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Quindicesima Lezione Onde piane in un mezzo con perdite; onde TEM; introduzione ai circuiti distribuiti.

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Presentazione sul tema: "Quindicesima Lezione Onde piane in un mezzo con perdite; onde TEM; introduzione ai circuiti distribuiti."— Transcript della presentazione:

1 Quindicesima Lezione Onde piane in un mezzo con perdite; onde TEM; introduzione ai circuiti distribuiti

2 Riassunto della lezione precedente n I fasori n Equazioni di Maxwell nel dominio dei fasori n Polarizzazione delle onde piane n onde piane in direzione arbitraria n onde in buoni conduttori

3 Onde piane in un mezzo con perdite n Abbiamo parlato di buon conduttore, come quello in cui la corrente di spostamento è trascurabile rispetto alla corrente di conduzione, almeno nelle frequenze radio n Un buon dielettrico è quello invece in cui avviene il contrario (es: aria, vetro, teflon, allumina ecc) n Moltissimi materiali non sono né luno né laltro: come trattarli? n Se la parte conduttiva soddisfa la legge di Ohm, abbiamo visto che per la legge di Ampère (fasori!!) Possiamo mettere in evidenza j 0 Definiamo una permettività COMPLESSA

4 Onde piane in un mezzo con perdite n Quindi operativamente: dovremo solo calcolare limpedenza donda ed il resto utilizzando tale permettività complessa Notate però che ora anche il numero donda k è complesso [essendo k= 1/2, ricordate?] n Cosa significa? Riprendiamo londa piana che si propaga lungo z, e con campo E in x n Se k è complesso significa solo che londa si propaga (parte reale) e si attenua al contempo (parte immaginaria),visto che la parte immaginaria di k contribuisce ad un esponenziale reale

5 Onde piane in un mezzo con perdite n Cosa possiamo dire circa il vettore donda? Nel tempo abbiamo parlato di un vettore che individua la direzione di propagazione; ma ora che è complesso? n Londa piana in direzione generica abbiamo visto è n Ovvero nel tempo (se E 0 reale, altrimenti occorre un termine di fase)

6 Onde piane in un mezzo con perdite n Quindi la permettività per un mezzo con perdite (nel dominio dei fasori) è una quantità complessa n Se cè una vera e propria corrente di conduzione che soddisfa la legge di Ohm, la parte immaginaria dipende dalla frequenza, che compare a denominatore n Però nei materiali esistono anche altri meccanismi di dissipazione di potenza non imputabili direttamente a correnti di conduzione (es: ricordate la rotazione dei dipoli dacqua in un forno a microonde?) Nei buoni dielettrici, in cui la corrente di conduzione è trascurabile, la permettività ha comunque una parte immaginaria (piccola rispetto alla parte reale) che descrive tali altri meccanismi di perdita, abbastanza indipendente dalla frequenza: il rapporto tra parte immaginaria e parte reale si definisce tan

7 Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) n Si definisce TEM unonda in cui campo elettrico e campo magnetico non hanno componenti nella direzione di propagazione n Unonda piana è evidentemente anche unonda TEM n La legge di Faraday in forma integrale n Sappiamo che una tensione è univocamente definita a prescindere dal percorso se e solo se il secondo membro è nullo n Questo avviene se u il flusso del campo magnetico non varia nel tempo (statico) u o se il flusso è nullo

8 Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) n Ma immaginiamo unonda TEM che si propaga lungo z, dove E è tutto lungo x e H lungo y n Il flusso di B attraverso un piano z=costante è nullo (B,D,E,H non hanno componenti in z!) Quindi, la tensione è ben definita in ogni piano z= costante, anche se siamo in un caso elettrodinamico! Quello che avremo è che la tensione, in generale, varierà con z, cioè v=v(z) x z

9 Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) n I cavi multifilari supportano in generale propagazione di tipo TEM (esempio un cavo coassiale). Consideriamo una linea bifilare z z0z0 z n Circuitazione lungo il percorso tratteggiato: Flusso di B concatenato con il rettangolo: Dividiamo per z entrambi i membri, e calcoliamo il limite del rapporto incrementale per z che tende a zero Flusso di B PER UNITA DI LUNGHEZZA concatenato con il rettangolo:

10 Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) n Ma ricordiamo la definizione di induttanza n Allora lequazione per v diventa n Possiamo seguire una strategia analoga, usando la condizione di continuità della carica in un tubo concentrico ad uno dei fili induttanza PER UNITA DI LUNGHEZZA n quindi z z0z0 z

11 Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) n Il flusso della densità di corrente non nullo solo sulle basi, e pari alle correnti quindi n Daltra parte il teorema di Gauss: n Quindi Flusso di D Di nuovo: Dividiamo per z entrambi i membri, e calcoliamo il limite del rapporto incrementale per z che tende a zero Flusso di D per unità di lunghezza

12 Equazioni del telegrafista n Ma avevamo definito la capacità come n quindi n Allora lequazione per i diventa n Riassumendo: Le due equazioni che descrivono landamento di i e v lungo una linea sono quindi n Equazioni del telegrafista

13 Equazioni del telegrafista: fasori n In termini di fasori n Se deriviamo in z la prima e sostituiamo la seconda Ancora una volta unequazione donda, dove è il numero donda n Analogamente n Le soluzioni le conosciamo... n Cioè onde progressive e regressive che si propagano con velocità

14 Equazioni del telegrafista n Impedenza caratteristica n Se sostituiamo le soluzioni per v (separatamente la soluzione progressiva e quella regressiva) troviamo un legame con i Note induttanza per unità di lunghezza e capacità per unità di lunghezza, ovvero e Z 0 sappiamo tutto di una linea n Se volessimo recuperare gli andamenti nel tempo, al solito (considerando v+ e v- reali, cosa raramente vera; in generale ci sono termini di fase da aggiungere)

15 Equazioni del telegrafista Riassumendo: abbiamo onde di tensione e di corrente, in una direzione e nellaltra, che si propagano a velocità ; onde di tensione e di corrente sono legate da un rapporto costante, limpedenza caratteristica n Il concetto di linea è molto generale: le connessioni ideali dellelettrotecnica sono unapprossimazione, valida solo per lunghezze molto inferiori alla lunghezza donda di v (ed i) n Cosa succede quando la linea finisce su un resistore? RLRL Zo, z=0 z v+v+ v-v- n Condizioni al contorno su z=0 vLvL iLiL

16 Coefficiente di riflessione n Definiamo coefficiente di riflessione n Dal sistema precedente troviamo n A meno che R L non sia negativo (circuito che guadagna o attivo) appare che il modulo del coefficiente di riflessione è sempre minore di uno! n Se il coefficiente di riflessione è nullo, non abbiamo onde regressive (le onde viaggiano solo verso il carico e ne sono assorbite) e questo avviene se n Condizione di adattamento

17 Coefficiente di riflessione n Daltro canto vediamo che se la linea finisce su un corto circuito ideale (R L =0) avremo che il coefficiente di riflessione è -1, cioè londa torna indietro invertita in fase (v - =-v + ) n Nel tempo Che è unonda stazionaria: in alcune z è sempre nulla (nodi) ed in altre è sempre max n Vediamo unanimazione temporale (incluso il transitorio)

18 Coefficiente di riflessione Nel caso di circuito aperto (R L = il coefficiente di riflessione è 1; di nuovo tutto torna indietro n In generale, tranne che in condizione di adattamento, comunque onde progressive e regressive interferiranno producendo onde stazionarie; in tali casi il rapporto tra la tensione totale (sovrapposizione tra onde di tensione nelle due direzioni) e la corrente totale, ovvero limpedenza misurata, varierà da punto a punto n Cioè: se è vero che il rapporto tra tensione (totale!) e corrente (totale!) è R L sul carico, tale rapporto cambierà altrove, tranne che in condizioni di adattamento. Vediamolo

19 Impedenza di ingresso di un tratto di linea Calcoliamoci limpedenza vista allingresso di un tratto di linea di lunghezza l chiuso su R L RLRL Zo, z=0 z i tot v tot z=-l Z in n Dividiamo per v+ numeratore e denominatore, e ricordiamo la definizione di coefficiente di riflessione

20 Impedenza di ingresso di un tratto di linea n Sostituiamo lespressione per il coefficiente di riflessione e lidentità di Eulero; semplifichiamo un po n Di li riotteniamo subito che se impedenza di carico ed impedenza caratteristica coincidono, vediamo sempre la stessa impedenza (limpedenza caratteristica) in qualunque sezione n Vediamo anche che ogni volta che il cos diventa + o -1 ed il seno 0, vediamo allingresso esattamente R. Questo capita se n Cioè per tutti i multipli interi di mezza lunghezza donda

21 Impedenza di ingresso di un tratto di linea n Vediamo alcuni casi particolari: u Se chiudiamo su un corto Cioè un carico reattivo (puramente immaginario). Notate che con argomento /2 la tangente diventa infinita: quindi il corto si trasforma in un circuito aperto! La lunghezza corrispondente è /4. Ridiventa un corto a cioè ovviamente a /2 (e così via) u Se chiudiamo su un aperto (carico infinito) Cioè un comportamento esattamente duale Notate anche che il corto ha una impedenza immaginaria positiva (quindi induttiva) fino a /4 e poi diventa negativa (capacitiva), e via dicendo. Il contrario per il circuito aperto Nel caso particolare di argomento /2 ( /4) il coseno è nullo, e

22 Il cavo coassiale n Avevamo calcolato la capacità di uno spezzone di coassiale n Per cui, la capacità per unità di lunghezza n Avevamo calcolato la linduttanza di uno spezzone di coassiale

23 Il cavo coassiale n Quindi, la velocità Cioè la velocità della luce nel mezzo tra gli elettrodi: è una proprietà generale delle onde TEM n Limpedenza caratteristica


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