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A.S.E.5.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 5 Sistema numericoSistema numerico Base 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 16Base 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12,

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1 A.S.E.5.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 5 Sistema numericoSistema numerico Base 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 16Base 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 16 Aritmetica binariaAritmetica binaria Conversione da base N a base 10Conversione da base N a base 10 Conversione da base 10 a base NConversione da base 10 a base N Rappresentazione di numeri con segnoRappresentazione di numeri con segno

2 A.S.E.5.2 Sistema Decimale Il sistema decimale è comunemente utilizzato nella nostra vita quotidianaIl sistema decimale è comunemente utilizzato nella nostra vita quotidiana Tipico numero decimaleTipico numero decimale Esso significaEsso significa Ciascun simbolo di questo numero rappresenta una quantità intera (8, 7, 2, 6,4)Ciascun simbolo di questo numero rappresenta una quantità intera (8, 7, 2, 6,4)

3 A.S.E.5.3 Notazione Posizionale Per rappresentare una quantità maggiore di quella associata a ciascun simbolo ( cifra, digit) si usano più digit per formare un numeroPer rappresentare una quantità maggiore di quella associata a ciascun simbolo ( cifra, digit) si usano più digit per formare un numero La posizione relativa di ciascun digit allinterno del numero è associata ad un pesoLa posizione relativa di ciascun digit allinterno del numero è associata ad un peso N = 587 = 5x10 2 + 8x10 1 + 7x10 0N = 587 = 5x10 2 + 8x10 1 + 7x10 0 Notazione posizionaleNotazione posizionale Rappresenta il polinomioRappresenta il polinomio

4 A.S.E.5.4 Sistema numerico non posizionale I numeri romani non danno luogo a un sistema numerico posizionaleI numeri romani non danno luogo a un sistema numerico posizionale Lo stesso simbolo in posizioni diverse assume valori diversi, ma non pesi diversi in funzione della baseLo stesso simbolo in posizioni diverse assume valori diversi, ma non pesi diversi in funzione della base EsempioEsempio –I; II; IV

5 A.S.E.5.5 Sistema Numerico Base (radice)Base (radice) Numero di simboli diversi di un sistema numericoNumero di simboli diversi di un sistema numerico Digit (Cifra)Digit (Cifra) ciascun simbolo = DIGIT denota una quantitàciascun simbolo = DIGIT denota una quantità BaseSistemaDigit 2binario 0, 1 3ternario 0, 1, 2 4quaternario 0, 1, 2, 3 5quinario 0, 1, 2, 3, 4 8ottale 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 10decimale 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 12duodecimale 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B 16esadecimale 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

6 A.S.E.5.6 Rappresentazione completa Se si usano basi diverse, lo stesso numero rappresenta quantità diverse in funzione della base usataSe si usano basi diverse, lo stesso numero rappresenta quantità diverse in funzione della base usata Si deve quindi indicare la base utilizzataSi deve quindi indicare la base utilizzata EsempiEsempi –binary digit = bit (letterale pezzettino)

7 A.S.E.5.7 DecimaleBinarioTernarioOttaleEsadecimale 00000 11111 210222 3111033 41001144 51011255 61102066 71112177 8100022108 91001100119 10101010112A 11101110213B 12110011014C 13110111115D 14111011216E 15111112017F 16100001212010 Tabella

8 A.S.E.5.8 Operazioni aritmetiche di base Le quattro operazioni aritmetiche di base sono:Le quattro operazioni aritmetiche di base sono: –Addizione –Sottrazione –Moltiplicazione –Divisione Tali operazioni sono note in base decimaleTali operazioni sono note in base decimale Si possono eseguire con la stessa tecnica in qualunque baseSi possono eseguire con la stessa tecnica in qualunque base Si considera ora il sistema binario e quello ternarioSi considera ora il sistema binario e quello ternario –quello binario è di gran lunga il più importante

9 A.S.E.5.9 Addizione Addizione di due digitAddizione di due digit –Può essere espressa i modo tabellare Sistema binario Sistema ternarioSistema binario Sistema ternario b 01 a 001 11 0C=1 a+ba012 b0012 1120C=1 220C=11C=1 a+b

10 A.S.E.5.10 Addizione binaria 1 Somma di due bitSomma di due bit x + yx + y s = Sommas = Somma c = Carry (RIPORTO)c = Carry (RIPORTO) EsempioEsempio xysc 0000 0110 1010 1101 11111011001 1110101 11001110 carry 89 + 117 = 206 addendo somma

11 A.S.E.5.11 Addizione binaria 2 In caso di numeri frazionari si deve allineare il punto binarioIn caso di numeri frazionari si deve allineare il punto binario EsempioEsempio 1011.011+110.1011 =10010.0001 1111111 1011.011 110.1011 10010.0001 11.375 + 06.6875 = 18.0625

12 A.S.E.5.12 Addizione ternaria 1 Somma di due digitSomma di due digit x + yx + y d = Sommad = Somma c = Carry (RIPORTO)c = Carry (RIPORTO) EsempioEsempioxysc0000 0110 0220 1010 1120 1201 2020 2101 2211 11112021201 1221121 11020022 carry 1666 + 1420 = 3086 addendo somma

13 A.S.E.5.13 Addizione ternaria 2 In caso di numeri frazionari si deve allineare il punto ternarioIn caso di numeri frazionari si deve allineare il punto ternario EsempioEsempio 2012.012+120.1022 =2202.1212 11 2012.012 120.1022 2202.1212 59.1851 + 15.4320 = 74.6171

14 A.S.E.5.14 Sottrazione Sottrazione di due digitSottrazione di due digit –Può essere espressa i modo tabellare Sistema binario Sistema ternarioSistema binario Sistema ternario b 01 a 00 1B=1 110 a-bb012 a002B=11B=1 1102B=1 2210 a-b

15 A.S.E.5.15 Sottrazione binaria 1 Sottrazione di due bitSottrazione di due bit x - yx - y D = DifferenzaD = Differenza B = Borrow (PRESTITO)B = Borrow (PRESTITO) EsempioEsempio xyDB 0000 0111 1010 1100 111111001110 1110101 1011001 Borrow 206 - 117 = 89 minuendo sottraendo differenza

16 A.S.E.5.16 Sottrazione binaria 2 In caso di numeri frazionari si deve allineare il punto binarioIn caso di numeri frazionari si deve allineare il punto binario EsempioEsempio 10010.0001- 1011.011 =110.1011 1111111 10010.0001 1011.0110 110.1011 18.0625 - 11.375 = 06.6875

17 A.S.E.5.17 Sottrazione ternaria 1 Sottrazione di due digitSottrazione di due digit x - yx - y D = DifferenzaD = Differenza B = Borrow (PRESTITO)B = Borrow (PRESTITO) EsempioEsempioxyDB0000 0121 0211 1010 1100 1221 2020 2110 2200 1111111020022 1221121 2021201 3086 - 1420 = 1666 Borrow minuendo sottraendo differenza

18 A.S.E.5.18 Sottrazione ternaria 2 In caso di numeri frazionari si deve allineare il punto ternarioIn caso di numeri frazionari si deve allineare il punto ternario EsempioEsempio 2012.012 - 120.1022 = 2202.1212 2012.012 - 120.1022 = 2202.1212 11 2202.1212 2012.012 120.1022 74.6171 - 59.1851 = 15.4320

19 A.S.E.5.19 Moltiplicazione Moltiplicazione di due digitMoltiplicazione di due digit –Può essere espressa i modo tabellare Sistema binario Sistema ternarioSistema binario Sistema ternario b 01 a 000 101 a x b b012 a0000 1012 2021C=1

20 A.S.E.5.20 Moltiplicazione binaria Prodotto di due bitProdotto di due bit X x YX x Y P = ProdottoP = Prodotto EsempioEsempio xyP 000 010 100 111 10.11101 10.11 000.0 1011 1101.11 2.75 + 5 = 13.75 moltiplicando moltiplicatore prodotto Prodotti parziali

21 A.S.E.5.21 Moltiplicazione ternaria Prodotto di due digitProdotto di due digit X x YX x Y P = ProdottoP = Prodotto C = CarryC = Carry EsempioEsempio xyPC 0000 0100 0200 1000 1110 1220 2000 2120 2211 2102102 11211 0000 2102 222111 65 + 11 = 715 moltiplicando moltiplicatore prodotto Prodotti parziali

22 A.S.E.5.22 Divisione binaria Operazione divisione si effettua con moltiplicazioni e sottrazioni multipleOperazione divisione si effettua con moltiplicazioni e sottrazioni multiple Esempio binarioEsempio binario divisore dividendo quoziente resto10100.111-11110.1 100 -11 010 -00 101 -11 10

23 A.S.E.5.23 Divisione Ternaria EsempioEsempio divisore dividendo quoziente resto2010122102 11 00 110 101 2

24 A.S.E.5.24 Conversione di base Un numero è un simbolo che rappresenta una quantitàUn numero è un simbolo che rappresenta una quantità Una quantità che può essere espressa in una base, può essere espressa in qualunque altra baseUna quantità che può essere espressa in una base, può essere espressa in qualunque altra base Un intero espresso in base b1 è un intero anche in base b2Un intero espresso in base b1 è un intero anche in base b2 Un numero frazionario espresso in base b1 è un numero frazionario anche in base b2Un numero frazionario espresso in base b1 è un numero frazionario anche in base b2 Esistono due tecniche di conversione da una base ad unaltraEsistono due tecniche di conversione da una base ad unaltra –Metodo polinomiale –Metodo iterativo

25 A.S.E.5.25 Metodo polinomiale Il numero N espresso in base b1 ha la forma:Il numero N espresso in base b1 ha la forma: In base b1 si ha:In base b1 si ha: In base b2 il numero N risulta:In base b2 il numero N risulta: Secondo questultima equazione è possibile coverireSecondo questultima equazione è possibile coverire

26 A.S.E.5.26 Esempio 1 Convertire 1101 in base 2 nellequivalente in base 10Convertire 1101 in base 2 nellequivalente in base 10

27 A.S.E.5.27 Esempio 2 Convertire il numero binario 101.011 nellequivalente in base 10Convertire il numero binario 101.011 nellequivalente in base 10 Convertire il numero ternario 201.1 nellequivalente in base 10Convertire il numero ternario 201.1 nellequivalente in base 10

28 A.S.E.5.28 Esempio 3 Convertire il numero esadecimale D3F nellequivalente in base 10Convertire il numero esadecimale D3F nellequivalente in base 10 OSSERVAZIONEOSSERVAZIONE Il metodo polinomiale è conveniente per la conversione da base b a base 10Il metodo polinomiale è conveniente per la conversione da base b a base 10

29 A.S.E.5.29 Metodo iterativo Tecnica delle divisioni successiveTecnica delle divisioni successive –Perché dividendo un numero per la sua base, il resto è lultimo digit

30 A.S.E.5.30 Esempio 1 Convertire il numero 52 in base 10 nellequivalente in base 2Convertire il numero 52 in base 10 nellequivalente in base 2 QuindiQuindi5220262 0132 16 2 03 2 11

31 A.S.E.5.31 Esempio 2 Convertire il numero 58506 in base 10 nellequivalente in base 16Convertire il numero 58506 in base 10 nellequivalente in base 16 QuindiQuindi585061610365616 (A) (A) 822816 (8) (8)4 14 (4) (E) (E)

32 A.S.E.5.32 Esempio 3 Convertire il numero 58506 in base 10 nellequivalente in base 8Convertire il numero 58506 in base 10 nellequivalente in base 8 QuindiQuindi585068273138 19148 2114 8 2148 61

33 A.S.E.5.33 Osservazione Il metodo iterativo è particolarmente conveniente per la conversione da base 10 a base bIl metodo iterativo è particolarmente conveniente per la conversione da base 10 a base b

34 A.S.E.5.34 Numeri frazionari 1 Conversione da base b a base 10Conversione da base b a base 10 Non presenta problemiNon presenta problemi EsempioEsempio Convertire il numero binario 1101.101Convertire il numero binario 1101.101

35 A.S.E.5.35 Numeri frazionari 2 Conversione da base 10 a base bConversione da base 10 a base b La parte intera procedimento prima vistoLa parte intera procedimento prima visto Per la parte frazionaria in base b si haPer la parte frazionaria in base b si ha Moltiplicando per la base si haMoltiplicando per la base si ha La conversione può non avere fine, si arresta una volta raggiunta la precisione desiderataLa conversione può non avere fine, si arresta una volta raggiunta la precisione desiderata

36 A.S.E.5.36 Esempio Conversione da base 16 a base 10Conversione da base 16 a base 10

37 A.S.E.5.37 ERRORE Avendo arrestato la conversione al quarto passaggio si commette un certo erroreAvendo arrestato la conversione al quarto passaggio si commette un certo errore Lentità dellerrore si può valutare converetedo il risultato in base dieciLentità dellerrore si può valutare converetedo il risultato in base dieci

38 A.S.E.5.38 Binario => Ottale Dato un numero binarioDato un numero binario FattorizzandoFattorizzando

39 A.S.E.5.39 Metodo Basta raggruppare i digit del numero binario (bit) tre a tre e convertire ciascun gruppo nel corrispondente digit ottaleBasta raggruppare i digit del numero binario (bit) tre a tre e convertire ciascun gruppo nel corrispondente digit ottale EsempioEsempio NotaSono stati aggiunti degli zeri in testa e in coda affinché si avessero due gruppi di digit multipli di treNotaSono stati aggiunti degli zeri in testa e in coda affinché si avessero due gruppi di digit multipli di tre

40 A.S.E.5.40 Binario => Esadecimale Stesso procedimento del caso precedente, però ora si raggruppano i bit quattro a quattroStesso procedimento del caso precedente, però ora si raggruppano i bit quattro a quattro EsempioEsempio Per le conversioni ottale => binario e esadecimale => binario si opera in modo simile convertendo ciascun digit nel corrispondente numero binarioPer le conversioni ottale => binario e esadecimale => binario si opera in modo simile convertendo ciascun digit nel corrispondente numero binario

41 A.S.E.5.41 Ottale => Esadecimale (Esadecimale => Ottale)Aritmetica binaria 3 Conversione intermedia in binarioConversione intermedia in binario EsempioEsempio –Ottale => Esadecimale –Esadecimale => Ottale

42 A.S.E.5.42 Numeri binari con segno Il numero massimo di bit usato da un calcolatore è noto e fissoIl numero massimo di bit usato da un calcolatore è noto e fisso Solitamente è : 4 o 8 o 16 o 32 (Word)Solitamente è : 4 o 8 o 16 o 32 (Word) 8 bit formano un Byte8 bit formano un Byte Non esiste un apposito simbolo per il segnoNon esiste un apposito simbolo per il segno Si usa il bit più significativo per indicare il segnoSi usa il bit più significativo per indicare il segno 0 = +0 = + 1 = -1 = - Si hanno varie tecniche di codificaSi hanno varie tecniche di codifica Modulo e segnoModulo e segno Complemento a 1Complemento a 1 Complemento a 2Complemento a 2 In traslazione ( cambia la codifica del segno)In traslazione ( cambia la codifica del segno)

43 A.S.E.5.43 Modulo Il modulo di un numero è il valore assoluto del numero stessoIl modulo di un numero è il valore assoluto del numero stesso –si indica con due barre verticali Risulta:Risulta: EsempioEsempio Graficamente si ha:Graficamente si ha: x |x| 3 3 -3

44 A.S.E.5.44 Modulo M X modulo M è il resto della divisione di X diviso M; si indica con due barre verticali e pedice MX modulo M è il resto della divisione di X diviso M; si indica con due barre verticali e pedice M R è detto anche residuo e risultaR è detto anche residuo e risulta EsempioEsempio Intero di X diviso M

45 A.S.E.5.45 Conclusioni Sistema numericoSistema numerico Base 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 16Base 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 16 Aritmetica binariaAritmetica binaria Conversione da base N a base 10Conversione da base N a base 10 Conversione da base 10 a base NConversione da base 10 a base N Modulo e Modulo MModulo e Modulo M


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