] = [Et]=[px] =h = [azione] in unita’ naturali h=1 [E] =[1/t] [p]=[1/x] Conseguenze Einstein la relativita’ ristretta e la relativita’ generale (prima verifica Eddington 1919) 1927 Heisenberg il principio di indeterminazione: conseguenza di Planck. La grandezza che e’ chiamata “azione” e’ quantizzata. Le sue piu’ piccole variazioni non possono essere minori di h. Non e’ possibile conoscere con precisione arbitraria i valori di P e della posizione allo stesso istante , e di E e t nella stessa posizione. Il prodotto delle incertezze e’ sempre maggiore di h di Planck. dE dt > h dPx dX > h dPy dY>h dPz dZ > h Il valore di E all’istante t e’ inconoscibile. In un intervallo dt essa non e’ conoscibile meglio di dE = h/dt

17 Da dA = rXr’ = rXr + r X dr = r r dθ K
dA/dt = r2 d θ/dt = r2 ω K (r=cost, K=cost) V = ω X r a = dV/dt= dω/dt X r + ω X dr/dt ω = cost a = ω X dr/dt = ω X V = ω X (ω X r) Diretta in verso opposto a r !a! = ω2 r = V2/r ω r V r’ K dr dθ Da da ω= v/r si ha dA/dt = r v K = rXv

18 2 Keplero dA/dt = cost se l’orbita e’ ~ circ. ω = cost
3 Keplero T2/s3 = cost = T2/r3 = k T = periodo s = semiasse maggiore ~ r (orbita circolare) ω = 2π/ T a = ω2 r = 4 π2 r / T2 ~ 4 π2/k r2 F = ma = m/(k r2) m = m terra Azione e reazione Fs = M/k’ r2 = m/k r2 = Ft M= M sole k’ = G/m k = G/M F = G Mm/r2 dA/dt = cost = r X v ~ r X (mV) = rXP Conservazione del momento della QdM 29/4/2010

19 Conservazione della quantità di moto
consideriamo due corpi che interagiscono tra loro: se moltiplichiamo ambo i membri per un intervallo dt ma sappiamo che: se prendiamo un intervallo finito si ottiene 29/4/2010

20 Conservazione della quantità di moto
raccogliendo da una parte i termini in t1 e dall'altra i termini in t2 avremo: che possiamo anche scrivere come poiché i tempi t1 e t2 sono arbitrari questa relazione si traduce in un principio del tutto generale: Principio di conservazione della quantità di moto: la quantità di moto di un sistema di due particelle soggette solamente alla loro mutua interazione rimane costante nel tempo 29/4/2010

21 Per (xyz) si sceglie una terna ordinata e levogira di versori,
Per “misurare” sono necessarie ‘UNITA’ DI MISURA” e Sistema di riferimento (xyzt). Per (xyz) si sceglie una terna ordinata e levogira di versori, Vale il teorema di Pitagora . L’ordine dei versori (i,j,k) indica il verso positivo delle rotazioni . Il verso positivo delle rotazioni (della misura degli angoli) e’ levogiro,“sinistrorso” Antiorario (medio,indice,pollice) della mano sinistra. Sperimentalmente Galilei verifica che il valore assoluto della velocita’ ( della Quantita’ di Moto per Newton) e’ sempre definito a meno di una costante e dunque il suo valore assoluto non e’ conoscibile. Cio’ che e’ misurabile, Conoscibile in modo “assoluto” sono le variazioni di QdM. ( e di Momento della QdM e dell’energia ) . I valori di queste variazioni sono gli stessi in tutti i sistemi di riferimento in moto relativo rettilineo e uniforme. Un sistema di riferimento in cui un corpo “libero”, non soggetto a forze, mantiene Costante la propria QdM si chiama “Galileiano” o “inerziale”. Tutti sistemi “galileiani” sono equivalenti. In particolare se un sistema e’ Galileiano tutti i riferimenti in moto relativo rettilineo uniforme rispetto ad esso Sono “galileiani”. Le variazioni della QdM sono le stesse in tutti i sistemi Galileiani o Inerziali. 29/4/2010

22 La fondamentale legge di inerzia Q =costante
E’ invariante per trasformazioni di coordinate tra sistemi galileiani : Se in O (X,Y,Z,T) Q = cost In O’(X’,y’z’,t) Q’ = cost’ se O’ e O sono Galileiani L’invarianza della legge e’ legata alla “arbitrarieta” nella scelta dell’origine delle Coordinate. Una trasformazione “galileiana” e’ una operazione di simmetria che lascia Invarianti le leggi del moto. AD OGNI COSTANTE DEL MOTO E’ SEMPRE ASSOCIATA UNA VARIABILE IL CUI VALORE ASSOLUTO E’ INCONOSCIBILE. Il cui cambiamento costituisce una simmetria del sistema. Oggi si pensa che esista un legame stretto tra simmetrie, grandezze conservate, e forze. 29/4/2010

23 Conservazione della quantità di moto
il principio di conservazione della quantità di moto è uno dei principi fondamentali della Fisica la sua validità è generale, sussiste cioè qualunque sia il numero di particelle che si considerano, purché interagenti esclusivamente tra loro, costituenti quindi un sistema isolato non si conoscono violazioni a questo principio abbiamo dedotto la conservazione della quantità di moto dal principio di azione e reazione, ma è possibile fare il viceversa: i due principi sono uno conseguenza dell'altro

24 Moto rettilineo un punto materiale di massa m si muove lungo l'asse z sotto l'azione di una forza diretta lungo l'asse z con componente Fz per il secondo principio di Newton abbiamo: e quindi il problema consiste nel trovare la funzione z = z(t) tale che la derivata seconda rispetto al tempo ad ogni istante sia pari a Fz/m

25 Forza peso consideriamo il caso in cui la forza agente sia la forza peso mg e che il punto materiale si muova lungo l'asse z. Questo non è altro che un caso di moto rettilineo uniformemente accelerato, già visto in precedenza, la cui soluzione è: dove v0z z0 sono velocità e posizione all'istante t=0 se l'asse z è orientato verso l'alto ovviamente l'equazione cambia il segno di v0z riflette il verso rispetto l'asse z 29/4/2010

26 Nella discesa ½ v0z2 = g zmax mentre nella salita g z max = ½ v0z2
lungo z NON si conserva la quantita’ di moto mg =dPz/dt =maz az=-g Vz(t) = V0z – gt Z(t) = V0z t – 1/2gt2 + Z0 Sia Z0 = 0 V(t) = 0 per t = V0z/g Zmax= V0z2/(2g) Per t = V0z/g Z=0 per t = 2 V0z/g X Z P (x,y) θ Lungo X si conserva la quantita’ di moto Mv0x = cost Vx = V0x X(t) = Vox t X(V0z/g) = V0x Voz/g X(2V0z/g)= 2v0xV0z/g = 2V0 cos(θ) V0sin(θ)/g =V02 sin (2 θ) sin(a) x cos(a)=1/2 sin(2a) X max per a = 45o Nella discesa vz(t) = gt t discesa = v0z/g Vz finale = v0z v x fin= v0x Nella discesa ½ v0z2 = g zmax mentre nella salita g z max = ½ v0z2 29/4/2010

27 Moto su piano orizzontale liscio
un corpo lanciato su di una superficie orizzontale, a parità di velocità iniziale, percorre spazi maggiori se la superficie viene levigata con maggiore cura idealmente, se la superficie è perfettamente liscia il corpo, se non incontra altri impedimenti, non si ferma questa è chiaramente una situazione ideale non realizzabile praticamente su un piano orizzontale liscio un corpo si muove con velocità costante (a=0), per il secondo principio di Newton: sul corpo agiscono la forza peso mg e la reazione vincolare R (derivante dal principio di azione e reazione), perciò F = mg + R = 0 se sta fermo 29/4/2010

28 Moto su piano orizzontale liscio
quindi avremo: si ricava: la reazione che un vincolo privo di attrito può sviluppare in un punto è perpendicolare (in quel punto) alla superficie che costituisce il vincolo Un vincolo si dice liscio se e’ capace solo di reazioni normali (perpendicolari alla tangente locale alla superficie vincolare) 29/4/2010

29 Moto su piano inclinato liscio
consideriamo un corpo di massa m posto su di un piano liscio inclinato rispetto alla orizzontale di un angolo : le uniche forze agenti sono: la forza peso mg la reazione vincolare R possiamo prendere un sistema di riferimento il cui asse x è parallelo al piano inclinato e l'asse z ortogonale a esso e diretto verso l'alto Lungo Z non c’e’ moto Fztot=0 Lungo z, Qz =cost C’e’ moto lungo x Fxtot = max = dQx/dt Mg cos b ma cos b = sin ( P/2 – b) 29/4/2010

30 Moto su piano inclinato liscio
in questo sistema di riferimento si osserva che: il moto avviene lungo l'asse x la componente z della accelerazione è nulla la componente x della accelerazione è g sin(α) la risultante delle forze risulta essere: un piano inclinato liscio esercita su di un corpo che scivola sopra di esso una reazione perpendicolare al piano stesso e di intensità uguale alla componente perpendicolare della forza peso 29/4/2010

31 Piano inclinato supponiamo che all'istante t=0 il corpo parta con velocità nulla dalla sommità del piano inclinato: all'istante t avremo: V(t) = g sin(α) t S(t) = ½ g sin(α) t2 Si ha V2(t) = 2 s(t) g sin(α) Quando tocca il suolo s=l l sin(α) = h V2(t)=2 h g La velocita’ finale e’ indipendente da l , dipende solo da h . Come nel caso del Corpo lanciato verso l’alto. la velocità acquistata da un corpo scendendo lungo un piano inclinato liscio è in modulo uguale a quella che il corpo acquista cadendo lungo la verticale per un dislivello uguale all'altezza del piano inclinato questo enunciato può essere generalizzato per qualunque superficie liscia non piana con la quale il corpo mantiene costantemente il contatto 29/4/2010

32 Forza d'attrito R + mg + f = 0 Rz= N = mg + f Rx = Fs = T
forze d'attrito: quando un corpo viene a contatto con un altro corpo nascono delle forze che si oppongono a qualsiasi movimento di scorrimento relativo una superficie che presenta attrito viene detta scabra consideriamo il caso di un corpo di massa m in quiete sopra un piano scabro e soggetto ad una forza F verticale R + mg + f = 0 R è verticale, diretta verso l'alto e ha modulo pari alla somma dei moduli di mg e F applichiamo una forza T parallela alla superficie di appoggio; se la forza è abbastanza piccola il corpo rimane in quiete R + mg + f + T = 0 la reazione R non è più verticale, ma sarà: Rz= N = mg + f Rx = Fs = T 29/4/2010

33 Attrito statico Fsmax = ms Rz
aumentando l'intensità della forza T il corpo rimane in quiete fino a che non raggiunge il valore limite Tmax oltre il quale il corpo si mette in moto: la superficie scabra può esercitare una forza d'attrito statico di intensità massima Fsmax = Tmax aumentando F aumenta anche Tmax F + mg= Rz determina una pressione sulla superficie di appoggio. A parita’di superficie Tmax aumenta con Rz Fsmax è proporzionale alla componente normale della forza risultante (Rz) Fsmax = ms Rz μs è un coefficiente numerico chiamato coefficiente di massimo attrito statico 29/4/2010

34 Attrito statico valgono le seguenti leggi empiriche:
la massima forza di attrito statico tra due superfici ha un'intensità proporzionale all'intensità della forza normale tra le due superfici il coefficiente s di proporzionalità dipende dalla natura e dallo stato di levigatezza delle superfici entro larghi limiti, è indipendente dall'area di contatto tra le due superfici 29/4/2010

35 Attrito statico Una cassa viene appoggiata con velocità nulla sopra un piano inclinato di  = /4 rad rispetto all'orizzontale; il coefficiente di massimo attrito statico tra la cassa e il piano è s = 0.4. Si mostri che la cassa scende verso il basso scivolando lungo il piano inclinato consideriamo un sistema di riferimento con l'asse x parallelo al piano inclinato e l'asse y perpendicolare ad esso sulla cassa agiscono le forze mg e la reazione vincolare N Lungo y R = - mg cos α + N = 0 = dQy/dt l'accelerazione lungo l'asse y è nulla Lungo X agiscono mg sin α e l’attrito il cui max e’ - μ N = - μ mg cos α la cassa scivola se mg sin > Fsmax mgsinα > μ mg cos α 29/4/2010

36 Attrito dinamico Nel caso del problema precedente, si calcoli il modulo della velocità che la cassa raggiunge dopo aver percorso un tratto l = 0.5 m sopra il piano inclinato se il relativo coefficiente di attrito dinamico è D = 0.3 la forza risultante agente sulla cassa ha componente y nulla, mentre la componente x è data da con l'accelerazione risulta essere: la velocità scalare richiesta è allora: Fx = mg sin α = Fd Fd = μ mg cos α 29/4/2010

37 Attrito dinamico F = T - Fsmax a = T/m - msg
consideriamo un corpo di massa m su di un piano scabro con coefficiente di massimo attrito statico relativo s applichiamo una forza T di modulo maggiore di Fsmax, la forza totale risultante è: F = T - Fsmax l'accelerazione risultante è: a = T/m - msg sperimentalmente si trova che il moto è uniformemente accelerato, ma con accelerazione maggiore di a 29/4/2010

38 Attrito dinamico la forza agente tra superficie e corpo è inferiore a Fsmax, comunque di intensità costante se a è il modulo della accelerazione del corpo scriviamo: dove μD < μS è un coefficiente numerico chiamato coefficiente di attrito dinamico a = T/m - μd g 29/4/2010

39 Attrito dinamico la forza di attrito dinamico tra due superfici ha
la stessa direzione ma verso opposto della velocità relativa delle due superfici intensità proporzionale all'intensità della forza normale tra le due superfici il coefficiente D di proporzionalità dipende dalla natura e dallo stato di levigatezza delle superfici, entro larghi limiti, è indipendente dall'area di contatto tra le due superfici 29/4/2010