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Rivelatori di Particelle1 Lezione 10 Misure dimpulso Un apparato che mi permette una misura di tracce ( insieme di camere MWPC o a deriva o silici) posto.

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1 Rivelatori di Particelle1 Lezione 10 Misure dimpulso Un apparato che mi permette una misura di tracce ( insieme di camere MWPC o a deriva o silici) posto in un campo magnetico (possibilmente uniforme) mi fornisce una misura dellimpulso delle particelle ( misura di dalla misura del raggio di curvatura).

2 Rivelatori di Particelle2 Lezione 10 Misure dimpulso Magneti per esperimenti a targhetta fissa Magneti per esperimenti a targhetta fissa il più comune magnete usato in esperimenti a targhetta fissa è il magnete bipolare. Alluscita della targhetta i prodotti della reazione sono concentrati in un cono attorno alla direzione della particella incidente, a causa del p T limitato ( ~350 MeV ) e del boost di Lorentz lungo la direzione del fascio. Lapertura del cono è approssimativamente dato dal rapporto p T /p L (con p T impulso trasverso e p L impulso longitudinale rispetto alla direzione della particella incidente) non serve un magnete con una grande apertura.

3 Rivelatori di Particelle3 Lezione 10 Misure dimpulso fascio targhetta Camere per trovare le tracce x y z Rappresentazione schematica di uno spettrometro magnetico

4 Rivelatori di Particelle4 Lezione 10 Misure dimpulso La forza di Lorentz è : Con |p| costante. La forma di questa equazione cioè dp/dt ortogonale a p ed a B implica moto circolare.

5 Rivelatori di Particelle5 Lezione 10 Misure dimpulso Per ricavare il raggio di curvatura conviene utilizzare un sistema di coordinate curvilineo: In questo sistema di riferimento lequazione di Lorentz diventa: ŷ x ŝ con x, y ed s sistema destrorso. raggio di curvatura s coordinata curvilinea B diretto lungo lasse y (B y )

6 Rivelatori di Particelle6 Lezione 10 Misure dimpulso Lequazione di Lorentz : può essere semplificata osservando che |p| = costante e = (p/qB y ) v= velocità

7 Rivelatori di Particelle7 Lezione 10 Misure dimpulso La deflessione nel piano xs si vede dalla figura:. x Il raggio di curvatura della traiettoria è molto maggiore della lunghezza del magnete L langolo di deflessione q può essere approssimato a : A causa della deflessione dovuta al campo magnetico la particella acquista un impulso trasverso addizionale: p x =2psin ~p =LqB y 2sin( /2)=L/ L B s

8 Rivelatori di Particelle8 Lezione 10 Misure dimpulso Se il campo magnetico non è uniforme, ma varia lungo L(z) allora:

9 Rivelatori di Particelle9 Lezione 10 Misure dimpulso La precisione della misura dellimpulso è influenzata da : Precisione dellapparato tracciante Precisione dellapparato tracciante Scattering multiplo Scattering multiplo

10 Rivelatori di Particelle10 Lezione 10 Misure dimpulso Consideriamo una configurazione con B diretto lungo lasse y, il fascio incidente sulla targhetta diretto lungo z dato il p T limitato le particelle prodotte nella reazione sono dirette quasi lungo z. Le traiettorie delle particelle secondarie entranti nello spettrometro sono misurate prima e dopo il magnete. Consideriamo per semplicità una particella che entra nel magnete diretta lungo z. Poiché il campo magnetico è diretto lungo y la deflessione delle particelle è nel piano xz. x z

11 Rivelatori di Particelle11 Lezione 10 Misure dimpulso Precisione dellapparato tracciante. Le particelle prima di entrare nel magnete e dopo essere uscite sono rettilinee misura di Per determinare devo avere almeno 4 punti ( 2 prima e 2 dopo il magnete), perché mi servono 2 direzioni. Misure di posizione x h

12 Rivelatori di Particelle12 Lezione 10 Misure dimpulso Se ogni punto ha lo stesso errore (x) la varianza dellangolo di deflessione sarà: Siccome =x/h essendo h il braccio di leva per la misura angolare prima e dopo il magnete E ricordando che: (p) e dunque proporzionale a p 2. ( )=2 (x)/h

13 Rivelatori di Particelle13 Lezione 10 Misure dimpulso A seconda della qualità dellapparato si possono ottenere risoluzioni : Se definiamo impulso massimo misurabile quello per cui: Si ha che uno spettrometro magnetico con risoluzione data dalla (1) può misurare impulsi fino a : (1)

14 Rivelatori di Particelle14 Lezione 10 Misure dimpulso Limpulso di una o più particelle secondarie è, di norma, misurato in un magnete con la gap in aria leffetto dello scattering multiplo è di regola piccolo se paragonato allerrore dovuto alla misura di nel tracciatore. Se però vogliamo misurare limpulso di, i quali non interagiscono forte ed, ad energie inferiori alle centinaia di GeV, non fanno Bremsstrahlung, spesso si usa un magnete di ferro magnetizzato pieno alto scattering multiplo.

15 Rivelatori di Particelle15 Lezione 10 Misure dimpulso Un che attraversa un magnete di ferro pieno di spessore L acquisterà un impulso trasverso p T ms, dovuto allo scattering multiplo p T ms = psin rms ~ p rms ovvero p T ms ~ 19.2(L/X 0 ) ½ [MeV/c] ( = 1) campo magnetico non uniforme: p T ms ferro p L x z Siccome la deflessione dovuta al campo magnetico è nella direzione x (particella lungo z e B lungo y, solo la componente x è quella che ci interessa p x ms = 13.6(L/X 0 ) ½. La risoluzione in impulso, a causa dello scattering multiplo, diventa, nel caso di

16 Rivelatori di Particelle16 Lezione 10 Misure dimpulso Sia langolo di deflessione dovuto al campo magnetico, che langolo di scattering multiplo sono inversamente proporzionali allimpulso p la risoluzione (relativa) in impulso non dipende dall impulso della particella incidente. Per spettrometri di ferro pieno (X 0 = 1.76 cm) si considerano valori tipici di B = 1.8 T (saturazione del ferro) L in metri Se L = 3 m

17 Rivelatori di Particelle17 Lezione 10 Misure dimpulso Sommando l errore dovuto allincertezza della misura di posizione Per un magnete in aria (X 0 =304m) lerrore dovuto allo scattering multiplo è molto piu piccolo. per un magnete sempre di 1.8 T e lungo 3 metri (p)/p| ms = 0.08 % errore totale (p)/p| traccia (p)/p| ms (p)/p % p [Gev/c]

18 Rivelatori di Particelle18 Lezione 10 Misure dimpulso Un altro metodo utilizzato per determinare limpulso (per un magnete in aria è la misura della sagitta (s). La sagitta s è connessa al raggio di curvatura ed allangolo di deflessione tramite : Poiché per particelle relativistiche è piccolo Se B è in [T] L in [m] e p in [GeV/c]

19 Rivelatori di Particelle19 Lezione 10 Misure dimpulso Per determinare la sagitta servono almeno 3 misure di posizione. Questo si può ottenere con una camera allingresso (x 1 ), una al centro (x 2 ) ed una alluscita (x 3 ) del magnete. Poiché: Assumendo risoluzioni (x) uguali per le 3 camere Per cui la risoluzione in impulso diventa: Se la traccia è misurata in N punti equispaziati lungo la lunghezza del magnete L, si può dimostrare che la risoluzione in impulso dovuta allerrore della misura della traccia è: Per B=1.8 T, L=3 m, N=4 e (x)=0.5 mm Se le N>>4 misure sono distribuite su L a k intervalli (L=kN)

20 Rivelatori di Particelle20 Lezione 10 Misure dimpulso Magneti per esperimenti ad un Collider. Magneti per esperimenti ad un Collider. A seconda del tipo di anello di accumulazione possono essere usati diversi tipi di magneti. Per protone-protone o antiprotone-protone possiamo usare un magnete bipolare, ma attenzione vengono deflessi anche i fasci incidenti servono dei magneti di compensazione, ma con gradiente di campo opposto: Fascio 1 Fascio 2 Punto dinterazione Magneti di compensazione Magnete bipolare B

21 Rivelatori di Particelle21 Lezione 10 Misure dimpulso Un magnete bipolare può autocompensarsi se si usa la configurazione split-field. In questo caso nella zona di giunzione dei dipoli il campo è tuttaltro che omogeneo impossibile misure dimpulso per particelle prodotte ad angolo polare ~ 90 o. B B Punto dinterazione Fascio 1 Fascio 2

22 Rivelatori di Particelle22 Lezione 10 Misure dimpulso Il magnete toroidale non disturba i fasci del collider, in quanto il campo è nullo nella zona dei fasci. Fra i 2 cilindri B è circolare e di intensità ~ 1/r. Lo svantaggio maggiore in un toro è lo scattering multiplo nel cilindro interno del toro e nei suoi avvolgimenti. risoluzione della misura dimpulso dominata dallo scattering multiplo. B I Punto di interazione Cilindro interno del toroide Cilindro esterno del toroide

23 Rivelatori di Particelle23 Lezione 10 Misure dimpulso I magneti più comunemente usati in un collider sono quelli solenoidali. In questo caso I fasci viaggiano paralleli al campo magnetico quindi non sono disturbati dal magnete ( a parte effetti di bordo ). Sia toroidi che solenoidi non causano radiazione di sincrotrone Vanno bene sia per anelli di collisione di protoni che di elettroni. Punto dinterazione Giogo cilindrico B I

24 Rivelatori di Particelle24 Lezione 10 Misure dimpulso In un solenoide i tracciatori sono installati allinterno del solenoide stesso e sono cilindrici. Il campo magnetico (solenoidale quindi // ai fasci) agisce solo sulla componente trasversa dell impulso delle particelle Dove (x) è la risoluzione per la coordinata nel piano ortogonale allasse dei fasci. Per determinare limpulso devo misurare anche p L (componente longitudinale dellimpulso)

25 Rivelatori di Particelle25 Lezione 10 Misure dimpulso Utile usare coordinate cilindriche. In questo caso le coordinate sono e z Considerando un generico punto P e la sua proiezione Q sul piano xy, la coordinata z indica la distanza PQ. Con si denota la distanza dallorigine del punto Q, mentre individua langolo che si forma fra il vettore e lasse x. x y z P Q Per passare dal sistema cilindrico a quello cartesiano avremo: x= cos y= sin z=z e per passare dal sistema cartesiano a quello cilindrico: =(x 2 +y 2 ) =arctan (y/x) z=z

26 Rivelatori di Particelle26 Lezione 10 Misure dimpulso Utile usare coordinate cilindriche punto dinterazione + - r z + - proiezione r proiezione rz

27 Rivelatori di Particelle27 Lezione 10 Misure dimpulso Se misuriamo N punti lungo una traccia di lunghezza totale L (m) con unaccuratezza r (m) in un campo magnetico B (T), la risoluzione nellimpulso trasverso e: Oltre allerrore sulla traccia dobbiamo considerare anche lo scattering multiplo:

28 Rivelatori di Particelle28 Lezione 10 Misure dimpulso Limpulso totale della particella è ottenuto da p T e dallangolo polare : Come nel caso del piano r (trasverso) anche la misura dellangolo polare ha un errore, sia dovuto alla risoluzione del tracciatore, sia allo scattering multiplo. A questa dobbiamo sommare in quadratura lerrore dovuto allo scattering multiplo z pTpT r Nel caso di una misura di 2 sole z Se la traccia è misurata in N punti equidistanti si avrà: dove p è in GeV/c, l è la lunghezza di traccia in unità X 0 e =1. A parte il (3) -1/2 è la formula usuale dello scattering multiplo.

29 Rivelatori di Particelle29 Lezione 10 Misure dimpulso spiegazione di 1/(3) 1/2 spiegazione di 1/(3) 1/2 ….. Langolo di scattering multiplo che ci interessa per la misura dellangolo polare deve essere inteso come il rapporto dello spostamento della traccia r ( a causa dello scattering multiplo ) diviso per la lunghezza di traccia l. Nei solenoidi si usano normalmente camere a bassa massa come tracciatori possiamo ignorare lo scattering multiplo. l r piano

30 Rivelatori di Particelle30 Lezione 10 Misure dimpulso Concludendo:dalla notiamo che la precisione migliora aumentando BL 2. Migliora solo come (N) 1/2 aumentando N, dove N il numero di misure notiamo che la precisione migliora aumentando BL 2. Migliora solo come (N) 1/2 aumentando N, dove N è il numero di misure


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