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1 Università degli studi di Napoli Federico II Facoltà di Ingegneria TESI DI LAUREA Diffusione da superfici frattali : Il metodo delle condizioni al contorno.

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1 1 Università degli studi di Napoli Federico II Facoltà di Ingegneria TESI DI LAUREA Diffusione da superfici frattali : Il metodo delle condizioni al contorno estese di DE ROSA NICOLA

2 2 SOMMARIO Diffusione da superfici frattali monodimensionali Diffusione da superfici frattali monodimensionali Diffusione da superfici frattali bidimensionali Diffusione da superfici frattali bidimensionali Geometria frattale Geometria frattale Geometria frattale Geometria frattale Modello fBm Modello WM

3 3 Geometria frattale Autoaffinità o autosimilarità: su differenti scale, i frattali deterministici (merletto a trina di Von Koch, curva di Von Koch, etc) saranno identici, mentre i frattali aleatori presenteranno le stesse proprietà statistiche; Dimensione frattale: misura il grado di frastagliatura ed irregolarità di un oggetto; è in generale un numero reale positivo (ad esempio la dimensione della curva di Von Koch è ).

4 4 Modello fBm (Fractional Brownian motion) Un processo z(x,y) descrive una superficie fBm se per ogni x, x,y, y, i suoi incrementi soddisfano tale relazione: dove: H:coefficiente di Hurst; D=3-H:dimensione frattale; ; T :Topotesia.

5 5 Modello WM (Weierstrass-Mandelbrot) è il numero donda della componente fondamentale;, irrazionale, è il passo della progressione geometrica con cui sono spaziate le componenti spettrali; a è un fattore di scala dellaltezza del profilo. tengono conto del comportamento inampiezza e fase di ogni tono. WM monodimensionale matematica: è una sovrapposizione di infiniti toni sinusoidali; Noi useremo una WM monodimensionale fisica, che si ottiene troncando su M toni la WM matematica, ed è espressa dalla seguente formula analitica:

6 6 Diffusione da superfici frattali monodimensionali Diffusione da superfici frattali monodimensionali Dallapplicazione del teorema di equivalenza scaturiscono tali equazioni:

7 7 condizioni al contorno: in cui: sono le funzioni di Green rispettivamente nel mezzo 1 e nel mezzo 2; sono rispettivamente il campo totale nel mezzo 1, nel mezzo 2 ed il campo incidente che è unonda piana polarizzata linearmente lungo lasse y;

8 8 Sfruttando la quasi-periodicità della funzione WM Espansione in serie di Fourier generalizzata del campo superficiale in termini di M indici q che variano tra - e +, sono i coefficienti della serie di Fourier., ; + calcolo di integrali di tipo Neumann e Dirichlet

9 9 Espressione del campo diffuso e trasmesso in termini di M indici l che variano tra - e +

10 10 Le ampiezze devono soddisfare tale sistema matriciale : noto il campo incidente

11 11

12 12 devono soddisfare tali espressioni : ;. Equazione del reticolo

13 13 E possibile avere una soluzione numerica? Sì, a patto che si tronchino le matrici e si implementi di conseguenza un criterio che non apporti significative degradazioni dei campi Si fissa lordine di interazione massimo dei campi: Si scelgono gli indici q ed l tali che:

14 14 Efficienza del modello Ragioni di carattere energetico Considerazioni sui diagrammi di irradiazione diffusi Implementazione di un criterio numerico-energetico Presentazione dei suddetti diagrammi

15 15 Criterio energetico Legge della conservazione dellenergia Potenza diffusaPotenza trasmessa Normalizzazione al campo incidente

16 16 Il criterio che imponiamo è: Ci fornisce anche un criterio per fissare lordine di interazione massimo a cui fermare il calcolo dei campi in gioco.

17 17 Presentazione dei risultati ottenuti Il mezzo 1 è lo spazio libero, mentre il mezzo 2 è un dielettrico omogeneo con permittività ; I parametri usati sono: Faremo variare tali parametri mostrando varie situazioni di interesse.

18 18 Al variare di la struttura del diagramma si conserva, e cè solo un cambiamento nellampiezza e nella potenza diffusa.

19 19 H: agisce sui gruppi di modi, decrescendo il diagramma si sparpaglia e la sua struttura si conserva. H=0.3 H=0.7 H=0.9

20 20 a: abbatte o incrementa tutti i toni, agisce sui modi di un gruppo, cambiandone il rapporto e provocando la non conservazione della struttura del diagramma dirradiazione. a=0.01a=0.03 a=0.05

21 21 L: un suo aumento provoca un restringimento del diagramma che al limite tende a una delta di Dirac. L=5L=5 L=10 L=50

22 22 : provoca una traslazione del diagramma in corrispondenza della direzione speculare.

23 23 Ma la soluzione numerica è affetta da limiti di validità? Sì, per superfici molto rugose nasce il problema del mal-condizionamento delle matrici, la cui inversione diventa delicata, le cui cause sono da ricercare: nei modi evanescenti, legati al calcolo delle correnti superficiali, per cui le funzioni di Bessel presentano un argomento immaginario nel parametro di rugosità nelle funzioni di Bessel che è grande, dal momento che è grande

24 24 Si può controllare il mal-condizionamento? Sì, aumentando la precisione nei calcoli tramite il comando SetPrecision di Mathematica 5.0, dove per precisione si intende il numero di cifre significative con cui vengono svolti i calcoli Si sposta il mal- condizionamento Aumentano i tempi di calcolo

25 25 Qualche esempio Precisione 16 a=0.051 e= minuti Precisione 20 a=0.059 e= minuti Precisione 30 a=0.110 e= minuti Precisione 25 a=0.082 e= minuti +39% +15.7% ? % ? Parametri fissati: H=0.5, f=600 MHz,

26 26 Per precisione 30 il mal-condizionamento nasce prima, visto lelevato valore di e Rosso: precisione 30 Blu: precisione 25 ERRORE Il vero valore di a varia tra e 0.090, accettando un errore su e tra 1.2% e 2.63 %, in circa 10 minuti

27 27 E se aumentassimo ulteriormente la precisione? Precisione 100 a=0.41 e= minuti il mal-condizionamento nasce prima Il vero valore di a varia tra e 0.090, come per precisione 30, ma in circa 11minuti

28 28 Diffusione da superfici frattali bidimensionali Diffusione da superfici frattali bidimensionali tiene in conto il comportamento in direzione di ogni tono. Modello di superficie: WM bidimensionale fisica: Modello elettromagnetico: campo magnetico campo elettrico funzione di Green

29 29 Caso c.e.p Lunica sorgente superficiale è che espandiamo in serie di Fourier generalizzata in termini di M indici q che variano tra - e + è il vettore dei coefficienti di Fourier. + calcolo di integrale di tipo Dirichlet

30 30 Espressione del campo diffuso in termini di M indici l che variano tra - e + E un problema vettoriale:soluzione? Proiezione delle equazioni sui tre assi cartesiani Risoluzione di tre problemi scalari

31 31 Campo incidente: onda piana polarizzata lungo y Componente del campo diffuso lungo y:Calcolo dei coefficienti inampiezza:

32 32 A: matrice diagonale delle ampiezze del campo incidente; ; Calcolo della corrispondente componente del campo totale

33 33 Come calcoliamo le altre due componenti del campo diffuso? Calcolo delle corrispondenti componenti del campo totale Allo stesso modo della componente lungo y, con una differenza: in tal caso =0, per cui :

34 34 Qualche esempio numerico Realizzazione del campo diffuso Riporteremo dei tagli del diagramma 3-D al variare dei parametri. I parametri usati sono:

35 35 H: legato allinviluppo del diagramma, ne provoca uno sparpagliamento quanto piu è piccolo. H=0.3a=0.04 H=0.7 a=0.04H=0.9a=0.04

36 36 a: agendo su tutti i toni, provoca un cambiamento del rapporto tra i modi di un gruppo. a=0.01 a=0.03 a=0.05

37 37 CONCLUSIONI La geometria frattale ha dotato la ricerca sulla diffusione da superfici naturali di uno strumento efficiente ed adeguato a descrivere la complessità del mondo naturale; Il metodo EBCM con luso della WM ha permesso di trovare una soluzione del campo diffuso come sovrapposizione modale, in linea di principio valida per qualsiasi superficie: il limite di validità è dato dal mal-condizionamento delle matrici per superfici molto rugose, che ha una sua ragione fisica ed è quindi ineliminabile; è possibile controllarlo aumentando la precisione nellinversione delle matrici;

38 38 è sufficiente fermarsi a precisione 30; Anche per il caso 2-D il campo diffuso è scritto come sovrapposizione modale: il problema è vettoriale; proiettiamo le equazioni ottenute sui tre assi e risolviamo problemi scalari; I risultati ottenuti in entrambi i casi sono il linea con le aspettative teoriche.

39 39 FINE PRESENTAZIONE

40 40 Approfondimento sulla geometria frattale Parametri superficiali: M=1 M=2 M=3 M=4

41 41 M=5 M=6

42 42 Approfondimento sulla generazione dei modi radiativi Parametri superficiali: campo diffuso campo diffuso

43 43 campo diffuso campo diffuso campo diffuso

44 44 x z E i H i i H H r r' ^ n s Campo diffuso + campo incidente=0 Approfondimento del teorema di equivalenza Campo diffuso diverso da zero

45 45 x z r r' ^ n s Campo diffuso nullo


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