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prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone1 Istituto di Istruzione Secondaria Superiore G.G. Adria Lavoro di gruppo Prodotti notevoli Prof.ssa Erminia Conti.

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2 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone1 Istituto di Istruzione Secondaria Superiore G.G. Adria Lavoro di gruppo Prodotti notevoli Prof.ssa Erminia Conti Prof.ssa Caterina Piccione Prof.ssa Dora Giacalone

3 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone2 I Prodotti Notevoli Quadrato di binomio Quadrato di binomio Quadrato di binomio Quadrato di binomio Cubo di binomio Cubo di binomio Cubo di binomio Cubo di binomio Quadrato di polinomio Quadrato di polinomio Quadrato di polinomio Quadrato di polinomio Potenza n-esima di binomio Potenza n-esima di binomio Potenza n-esima di binomio Potenza n-esima di binomio Somma per differenza Somma per differenza Somma per differenza Somma per differenza Altri prodotti notevoli Altri prodotti notevoli Altri prodotti notevoli Altri prodotti notevoli

4 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone3 Quadrato di un Binomio Cerchiamo la regola Cerchiamo la regola La regola La regola Il significato geometrico Il significato geometrico Esempi Esempi Esercizi proposti Esercizi proposti

5 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone4 Quadrato di binomio: significato algebrico (a+b) 2 = (a+b) (a+b) = = a 2 +ab+ab+b 2 = = a 2 +2ab+b 2

6 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone5 Quadrato di binomio: la regola ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Il quadrato di un binomio è un trinomio avente per termini: il quadrato del 1° monomio il doppio prodotto del 1° monomio per il 2° il quadrato del 2° monomio

7 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone6 Quadrato di binomio: significato geometrico ab (a + b) (a + b) 2 a2a2 b2b2 abab abab (a + b) 2 = a ab + b 2

8 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone7 Quadrato di binomio: esempi (2a+b) 2 = (2a) 2 +2(2a)(+b)+(+b) 2 = 4a 2 + 4ab + b 2 (2a - b) 2 = (2a) 2 +2(2a)(-b)+(-b) 2 = 4a 2 - 4ab + b 2 (3a+2b) 2 = (3a) 2 +2(3a)(+2b) +(+2b) 2 = 9a 2 +12ab +4b 2 (3a -2b) 2 = (3a) 2 +2(3a)(-2b) +(-2b) 2 = 9a ab +4b 2 (-3a -2b) 2 = (-3a) 2 +2(-3a)(-2b)+(-2b) 2 = 9a 2 +12ab +4b 2 (-3a+2b) 2 = (-3a) 2 +2(-3a)(+2b)+(+2b) 2 = 9a 2 -12ab+4b 2

9 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone8 Quadrato di binomio: esercizi (3a + 5) 2 = (3a + 5) 2 = (2a - 3b) 2 = (2a - 3b) 2 = (-2a – 3b) 2 = (-2a – 3b) 2 = (x 2 + 3y) 2 = (x 2 + 3y) 2 = (5x – 3y) 2 = (5x – 3y) 2 = (5a 2 + 2b 2 ) 2 = (5a 2 + 2b 2 ) 2 = (-3x 3 – 2y 2 ) 2 = (-3x 3 – 2y 2 ) 2 = (2xy – 3y) 2 = (2xy – 3y) 2 = (7ab – 2a) 2 = (7ab – 2a) 2 = 9a a a ab + 9b 2 4a ab + 9b 2 x x 2 y + 9y 2 25x 2 – 30xy + 9y 2 25a a 2 b 2 + 4b 4 9x x 3 y 2 + 4y 4 4x 2 y xy 2 + 9y 2 49a 2 b a 2 b + 4a 2

10 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone9 Quadrato di binomio: esercizi Quadrato di binomio: esercizi

11 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone10 Cubo di un Binomio Cerchiamo la regola Cerchiamo la regola La regola La regola Il significato geometrico Il significato geometrico Esempi Esempi Esercizi proposti Esercizi proposti

12 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone11 Cubo di binomio: significato algebrico (a+b) 3 = (a+b) 2 (a+b) = = (a 2 +2ab+b 2) (a+b) = = a 3 +a 2 b+2 a 2 b+2ab 2 +ab 2 +b 3 = = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

13 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone12 Cubo di binomio: la regola ( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Il cubo di un binomio è un quadrinomio avente per termini: il cubo del 1° monomio il triplo prodotto del quadrato del 1° per il 2° il triplo prodotto del 1° per il quadrato del 2° il cubo del 2° monomio

14 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone13 Cubo di binomio: significato geometrico (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

15 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone14 Cubo di binomio: esempi (2a+b) 3 = (2a) 3 +3(2a) 2 (+b) +3(2a)(+b) 2 +(+b) 3 = = 8a a 2 b + 6ab 2 + b 3 (2a - b) 3 = (2a) 3 +3(2a) 2 (-b)+3(2a)(-b) 2 +(-b) 3 = = 8a a 2 b + 6ab 2 - b 3 (-3a -2b) 3 = (-3a) 3 +3(-3a) 2 (-2b)+3(-3a)(-2b) 2 +(-2b) 3 = = -27a a 2 b - 36ab 2 - b 3 (-3a +2b) 3 = (-3a) 3 +3(-3a) 2 (+2b)+3(-3a)(+2b) 2 +(+2b) 3 = -27a a 2 b - 36ab 2 + b 3

16 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone15 Cubo di binomio: esercizi (2a + 1) 3 = (2a + 1) 3 = (3a - b) 3 = (3a - b) 3 = (-2x - 3y) 3 = (-2x - 3y) 3 = (a 2 + 3b) 3 = (a 2 + 3b) 3 = (a - 3b) 3 = (a - 3b) 3 = (a 2 + 2b 2 ) 3 = (a 2 + 2b 2 ) 3 = (3a 3 - 2b 2 ) 3 = (3a 3 - 2b 2 ) 3 = (2ab - 3b) 3 = (2ab - 3b) 3 = 8a 3 +12a 2 +6a+1 27a 3 -27a 2 b+6ab 2 -b 3 -8x 3 -36x 2 y-54xy 2 -27y 3 a 6 +9a 4 b+27a 2 b 2 +27b 3 8a 3 -36a 2 b+54ab 2 -27b 3 a 6 +6a 4 b 2 +12a 2 b 4 +8b 6 27a 9 -54a 6 b 2 +36a 3 b 4 -8b 6 8a 2 b 2 -36a 2 b 3 +54ab 3 -27b 3

17 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone16 Cubo di binomio: esercizi

18 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone17 Quadrato di un Polinomio Cerchiamo la regola Cerchiamo la regola La regola La regola Il significato geometrico Il significato geometrico Esempi Esempi Esercizi proposti Esercizi proposti

19 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone18 Quadrato di polinomio: significato algebrico (a+b+c) 2 = (a+b+c) (a+b+c) = = a 2 +ab+ac+ab+b 2 +bc+ac+bc+c 2 = = a 2 + b 2 + c 2 +2ab + 2ac + 2bc

20 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone19 Quadrato di polinomio: la regola (a+b+c) 2 = a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi di termini è un polinomio avente per termini: il quadrato di tutti i termini il doppio prodotto (con il relativo segno) di ciascun termine per tutti quelli che lo seguono

21 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone20 Quadrato di polinomio: significato geometrico (a+b+c)(a+b+c) (a+b+c)2(a+b+c)2 (a+b+c) 2 = a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc abc a2a2 b2b2 abab abab c2c2 acac acac bcbc bcbc

22 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone21 Quadrato di polinomio: esempi (2a + b + 3c) 2 = =(2a) 2 +(+b) 2 +(+3c) 2 +2(2a)(+b)+2(2a)(+3c)+2(+b)(+3c) = 4a 2 + b 2 + 9c 2 + 4ab + 12ac + 12bc (2a - b - c) 2 = = (2a) 2 +(-b) 2 +(-c) 2 +2(2a)(-b)+2(2a)(-c)+2(-b)(-c)= = 4a 2 + b 2 + c 2 - 4ab - 4ac + 2bc (-3a - 2b + c ) 2 = =(-3a) 2 +(-2b) 2 +(+c) 2 +2(-3a)(-2b)+2(-3a)(+c)+2(-2b)(+c) = 9a 2 + 4b 2 + c ab - 6ac - 4bc

23 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone22 Quadrato di polinomio: esercizi (2a + 2b + 7) 2 = (2a + 2b + 7) 2 = (3a - 4b - 2c) 2 = (3a - 4b - 2c) 2 = (-2x - 3y + 1) 2 = (-2x - 3y + 1) 2 = (a 2 + 3b - c) 2 = (a 2 + 3b - c) 2 = (5a + 2b + c) 2 = (5a + 2b + c) 2 = (-3a 3 +2b 2 +1) 2 = (-3a 3 +2b 2 +1) 2 = (2ab - 3b - 2) 2 = (2ab - 3b - 2) 2 = (7xy - 2x - 1) 2 = (7xy - 2x - 1) 2 = 4a 2 +4b ab+24a+24b 9a 2 +16b 2 +4c 2 -24ab-12ac+16bc 4x 2 +9y xy - 4x - 6y a 4 +9b 2 +c 2 + 6a 2 b - 2a 2 c - 6bc 25a 2 +4b 2 +c 2 +20ab+10ac+4bc 9a 6 +4b a 3 b 2 - 6a 3 +4b 2 4a 2 b 2 +9b ab 2 -8ab+12b 49x 2 y 2 +4x x 2 y -14xy+4x

24 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone23 Potenza n-esima di Binomio Cerchiamo la regola Cerchiamo la regola Triangolo di Tartaglia Triangolo di Tartaglia La regola La regola Esempi Esempi Esercizi proposti Esercizi proposti

25 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone24 Potenza n-esima di binomio: cerchiamo una regola (a+b) 0 =1 (a+b) 1 = a+b (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 (a+b) 4 = a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 (a+b) 5 = a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +b 5 (a+b) 6 = a 6 +6a 5 b+15a 4 b 2 +20a 3 b 3 +15a 2 b 4 +6ab 5 +b 6 » lo sviluppo di (a+b) n contiene sempre n+1 termini » i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali » in ogni termine dello sviluppo gli esponenti della lettera a decrescono da a n ad a 0 =1 e gli esponenti della lettera b crescono da b 0 =1 a b n » i coefficienti possono essere disposti secondo uno schema detto Triangolo di Tartaglia Triangolo di Tartaglia

26 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone25 Potenza n-esima di binomio: Triangolo di Tartaglia (a+b) 0 =1 (a+b) 1 = 1 1 (a+b) 2 = (a+b) 3 = (a+b) 4 = (a+b) 5 = (a+b) 6 = In questo prospetto: *ogni riga inizia e termina con 1 *ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti della riga precedente

27 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone26 Potenza n-esima di binomio: la regola (a+b) n = a n +na n-1 b + ……. + nab n-1 +b n La potenza n-esima di un binomio è un polinomio omogeneo di grado n, ordinato e completo secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui coefficienti si ottengono dal Triangolo di Tartaglia.Triangolo di Tartaglia In pratica, si procede nel seguente modo: si scrive la parte letterale di ogni monomio tenendo conto che è di grado n e le potenze di a decrescono (da n fino a 0) e di b crescono (da 0 ad n) si calcolano i coefficienti di ogni monomio con il Triangolo di Tartaglia

28 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone27 Potenza n-esima di binomio: esempi (2a+b) 5 = =(2a) 5 +5(2a) 4 (b)+10(2a) 3 (b) 2 +10(2a) 2 (b) 3 +5(2a)(b) 4 +(b) 5 =32a 5 +5(16a 4 )(b)+10(8a 3 )(b 2 ) +10(4a 2 )(b 3 ) +5(2a)(b 4 )+b 5 =32a a 4 b + 80a 3 b a 2 b ab 4 + b 5 (a - b) 4 = (a) 4 +4(a) 3 (-b)+6(a) 2 (-b) 2 +4(a)(-b) 3 +(-b) 4 = = a 4 - 4a 3 b + 6a 2 b 2 - 4ab 3 + b 4 (3a-2b) 4 = =(3a) 4 +4(3a) 3 (-2b)+6(3a) 2 (-2b) 2 +4(3a)(-2b) 3 +(-2b) 4 = =81a 4 +4(27a 3 )(-2b)+6(9a 2 )(+4b 2 )+4(3a)(-8b 3 )+16b 4 = = 81a a 3 b + 216a 2 b ab b 4 (a + b) 4 = (a) 4 +4(a) 3 (+b)+6(a) 2 (+b) 2 +4(a)(+b) 3 +(+b) 4 = = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

29 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone28 Potenza n-esima di binomio: esercizi (2a - b) 4 = (2a - b) 4 = (a +b) 7 = (a +b) 7 = (a - b) 7 = (a - b) 7 = (a - b) 6 = (a - b) 6 = (a +2b) 4 = (a +2b) 4 = (a - 2b) 4 = (a - 2b) 4 = (a +2b) 5 = (a +2b) 5 = (-x - y) 5 = (-x - y) 5 = 16a a 3 b + 24a 2 b 2 - 8ab 3 + b 4 a 7 +7a 6 b+21a 5 b 2 +35a 4 b 3 +35a 3 b 4 +21a 2 b 5 +7ab 6 +b 7 a 4 + 8a 3 b + 24a 2 b ab b 4 a 4 - 8a 3 b + 24a 2 b ab b 4 a 6 - 6a 5 b +15a 4 b a 3 b 3 +15a 2 b 4 - 6ab 5 + b 6 a 7 -7a 6 b+21a 5 b 2 -35a 4 b 3 +35a 3 b 4 -21a 2 b 5 +7ab 6 -b 7 a 5 +10a 4 b + 40a 3 b a 2 b 3 +80ab 4 +32b 5 - x 5 - 5x 4 y - 10x 3 y x 2 y 3 - 5xy 4 - y 5

30 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone29 Somma per differenza Cerchiamo la regola Cerchiamo la regola La regola La regola Esempi Esempi Esercizi proposti Esercizi proposti

31 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone30 Somma per differenza: significato algebrico (a+b) (a-b) = = a 2 - ab + ab - b 2 = = a 2 - b 2

32 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone31 Somma per differenza: la regola ( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2 Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine

33 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone32 Somma per differenza: esempi (2a+b) (2a+b) = (2a) 2 - (b) 2 = 4a 2 - b 2 (2a - 5b) (2a + 5b) = (2a) 2 - (5b) 2 = 4a b 2 (3a+2b) (3a-2b) = (3a) 2 - (2b) 2 = 9a 2 - 4b 2 (-a +2b) (-a - 2b) = (-3a) 2 - (2b) 2 = 9a 2 - 4b 2 (4a + b) (- 4a + b) = (b) 2 - (4a) 2 = b a 2 (-3b+2a) (+3b+2a) = (2a) 2 - (3b) 2 = 4a 2 - 9b 2

34 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone33 Somma per differenza: esercizi (2a + 7)(2a - 7)= (2a + 7)(2a - 7)= (3a - 4b)(3a+ 4b) = (3a - 4b)(3a+ 4b) = (-2x - 3y)(-2x+3y) = (-2x - 3y)(-2x+3y) = (a 2 + 3b)(a 2 - 3b) = (a 2 + 3b)(a 2 - 3b) = (5a - 3b)(5a+ 3b) = (5a - 3b)(5a+ 3b) = (5a 2 +2b 2 )(5a 2 -2b 2 ) = (5a 2 +2b 2 )(5a 2 -2b 2 ) = (-3a 3 +2b 2 )(-3a 3 -2b 2 ) = (-3a 3 +2b 2 )(-3a 3 -2b 2 ) = (2a + 3b)( -2a + 3b) = (2a + 3b)( -2a + 3b) = (7xy - 2x)( -7xy - 2x) = (7xy - 2x)( -7xy - 2x) = 4a a b 2 4x 2 - 9y 2 a 4 - 9b 2 25a 2 - 9b 2 25a 4 - 4b 4 9a 6 - 4b 4 9b 2 - 4a 2 4x x 2 y 2

35 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone34 Somma per differenza: esercizi [(a+b) - 1] [(a+b) +1] =(a+b) 2 - 1

36 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone35 Altri Prodotti Notevoli Somma di cubi Somma di cubi Differenza di cubi Differenza di cubi La regola La regola Esempi Esempi Esercizi proposti Esercizi proposti

37 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone36 Somma di Cubi: significato algebrico (a+b) (a 2 - ab + b 2 ) = = a 3 - a 2 b + ab 2 + a 2 b- ab 2 + b 3 = = a 3 + b 3

38 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone37 Differenza di Cubi: significato algebrico (a - b) (a 2 + ab + b 2 ) = = a 3 + a 2 b + ab 2 - a 2 b- ab 2 - b 3 = = a 3 - b 3

39 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone38 Somma o differenza di cubi: la regola Il prodotto della somma di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla differenza del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine più il cubo del secondo termine (a+b)(a 2 - ab + b 2 ) = a 3 + b 3 (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 - b 3 Il prodotto della differenza di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla somma del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine meno il cubo del secondo termine

40 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone39 Somma o Differenza di Cubi: esempi (2a + b)(4a 2 - 2ab + b 2 ) = (2a) 3 + (b) 3 = 8a 3 + b 3 (2a - b)(4a 2 + 2ab + b 2 ) = (2a) 3 - (b) 3 = 8a 3 - b 3 (3a+2b)(9a 2 - 6ab +4b 2 )= (3a) 3 + (2b) 3 = 27a 3 + 8b 3 (3a - 2b)(9a 2 + 6ab +4b 2 )= (3a) 3 - (2b) 3 = 27a 3 - 8b 3

41 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone40 Somma o Differenza di Cubi: esercizi (2a + 7)(4a ab + 49)= (2a + 7)(4a ab + 49)= (3a - 4b)(9a 2 +12ab+16b 2 ) = (3a - 4b)(9a 2 +12ab+16b 2 ) = (2x - 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2 ) = (2x - 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2 ) = (a 2 + 3b)(a 4 +9b 2 - 3a 2 b ) = (a 2 + 3b)(a 4 +9b 2 - 3a 2 b ) = (5a - 3b)(25a 2 +15ab+9b 2 ) = (5a - 3b)(25a 2 +15ab+9b 2 ) = (x 2 + 2y 2 )(x 4 - 2x 2 y 2 + 4y 4 ) = (x 2 + 2y 2 )(x 4 - 2x 2 y 2 + 4y 4 ) = (3a 3 + b 2 )(9a 6 - 3a 3 b 2 + b 4 ) = (3a 3 + b 2 )(9a 6 - 3a 3 b 2 + b 4 ) = (2a + 3b)( 4a 2 - 6ab+9b 2 ) = (2a + 3b)( 4a 2 - 6ab+9b 2 ) = (x - 2y)( x 2 +2xy + 4y 2 ) = (x - 2y)( x 2 +2xy + 4y 2 ) = 8a a b 3 8x y 3 a b 3 125a b 3 x 6 + 8y 6 27a 9 + b 6 8a b 2 x 3 - 8y 3


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