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Le Equazioni per lo Studio della Dinamica Mediante le equazioni per lo studio della dinamica delle Macchine Elettriche si cerca di predire il comportamento.

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1 Le Equazioni per lo Studio della Dinamica Mediante le equazioni per lo studio della dinamica delle Macchine Elettriche si cerca di predire il comportamento elettromeccanico delle macchine al variare di alcune grandezze di influenza. In particolare, mediante queste equazioni è possibile studiarne lavviamento, la fermata ed il modo con cui la macchina si porta da un punto di lavoro allaltro. Se si desidera controllare (comandare) la dinamica, i modelli qui presentati vengono inseriti in opportuni sistemi di controllo (Azionamenti Elettrici=Macchine+Convertitore+Controllo). Diversi sono gli approcci possibili: Risoluzione delle equazioni differenziali nel dominio del tempo, Approccio Input/Output mediante lo studio delle Funzioni di Trasferimento, Modellizzazione con le Equazioni di Stato.

2 La risoluzione delle equazioni di tempo è il primo metodo impiegato per la previsione della dinamica. E stato abbandonato perché troppo complicato e non si presta allimpiego nei controlli automatizzati. La Funzione di Trasferimento viene definita attraverso la trasformata della risposta impulsiva o dal rapporto tra le trasformate delluscita e dellingresso considerati. Bisogna selezionare una determinata uscita in ragione di un ingresso, quando le altre grandezze restano costanti. Lipotesi di linearità è alla base del metodo. Si ricorda che la forma canonica delle equazioni di stato è: Le equazioni di stato si determinano facilmente tenendo conto delle variabili soggette a derivazione, in condizioni quindi di descrivere lo stato della macchina. Sono state sviluppate per tenere conto di più ingressi e più uscite, simultaneamente. (Teoria=>Controlli;Applicazioni=Azionamenti Elettrici

3 Soluzione della Dinamica nel Dominio del Tempo Consideriamo un circuito con resistenza e coeff. di autoinduzione: La tensione di alimentazione v(t) è sinusoidale (f=50 Hz). Si chiude linterruttore allistante t=t 0 che definisce linizio del transitorio che vogliamo determinare; con La corrente i(t) che percorre il circuito è definita dalla equazione ~ L R t0t0 i(t)i(t) v(t)v(t)

4 Lomogenea associata a questa equazione differenziale è data da ed ha come soluzione Lintegrale generale è quindi dato da i(t)=i 0 (t)+i p dove i p è un integrale particolare la cui forma è del tipo dove A e B sono delle costanti. Ora e la derivata di i p vale sostituendo:

5 eguagliando i coefficienti dei termini simili si ottengono le due equazioni che permettono di determinare i due coeff. incogniti. Lintegrale particolare che soddisfa lequazione diff. risulta quindi

6 Semplificando dove è stato posto sapendo che Lintegrale particolare cercato assume quindi la forma Gli elementi R ed X= L sono i componenti dellimpedenza: ed in modulo:

7 In definitiva possiamo scrivere Lintegrale generale dellequazione, dato da risulta La costante C si determina dalle condizioni iniziali. Per t=0 => i(0)=0. Si ha La soluzione generale dellequazione generale è quindi ;

8 Landamento della i nel tempo (a partire dallistante t = 0 in cui si chiude linterruttore M) è indicato nel grafico seguente, in cui si è posto: I p : valore massimo della corrente I r : valore di cresta della corrente a regime; IpIp t i IrIr i(t)i(t) corrente unidirezionale La corrente a regime si determina per t=>

9 La corrente a regime è sfasata in ritardo rispetto alla tensione dellangolo ed ha (comè ovvio) un valore efficace ed un valore di cresta Se la resistenza R è trascurabile nei confronti della reattanza X= L (R<

10 Nel grafico seguente è riportato landamento della corrente per diversi valori dellangolo – ( arctan(- L/R) dipende dagli elementi circuitali e dalla pulsazione che possiamo ritenere costante dal momento che il sistema funzione a 50 Hz) 1 2 I p / I r IpIp IrIr = 90° = 60° = 30° = 0° t 0 i cc (t) Nelle ordinate del grafico precedente è anche riportato il rapporto fra valore di picco I p della corrente e valore di cresta della corrente di corto a regime I r. Il più alto valore di tale rapporto si ha per – =90°, cioè per =, dove si ha I p /I r = 2.

11 Equazioni Interne per la Dinamica di Motori in CC Il modello non è lineare per la presenza di moltiplicazioni tra parametri dipendenti dal tempo, in particolare la f.e.m. indotta e la coppia generata. Se voglio un sistema lineare, devo tenere fermo qualche parametro e modificare altri opportunamente. Eccitazione Separata

12 Strategie per il Controllo Se voglio un sistema lineare, devo tenere ferma la configurazione del sistema di eccitazione mentre variano le grandezze di armatura e viceversa. Con riferimento alle equazioni non lineari possiamo ottenere quattro configurazioni di controllo: 1)Eccitazione costante: si controlla la tensione di armatura; 2)Eccitazione costante: si controlla la corrente di armatura con tensione di armatura costante; 3)Variazione della sola tensione di eccitazione a tensione di armatura costante; 4)Variazione della corrente di eccitazione a tensione di armatura ed eccitazione costanti.

13 Esempio: Funzioni di Trasferimento Si vuole determinare la funzione di trasferimento per un motore ad eccitazione separata, in cui la variabile di ingresso è la tensione di armatura mentre quella di uscita è la velocità angolare. La coppia di carico è proporzionale alla velocità angolare, siamo in presenza di attriti (coeff. di attrito, F) e masse inerziali (momento di inerzia complessivo, J). Leccitazione è mantenuta costante. Se il regime elettrico del circuito di eccitazione è mantenuto costante, il sistema di equazioni si particolarizza nel modo seguente:

14 Trasformando con Laplace W(s) deve contenere solo termini riferiti alla macchina, non deve contenere termini elettrici. Si devono ricavare equazioni contenenti solo pulsazioni e tensioni di armatura. Dalla equazione meccanica: La funzione di trasferimento si definisce come : Si considera anche il II° principio di Kirchoff applicato alla maglia di armatura

15 Trasformando con Laplace Per determinare la Funzione di Trasferimento, è necessario che si trovi una equazione con le sole variabili di ingresso e di uscita. Considerando di nuovo la eq. della meccanica e mettendo in evidenza la corrente I a (s): La inserisco nella equazione elettrica della maglia di ingresso

16 Tenendo conto della definizione di F.d.T.: Si sviluppa per portarsi alla forma canonica: Ora, per evidenziare la struttura di questa F.d.T, si possono fare alcune ipotesi semplificative: F basso, come dovrebbe essere e K basso (caratteristica della coppia resistente con bassa pendenza). Ciò implica che R a J>>L a (K+F) K M K e >>R a (K+F)

17 I poli si calcolano facilmente Caso A Se è verificata la condizione L a < (1-X) 1/2 =1-X/2 i due poli del sistema possono essere espressi come: Polo elettromeccanico Polo elettrico Normalmente m > e

18 La F.d.T. può essere scritta come: E descritta con un diagramma di flusso Una diminuzione della velocità dovuta, ad esempio, allaumento del carico, porta, a parità di V a, ad un aumento della I a perché è diminuita la f.e.m. indotta K e (t), ed ad un aumento della coppia motrice che riequilibra il carico. V a (s) + I a (s) T m (s) (s) - T r (s) - + E(s)

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20 Esempio: Funzioni di Trasferimento Si vuole determinare la funzione di trasferimento per un motore ad eccitazione separata, in cui la variabile di ingresso è la tensione di armatura mentre quella di uscita è la coppia motrice. La coppia di carico è proporzionale alla velocità angolare, siamo in presenza di attriti (coeff. di attrito, F) e masse inerziali (momento di inerzia complessivo, J). Leccitazione è mantenuta costante. Trasformando con Laplace Dalle equazioni della dinamica consideriamo le:

21 Per la f.d.t. devo eliminare sia I a (s) che (s).

22 Tenendo conto della definizione di F.d.T. in forma canonica (rapporto di polinomi in s) V a (s) + I a (s) T m (s) (s) - T r (s) + + E(s)

23 Regolazione della Tensione di Eccitazione Questo controllo è più facile da realizzare da punti di vista degli amplificatori di potenza. Linconveniente sta nel mantenere costante la corrente di armatura. Applicando la trasformata di Laplace

24 La prima f.d.t. è caratterizzata da due poli reali di cui uno elettrico e laltro meccanico. TmTm VeVe Per quanto riguarda la caratteristica meccanica (Tm=f(n, V e )), si osserva che: Le caratteristiche coppia-velocità risultano parallele allasse orizzontale.

25 Esempio: Equazioni di Stato Si vuole determinare le equazioni di stato per un motore ad eccitazione separata, controllato con la tensione di armatura, avente coppia di carico proporzionale alla velocità angolare, presenza di attriti (coeff. di attrito, F) e masse inerziali (momento di inerzia complessivo, J).

26 Il sistema è diventato lineare. Posso applicare le trasformate di Laplace alle equazioni che descrivono il modello di macchina considerato: Le equazioni di stato si determinano facilmente tenendo conto che le variabili soggette a derivazione, in condizioni quindi di descrivere lo stato della macchina, sono la i a (t) e la (t). La variabile di ingresso è rappresentata dalla tensione di armatura v a (t) mentre quella di uscita è la velocità angolare.

27 Si mettono in evidenza le variabili di stato derivate Si rendono le equazioni in forma canonica E si passa dalle equazioni in forma normale alla forma matriciale. Con

28 Le equazioni di stato si ricavano facilmente dalla prima e dalla terza equazione del dominio s di Laplace (pag.precedente).

29 I coeff. M 12 ed M 21 sono definiti come induttanze di mutua induzione e tengono conto dei flussi generati da un circuito elettrico che si concatenano con un altro circuito elettrico mutuamente accoppiato. Linduttanza mutua è una quantità positiva se correnti positive nei due avvolgimenti producono flussi propri e mutui concordi, altrimenti è negativa. Nellipotesi di simmetria del circuito magnetico M 12 =M 21 =M Le fem indotte si calcolano di conseguenza. Trasformatori: Equazioni di Stato

30 La relazione tra correnti e flussi concatenati può essere così riassunta, in forma sistemica ed in forma matriciale: In forma matriciale Se si considera il II° Kirchoff applicato alle maglie di ingresso e di uscita, si ottiene:

31 Si applicano le trasformate di Laplace al sistema: Si consideri ora il vincolo esterno di carico ohmico/induttivo: Ed inserendo la relazione di uscita nel sistema: Trasformando con Laplace:

32 Passando alla rappresentazione matriciale Ora, per semplicità, si ponga Z c =R c =>L 2 *=L 2 Inoltre, si ipotizza che Con le posizioni R 2 *=(R 2 -R c ) ed L 2 *=(L 2 -L c ) si perviene alle equazioni di stato.

33 Per ottenere una equazione di stato in forma canonica è necessario invertire la matrice dei coefficienti al primo membro Dove Quindi

34 Se moltiplico H -1 per le altre due matrici delle equazioni di stato: Ora è possibile riunire le sezioni per ottenere le equazioni di stato in forma canonica

35 Se moltiplico H -1 per le altre due matrici delle equazioni di stato per lo studio della dinamica di un trasformatore monofase: Le equazioni di stato per i trasformatori trifasi si ricavano come estensione del caso monofase.

36 Motori Sincroni: Equazioni di Stato Da un punto di vista modellistico siamo di fronte ad un avvolgimento trifase, fisso nello spazio, attraversato da un sistema di correnti i2i2 i1i1 i3i3 N S m m i equilibrate, collegate a stella, che danno origine ad un campo magnetico rotante nello spazio, i. i=2/3(i 1 +ai 2 +a 2 i 3 ) con (i 1 +i 2 +i 3 )=0 Il rotore è sede di un campo statico che ruota solidale con esso. i Li m m Si considera solo la fondamentale (si trascurano le armoniche di ordine superiore). Ne segue che i vettori i, m e stanno in un piano e possono essere rappresentati da fasori spaziali. [ ] = L [ i ] + [ m ] lequazione elettrica è:

37 La coppia T m può anche essere rappresentata dal prodotto interno di due vettori a tre dimensioni: Trasformazione Trifase / Assi Fissi I vettori a tre componenti vengono riportati nel piano tramite una trasformazione di riferimento i i i 3 2 i 123 i trasf. 123 => [i] =[B][i];[ ] =[B][ ];[ m ] =[B][ m ]; [ ] = L [ i ] + [ m ]

38 Lequazione elettrica si trasforma immediatamente da 123 => Ed anche la equazione di coppia si trasforma immediatamente da 123 => considerando il legame tra un fasore e la sua derivata: i m Entrambi i vettori sono funzione dellangolo meccanico. Per renderla lineare serve rendere indipendente il flusso dallangolo e quindi dal tempo.

39 Trasformazione Assi Fissi / Assi Rotanti Si consideri un sistema di riferimento (d,q) che ruota rispetto al riferimento fisso con una velocità angolare d /dt, scelto in modo tale che per t=0 lasse d coincide con lasse. Per portarsi sugli assi rotanti (d, q) si possono individuare delle trasformazioni matriciali che operano direttamente sui vettori q d i i iqiq idid i Loperatore matriciale A( ) trasforma le coordinate dello stesso vettore da un sistema di riferimento (, ) fisso ad un altro (d, q) mobile con il rotore e viceversa.

40 Con la trasformazione assi fissi / assi rotanti ci portiamo su un riferimento fisso con il rotore. E necessario conoscere la posizione angolare del rotore stesso mediante misura o ricostruzione algoritmica. In queste condizioni, lasse d è allineato con il vettore spaziale del flusso mozionale m e si perde la sua dipendenza dal tempo. A( ) angolo i i dq q d iqiq m idid solo la componente in quadratura contribuisce alla generazione della coppia. Con questa trasformazione lespressione della coppia è linearizzata. trasf. => dq [i] dq =[A( )][i] ;[ ] dq =[A( )][[ ] ; [ m ] dq =[A( )][[ m ] ; [ ] dq = L [ i ] dq + [ m ] dq

41 Riassumendo, le equazioni interne di macchina, con riferimento agli assi rotanti dq, è Il modello è valido per macchine in linearità e con rotore liscio (isotropo). Per ottenere una sua rappresentazione di stato (tensioni come variabili di ingresso e correnti come variabili di stato) è necessario fare delle ulteriori considerazioni per minimizzare linfluenza di dq. La trasformazione => dq della equazione elettrica introduce un termine mozionale j (t) dq che tiene conto che il riferimento dq ruota con pulsazione (t).

42 Se si evidenziano le componenti d e q di dq : Avendo scelto di far coincidere lasse d con la direzione nord del flusso di rotore abbiamo che md = m e mq = 0 Analogamente, per la equazione elettrica q d dq j dq 2 Tenendo conto che i vettori dq e j dq sono ortogonali tra loro,

43 Sostituendo le espressioni di d e q nella equazione elettrica, ricordandoci che (d m / dt ) = 0, md = m, q =0 perché siamo sul riferimento fisso sul rotore Risolvendo rispetto alle derivate delle correnti, si ottiene lespressione delle equazioni di stato.

44 Che risulta lineare ed autonoma se (t) costante, altrimenti è una equazione di stato non lineare a coefficienti variabili nel tempo. Se attraverso una retroazione di corrente si riesce ad imporre che i d =0 ed i=i q allora lequazione di asse q diventa analoga a quella del motore in cc.

45 P.I. A t ( ) i* dq - v* dq i dq mod i j = 0 A( ) v* v* 123 i i 123 v 123 = [v] ; i 123 = [ i ] Esempio di una possibile soluzione per la realizzazione delle condizioni poste per ottenere la equazione di stato vista.

46 E di un algoritmo per eliminare la interazione tra gli assi d e q. m - 1 R + sL L L 1 R + sL - m vdvd vqvq iqiq idid i* d =0 i* q - Se così è, allora:

47 Riassumendo La macchina viene descritta da un sistema di equazioni non lineari. Per poterla controllare è necessario formulare delle ipotesi semplificative o delle ipotesi di lavoro che riducano la complessità del sistema. In base alle ipotesi formulate si realizzano diverse tipologie di azionamenti. In particolare, abbiamo visto come una particolare retroazione di corrente (i d, i q ) diventi un controllo di macchina. Sono necessarie delle trasformazioni di riferimento che richiedono la conoscenza della velocità o della posizione del rotore ed, almeno, otto moltiplicazioni. Altre soluzioni sono possibili e verranno descritte nella sezione azionamenti perché non riguardano il funzionamento proprio della macchina.

48 Legame correnti, flussi Equazione di statore Equazione di rotore Motori Asincroni Equazioni su Riferimento e Coppia motrice (K r è il coefficiente di accoppiamento rotorico. Equazioni Esterne per la Dinamica Alimentazione con terna di tensioni concatenate che possono essere variate a piacere [v]=f(t). Carico rappresentato da una coppia resistente, T r (t), che varia in funzione della applicazione T m (t)=T r (t)+F m (t)+Jd m (t)/dt

49 Equazione di statore Equazione di rotore Dalle Equazioni Interne alle Equazioni di Stato Equazione delle coppie Sono state ricavate le equazioni interne di macchina in regime di tempo considerando le variabili nei riferimenti bifasi: Legame correnti=> flussi sul riferimento e

50 Si considerino i flussi di rotore e statore come variabili di stato => Sia il determinante della matrice delle induttanze

51 Le equazioni di stato si ricavano facilmente Analogamente al caso del sincrono, nella matrice di stato rimangono coefficienti legati alla velocità angolare. Si possono ricavare altre matrici di stato considerando, a coppie, correnti e flussi.

52 Partendo dalle equazioni interne in regime dinamico, si esprimono i r e s in funzione di i s e r => Tenendo conto che la coppia è comunemente espressa come: Si ricavano le equazioni di stato con i s e r come variabili di stato. ponendo Si sostituiscono i r e s nelle equazioni elettriche

53 Nella seconda equazione elettrica

54 Devo rendere le equazioni omogenee per la trasformazione in equazioni di stato. Dalla seconda evidenzio la derivata del flusso e la sostituisco nella prima. Da cui si prosegue per le equazioni di stato

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56 ESEMPIO: Dati di un motore ad induzione di cui si vuole studiare la dinamica Vs=380; % Tensione concatenata di rete (valore efficace) f=50; % Frequenza di rete P=2; % Numero di coppie polari Rs=0.183; % Resistenza di statore in Ohm Rr=0.277*0.5; % Resistenza di rotore in Ohm Lm=0.0538; % Induttanza di magnetizzazione in H Ls=0.0553; % Induttanza di statore in H (Ls = Lls + Lm) Lr=0.056; % Induttanza di rotore in H (Lr = Llr + Lm) B=0; % Coefficiente di attrito Jm=0.0165*10; % Inerzia meccanica kg*m^2

57 Equazioni motore asse dq Equazioni elettriche: Vsd=Rs*Isd + d/dt(λsd) - ωe λsq Vsq=Rs*Isq + d/dt(λsq) + ωe λsd Vrd=Rr*Ird + d/dt(λrd) – (ωe- ωme) λrq Vrq=Rr*Irq + d/dt (λrq) + (ωe- ωme) λrd Equazioni di legame: λsd=Ls*Isd + Lm*Isd λsq=Ls*Isq + Lm*Irq λrd =Lr*Ird + Lm*Isd λrq =Lr*Irq + Lm*Isq ωe : pulsazione elettrica del sistema di riferimento d-q arbitrario ωme : pulsazione elettrica di rotore (ωme = P* ωm)

58 Sostiuendo le equazioni di legame nelle equazioni elettriche si ottiene: |V|=|R|*|I| + |L|*d|I|/dt + |J|*|I| Con: R=R= Rs Rs Rr Rr |V| = Vsd Vsq Vrd Vrq |I|= Isd Isq Ird Irq |L| = Ls 0 Lm 0 0 Ls 0 Lm Lm 0 Lr 0 0 Lm 0 Lr

59 |J| =|JL|* ωr + |JC|* ωc Lm 0 Lr Lm 0 Lr 0 |JL| = 0 -Ls 0 -Lm Ls Lm 0 -Lr Lm 0 -Lr 0 |JC| = Con le notazioni appena poste si ricava leq. di stato: d|I|/dt = -|L| -1 *( |R|+|JL|* ωr + |JC|*ωc )*|I| + |L| -1 *|V| d|X|/dt= A * X + B * U dove la variabili di stato sono date dalle correnti statoriche e rotoriche di assi d e q. Questa equazione si risolve per via numerica; la condizione iniziale |I|(0 - ) si ricava sempre dalla stessa eq. ponendo d|I|/dt (0 - )=0.

60 Equazioni meccaniche: Si dimostra che la coppia elettromeccanica vale Te = 3/2 * P * Lm *( Iqs*Idr – Ids * Iqr) dove P è il numero di coppie polari. Lequazione meccanica è data da: Te – Tc = Jm *dωm/dt + B* ωm Anche la parte meccanica può essere scritta sottoforma di equazione di stato: dωm/dt = - B/Jm *ωm + 1/Jm*(Te - Tc)

61 Transitori

62 Velocità del motore

63 Modulo corrente statore istantaneo (Valore di picco) Correnti di fase Correnti di statore

64 Coppia motrice


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