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Nella lezione precedente: n Abbiamo analizzato nel dettaglio il dipolo ripiegato n Introdotto le schiere, a partire da due dipoli n Introdotto il fattore.

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1 Nella lezione precedente: n Abbiamo analizzato nel dettaglio il dipolo ripiegato n Introdotto le schiere, a partire da due dipoli n Introdotto il fattore di schiera ed il principio di moltiplicazione dei diagrammi di radiazione n Analizzato le schiere lineari: in particolare u abbiamo introdotto il concetto di polinomio associato u il concetto di spazio visibile n Considerato una sottoclasse importanti: le schiere uniformi (ovvero correnti con la stessa ampiezza) u verificato che in questa sottoclasse occorre uno sfasamento progressivo nullo per avere schiere broadside u sfasamento invece pari a kd per avere schiere endfire

2 Nella lezione precedente: u Valutato espressioni esatte ed approssimate per le rispettive direttività n Nella classe delle lineari equispaziate non uniformi abbiamo analizzato la schiera binomiale: niente lobi secondari ma lobo principale più largo

3 Array Parassiti Una schiera in cui non tutti gli elementi sono alimentati si dice schiera parassita Gli elementi non alimentati sono eccitati per effetto dellaccoppiamento con quelli alimentati e con gli altri parassiti Gli elementi parassiti si distinguono in u direttori: nella direzione del lobo principale u riflettori: in direzione opposta Lesempio più noto è la Yagi-Uda, usatissima in HF (3- 30MHz), VHF (30-300MHz) ed UHF (300MHz-3 GHz) Nella Yagi-Uda un solo elemento è alimentato

4 Array Parassiti: Yagi-Uda consideriamo inizialmente un array di 2 elementi: uno alimentato e laltro no Se V 2 ed I 2 sono tensioni e correnti al morsetto alimentato, possiamo pensare che il riflettore abbia i morsetti cortocircuitati (V 1 =0; I 1 ) ed ottenere una relazione tra I 1 ed I 2 sfruttando la matrice di impedenza 1 2

5 Array Parassiti: Yagi-Uda 12 Il fattore di schiera risulta quindi Ora: limpedenza mutua può essere variata variando la distanza d, mentre Z 11 variando la lunghezza del riflettore Se lelemento è più piccolo della lunghezza di risonanza, ha impedenza capacitiva, altrimenti induttiva Nella pratica si trova: un valore ottimale di d è circa 0.15 u il primo elemento, per fungere da riflettore deve essere induttivo (altrimenti funge da direttore)

6 Array Parassiti: Yagi-Uda Se si inserisce sia un riflettore che un direttore, la direttività aumenta Si trova che aggiungere ulteriori riflettori non migliora le prestazioni di molto riflettore direttore Lobo principale Aggiungere ulteriori direttori sì; di solito si hanno tra 6-12 direttori (anche se ne esistono con elementi) Man mano che si aggiungono direttori il loro effetto ovviamente diminuisce perché diminuisce lentità delle correnti indotte Il guadagno tipico è di 14 dB (con 8-10 elementi in totale) Inconveniente: bassa resistenza di radiazione; di solito si usa come elemento alimentato un dipolo ripiegato

7 Introduzione alla Sintesi di array E possibile approssimare un desiderato fattore di schiera scegliendo opportunamente ampiezze e fasi delle correnti Supponiamo di avere una schiera lineare simmetrica, con un numero dispari di elementi equispaziati Sappiamo che il fattore di schiera può essere scritto per mezzo del polinomio associato

8 Introduzione alla Sintesi di array Poiché z ha modulo unitario, anche le sue potenze hanno modulo unitario e se dividiamo per z m f(z), il suo modulo non cambia Ora supponiamo che le correnti di alimentazione degli elementi simmetrici rispetto a quello centrale siano complesse coniugate, ovvero che elementi simmetrici siano alimentati con correnti di ugual ampiezza ma deviazione rispetto allo sfasamento progressivo opposta

9 Introduzione alla Sintesi di array In tal caso potremo scrivere E la somma di due termini simmetrici rispetto a quello centrale diventa

10 Introduzione alla Sintesi di array Quindi Ovvero: il fattore di schiera per una schiera a 2m+1 elementi equispaziati ed alimentati simmetricamente, si presenta nella forma di una serie di Fourier troncata ai primi 2m+1 termini, in cui ak sono i coefficienti dei termini coseno e -bk quelli dei termini seno Quindi un qualsiasi fattore di schiera specificato come f( ) può essere espanso in serie di Fourier con un numero infinito di termini, ed approssimato con la precisione voluta da una serie troncata come quella introdotta

11 Introduzione alla Sintesi di array Allora per la sintesi basta espandere in serie di Fourier il diagramma desiderato ed ottenere le correnti di alimentazione ricordando le relazioni tra i coefficienti e le correnti Notate che, per una spaziatura minore di mezza lunghezza donda, il range di visibilità non sarà lintero angolo 2 essendo

12 Introduzione alla Sintesi di array Quindi in tal caso, mentre f( ) è ovviamente specificato in tutto lintervallo, f( ) è solo specificato in una parte dellintervallo necessario allespansione, e può essere completata a piacimento Ovviamente converrebbe completarla in modo che la serie di Fourier sia la più rapidamente convergente Se la spaziatura è esattamente mezza lunghezza donda il problema non esiste, visto che entrambe le funzioni sono definite in [0,2 ]. Per spaziature maggiori di mezza lunghezza donda, lintervallo di definizione eccede [0,2 ] e questo metodo non può più essere usato

13 Schiere di Dolph-Tchebyscheff Abbiamo visto che un elevato grado di rastremazione (Tapering) della distribuzione di corrente dal centro verso i bordi della schiera produce bassi livelli dei lobi laterali a scapito del lobo principale, più largo Talvolta può essere richiesto di avere contemporaneamente un lobo principale più stretto e dei lobi laterali più bassi Si capisce come il miglior compromesso si ha quando si hanno quanti più lobi laterali possibili, e con lo stesso livello Infatti, per una data larghezza del lobo principale, il primo secondario può essere abbassato spostando il secondo nullo più vicino al primo

14 Schiere di Dolph-Tchebyscheff Questo comporta un incremento del livello del secondo lobo laterale, ma è possibile finché il livello di questo non raggiunge il livello del primo lobo laterale Quindi il diagramma ottimo si ottiene quando tutti i lobi laterali hanno lo stesso livello Polinomi che ben si adattano a descrivere una simile situazione sono i polinomi di Tchebyscheff definiti come

15 Schiere di Dolph-Tchebyscheff Si vede che ed i polinomi di ordine superiore si possono ottenere con la formula di ricorrenza Inoltre si ottiene che i polinomi di ordine pari sono pari e quelli di ordine dispari sono dispari che passano tutti per il punto (1,1) Tutti gli zeri si hanno nel range -1

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17 Schiere di Dolph-Tchebyscheff quindi se x varia da un valore c ( 1 in modulo), il polinomio di Tchebyscheff descrive una serie di lobi laterali uguali (altezza 1) ed un lobo principale (altezza>1); questa proprietà li rende adeguati al nostro compito Immaginiamo di avere una schiera a 2m elementi dividiamo per ed il modulo ovviamente non cambia quindi

18 Schiere di Dolph-Tchebyscheff Se abbiamo elementi simmetrici rispetto a quello centrale avremo Analogamente per 2m+1 elementi otterremo In pratica si dimostra che il fattore di schiera in queste condizioni è somma di termini cos(k /2) con k fino a N-1 Ma cos(k /2) è un polinomio di grado k in cos( /2) (per dimostrarlo si può partire dalla identità di Eulero ed eseguire le potenze)

19 Schiere di Dolph-Tchebyscheff Quindi: il fattore di schiera di una schiera lineare con N elementi equispaziati ed alimenttati con correnti con sfasamento progressivo ed ampiezze simmetriche rispetto allelemento centrale è un polinomio di grando N-1 nella variabile reale cos( /2) Si può quindi imporre che tale polinomio coincida con il polinomio di T. di ordine N-1 Chiaramente non possiamo semplicemente porre o x varierebbe solo tra -1 ed 1, dove i polinomi di T. variano tra -1 ed 1 e non si avrebbero lobi principali…..

20 Schiere di Dolph-Tchebyscheff Possiamo invece porre Allora il lobo principale, corrispondente al massimo, sarà semplicemente Posto quindi N-1=m avremo Se poi definiamo anche

21 Schiere di Dolph-Tchebyscheff avremo resta da trovare la distribuzione di correnti della schiera. Il modo migliore è trovare gli zeri del polinomio associato, legarli agli zeri x k del polinomio T N-1 (x) mediante la relazione e trovare le ampiezze delle correnti, recuperando il polinomio come

22 Schiere di Dolph-Tchebyscheff Per trovare i nulli, poniamo m=N-1 e consideriamo il polinomio di T di grado m, e poniamo così che I nulli sono per ovvero e, ovviamente

23 Schiere di Dolph-Tchebyscheff Gli zeri del polinomio di T sono relazionati a quelli del polinomio caratteristico, come detto da ovvero

24 Schiere di Dolph-Tchebyscheff n E dato il rapporto b tra il lobo principale ed il lobo laterale, ed il numero di elementi da usare N n Si pone m=N-1 n Si calcolano n Si determinano i nulli del polinomio di T di grado m n Si relazionano con i nulli del polinomio caratteristico n Si calcola il polinomio caratteristico e quindi lampiezza delle correnti

25 Antenne ad apertura: sorgente di Huygens Elemento bidimensionale di corrente In pratica una dimensione in più rispetto al dipolo Hertziano che era un elementino monodimensionale Consideriamo tuttavia sia un elementino di corrente elettrica che magnetica: in pratica sono correnti equivalenti corrispondenti ad elemento di onda piana che si propaga in z Sfruttando il teorema di equivalenza, possiamo sostituire i campi elettrici e magnetici con sorgenti magnetiche ed elettriche che irradiano su una superficie infinita (z=0) x y z dx dy ExEx HyHy

26 Antenne ad apertura: sorgente di Huygens Per calcolare i campi useremo sia i potenziali elettrici che magnetici per una sorgente infinitesima (r->0) Approssimazione introdotta nella 3a lezione Il duale per la sorgente magnetica

27 Antenne ad apertura: sorgente di Huygens dai potenziali elettrici il campo lontano è per i potenziali magnetici possiamo ricavare le espressioni per dualità (per ricavarci le relazioni da coordinate rettangolari a sferiche possiamo usare la matrice M che abbiamo introdotto)

28 Antenne ad apertura: sorgente di Huygens Quindi sovrapponendo i contributi

29 Antenne ad apertura: sorgente di Huygens Il diagramma di radiazione risulta x z cardioide

30 Apertura rettangolare su piano metallico infinito o y E z ˆ n ˆ o ys En ˆ M = Principiodi equivalenza = Principio dell'immagine s M s M s M2 = Sovrapposizione degli effetti Applichiamo il principio di equivalenza+quello delle immagini+sovrapposizione degli effetti

31 Apertura rettangolare su piano metallico infinito Ma qual è il campo sullapertura? Ha la distribuzione di campo del modo fondamentale della guida donda (TE 10 ) In una guida donda i modi possibili si ottengono risolvendo per separazione di variabili lequazione donda ed imponendo le condizioni al contorno (annullamento campi tangenziali alla guida) In pratica si ottiene una (doppia) infinità di soluzioni di tipo seno/coseno (caratterizzati da indici n,m), ciascuno avente costante di propagazione reale solo per frequenze maggiori di una frequenza propria: frequenza di taglio Il modo con frequenza di taglio più in basso (modo fondamentale) è il TE di indici 1,0, che ha come campi non nulli solo E y, H x ed H z

32 Apertura rettangolare su piano metallico infinito Quindi la sorgente magnetica è x y 2 a 2 a 2b 2b eq M

33 Apertura rettangolare su piano metallico infinito ed il potenziale magnetico vale, per dualità rispetto allespressione del il potenziale lontano ricavato alla lezione 3 ora, nel nostro caso in realtà r va integrato solo sulla superficie z=0 cioè

34 Apertura rettangolare su piano metallico infinito per cui avremo avendo definito

35 Apertura rettangolare su piano metallico infinito Inserendo la corrente magnetica si ha

36 Apertura rettangolare su piano metallico infinito noto il potenziale, abbiamo i campi lontani

37 Apertura rettangolare su piano metallico infinito Analizziamo le caratteristiche di tale campo piano per piano Prima il piano E (YZ) Analizziamo il lobo principale: il primo nullo si ha quando si annulla il seno

38 Apertura rettangolare su piano metallico infinito Quindi nel caso di b molto maggiore di langolo è approssimabile direttamente con il rapporto a destra Chiaramente la larghezza del lobo in tale piano dipende dallaltezza della fessura b vediamo il primo lobo secondario, analizzando i massimi; si tratta di una funzione tipo sinc

39 Apertura rettangolare su piano metallico infinito Calcoliamo quindi i massimi del numeratore Notate che abbiamo preso il primo massimo DOPO il primo zero, visto che siamo interessati al lobo secondario Possiamo valutare il campo relativo a tale max e confrontarlo con quello del lobo principale. Per tale valore avremo

40 Apertura rettangolare su piano metallico infinito e calcolando il rapporto per valori grandi di b si ha notate che vale quanto il rapporto trovato per schiere uniformi di grandi dimensioni notate anche che la distribuzione di campo in questo piano dipende dalla distribuzione della corrente equivalente in y, dove essa risulta uniforme

41 Apertura rettangolare su piano metallico infinito Prima il piano H (XZ) Analizziamo il lobo principale: il primo nullo si ha quando si annulla il coseno

42 Apertura rettangolare su piano metallico infinito Quindi nel caso di a molto maggiore di langolo è approssimabile direttamente con il rapporto a destra Chiaramente la larghezza del lobo in tale piano dipende dalla larghezza della fessura a vediamo il primo lobo secondario, analizzando i massimi

43 Apertura rettangolare su piano metallico infinito Calcoliamo quindi i massimi del numeratore Possiamo valutare il campo relativo a tale max e confrontarlo con quello del lobo principale. Per tale valore avremo Se a >>

44 Apertura rettangolare su piano metallico infinito Invece il valore del lobo principale è ( =0) ed il rapporto risulta notate che in questo piano la distribuzione di campo dipende dalla distribuzione della corrente magnetica in x, che risulta sinusoidale e non uniforme; quindi più rastremata, dolce; come ci aspettavamo i lobi secondari sono più bassi

45 Apertura rettangolare su piano metallico infinito Diagramma di radiazione per unapertura con a =3 e b =2

46 Apertura rettangolare su piano metallico infinito Al variare delle dimensioni sul piano E: u Allaumentare della dimensione b, la larghezza del lobo principale diminuisce u Ma il rapporto SSL non diviene migliore di 13 dB, anche aumentando la larghezza b dellapertura Al variare delle dimensioni sul piano H: u Simile comportamento con a, anche se con SSL migliori

47 Apertura rettangolare su piano metallico infinito Direttività La massima densità di potenza si ha per =0 dove si ha Ora, essendo la direttività per definizione Ci occorre ancora la potenza irradiata totale

48 Apertura rettangolare su piano metallico infinito La potenza totale è calcolata come quella che transita attraverso lapertura Se si tratta effettivamente di una guida donda rettangolare, e se trascuriamo il coefficiente di riflessione di tale guida allapertura, campo elettrico e campo magnetico trasverso (quindi nel nostro caso Ey ed Hx) sono legati da una impedenza caratteristica modale dove

49 Apertura rettangolare su piano metallico infinito Se lapertura è molto grande avverrà che In tali condizioni, sullapertura Per cui

50 Apertura rettangolare su piano metallico infinito Per larea efficace, useremo lidentità Dove abbiamo introdotto un nuovo parametro di efficienza (tra 0 ed 1) che nel nostro caso è circa 0.81 e sarebbe stato unitario con correnti uniformi


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