Nella lezione precedente:

Nella lezione precedente:
Abbiamo analizzato nel dettaglio il dipolo ripiegato Introdotto le schiere, a partire da due dipoli Introdotto il fattore di schiera ed il principio di moltiplicazione dei diagrammi di radiazione Analizzato le schiere lineari: in particolare abbiamo introdotto il concetto di polinomio associato il concetto di spazio visibile Considerato una sottoclasse importanti: le schiere uniformi (ovvero correnti con la stessa ampiezza) verificato che in questa sottoclasse occorre uno sfasamento progressivo nullo per avere schiere broadside sfasamento invece pari a kd per avere schiere endfire

Nella lezione precedente:
Valutato espressioni esatte ed approssimate per le rispettive direttività Nella classe delle lineari equispaziate non uniformi abbiamo analizzato la schiera binomiale: niente lobi secondari ma lobo principale più largo

Array “Parassiti” Una schiera in cui non tutti gli elementi sono alimentati si dice schiera parassita Gli elementi non alimentati sono eccitati per effetto dell’accoppiamento con quelli alimentati e con gli altri parassiti Gli elementi parassiti si distinguono in direttori: nella direzione del lobo principale riflettori: in direzione opposta L’esempio più noto è la Yagi-Uda, usatissima in HF (3-30MHz), VHF (30-300MHz) ed UHF (300MHz-3 GHz) Nella Yagi-Uda un solo elemento è alimentato

Array “Parassiti”: Yagi-Uda
consideriamo inizialmente un array di 2 elementi: uno alimentato e l’altro no 1 2 f Se V2 ed I2 sono tensioni e correnti al morsetto alimentato, possiamo pensare che il riflettore abbia i morsetti cortocircuitati (V1=0; I1) ed ottenere una relazione tra I1 ed I2 sfruttando la matrice di impedenza

1 2 f Il fattore di schiera risulta quindi Ora: l’impedenza mutua può essere variata variando la distanza d, mentre Z11 variando la lunghezza del riflettore Se l’elemento è più piccolo della lunghezza di risonanza, ha impedenza capacitiva, altrimenti induttiva Nella pratica si trova: un valore ottimale di d è circa 0.15l il primo elemento, per fungere da riflettore deve essere induttivo (altrimenti funge da direttore)

Se si inserisce sia un riflettore che un direttore, la direttività aumenta riflettore direttore Lobo principale Si trova che aggiungere ulteriori riflettori non migliora le prestazioni di molto Aggiungere ulteriori direttori sì; di solito si hanno tra 6-12 direttori (anche se ne esistono con elementi) Man mano che si aggiungono direttori il loro effetto ovviamente diminuisce perché diminuisce l’entità delle correnti indotte Il guadagno tipico è di 14 dB (con 8-10 elementi in totale) Inconveniente: bassa resistenza di radiazione; di solito si usa come elemento alimentato un dipolo ripiegato

Introduzione alla Sintesi di array
E’ possibile approssimare un desiderato fattore di schiera scegliendo opportunamente ampiezze e fasi delle correnti Supponiamo di avere una schiera lineare simmetrica, con un numero dispari di elementi equispaziati Sappiamo che il fattore di schiera può essere scritto per mezzo del polinomio associato

Poiché z ha modulo unitario, anche le sue potenze hanno modulo unitario e se dividiamo per zm f(z), il suo modulo non cambia Ora supponiamo che le correnti di alimentazione degli elementi simmetrici rispetto a quello centrale siano complesse coniugate, ovvero che elementi simmetrici siano alimentati con correnti di ugual ampiezza ma deviazione rispetto allo sfasamento progressivo opposta

In tal caso potremo scrivere E la somma di due termini simmetrici rispetto a quello centrale diventa

Quindi Ovvero: il fattore di schiera per una schiera a 2m+1 elementi equispaziati ed alimentati simmetricamente, si presenta nella forma di una serie di Fourier troncata ai primi 2m+1 termini, in cui ak sono i coefficienti dei termini coseno e -bk quelli dei termini seno Quindi un qualsiasi fattore di schiera specificato come f(Y) può essere espanso in serie di Fourier con un numero infinito di termini, ed approssimato con la precisione voluta da una serie troncata come quella introdotta

Allora per la sintesi basta espandere in serie di Fourier il diagramma desiderato ed ottenere le correnti di alimentazione ricordando le relazioni tra i coefficienti e le correnti Notate che, per una spaziatura minore di mezza lunghezza d’onda, il range di visibilità non sarà l’intero angolo 2p essendo

Quindi in tal caso, mentre f(f) è ovviamente specificato in tutto l’intervallo, f(Y) è solo specificato in una parte dell’intervallo necessario all’espansione, e può essere completata a piacimento Ovviamente converrebbe completarla in modo che la serie di Fourier sia la più rapidamente convergente Se la spaziatura è esattamente mezza lunghezza d’onda il problema non esiste, visto che entrambe le funzioni sono definite in [0,2p]. Per spaziature maggiori di mezza lunghezza d’onda, l’intervallo di definizione eccede [0,2p] e questo metodo non può più essere usato

Schiere di Dolph-Tchebyscheff
Abbiamo visto che un elevato grado di rastremazione (Tapering) della distribuzione di corrente dal centro verso i bordi della schiera produce bassi livelli dei lobi laterali a scapito del lobo principale, più largo Talvolta può essere richiesto di avere contemporaneamente un lobo principale più stretto e dei lobi laterali più bassi Si capisce come il miglior compromesso si ha quando si hanno quanti più lobi laterali possibili, e con lo stesso livello Infatti, per una data larghezza del lobo principale, il primo secondario può essere abbassato spostando il secondo nullo più vicino al primo

Questo comporta un incremento del livello del secondo lobo laterale, ma è possibile finché il livello di questo non raggiunge il livello del primo lobo laterale Quindi il diagramma ottimo si ottiene quando tutti i lobi laterali hanno lo stesso livello Polinomi che ben si adattano a descrivere una simile situazione sono i polinomi di Tchebyscheff definiti come

Si vede che ed i polinomi di ordine superiore si possono ottenere con la formula di ricorrenza Inoltre si ottiene che i polinomi di ordine pari sono pari e quelli di ordine dispari sono dispari che passano tutti per il punto (1,1) Tutti gli zeri si hanno nel range -1<x<1 dove tutti oscillano tra -1 ed 1

quindi se x varia da un valore c (<1 in modulo) ad un valore x0 (>1 in modulo), il polinomio di Tchebyscheff descrive una serie di lobi laterali uguali (altezza 1) ed un lobo principale (altezza>1); questa proprietà li rende adeguati al nostro compito Immaginiamo di avere una schiera a 2m elementi dividiamo per ed il modulo ovviamente non cambia quindi

Se abbiamo elementi simmetrici rispetto a quello centrale avremo Analogamente per 2m+1 elementi otterremo In pratica si dimostra che il fattore di schiera in queste condizioni è somma di termini cos(kY/2) con k fino a N-1 Ma cos(kY/2) è un polinomio di grado k in cos(Y/2) (per dimostrarlo si può partire dalla identità di Eulero ed eseguire le potenze)

Quindi: il fattore di schiera di una schiera lineare con N elementi equispaziati ed alimenttati con correnti con sfasamento progressivo ed ampiezze simmetriche rispetto all’elemento centrale è un polinomio di grando N-1 nella variabile reale cos(Y/2) Si può quindi imporre che tale polinomio coincida con il polinomio di T. di ordine N-1 Chiaramente non possiamo semplicemente porre o x varierebbe solo tra -1 ed 1, dove i polinomi di T. variano tra -1 ed 1 e non si avrebbero lobi principali…..

Possiamo invece porre Allora il lobo principale, corrispondente al massimo, sarà semplicemente Posto quindi N-1=m avremo Se poi definiamo anche

avremo resta da trovare la distribuzione di correnti della schiera. Il modo migliore è trovare gli zeri del polinomio associato, legarli agli zeri xk del polinomio TN-1(x) mediante la relazione e trovare le ampiezze delle correnti, recuperando il polinomio come

Per trovare i nulli, poniamo m=N-1 e consideriamo il polinomio di T di grado m, e poniamo così che I nulli sono per ovvero e, ovviamente

Gli zeri del polinomio di T sono relazionati a quelli del polinomio caratteristico, come detto da ovvero

E’ dato il rapporto b tra il lobo principale ed il lobo laterale, ed il numero di elementi da usare N Si pone m=N-1 Si calcolano Si determinano i nulli del polinomio di T di grado m Si relazionano con i nulli del polinomio caratteristico Si calcola il polinomio caratteristico e quindi l’ampiezza delle correnti

Antenne ad apertura: sorgente di Huygens
Elemento bidimensionale di corrente In pratica una dimensione in più rispetto al dipolo Hertziano che era un elementino monodimensionale Consideriamo tuttavia sia un elementino di corrente elettrica che magnetica: in pratica sono correnti equivalenti corrispondenti ad elemento di onda piana che si propaga in z x y z dx dy Ex Hy Sfruttando il teorema di equivalenza, possiamo sostituire i campi elettrici e magnetici con sorgenti magnetiche ed elettriche che irradiano su una superficie infinita (z=0)

Per calcolare i campi useremo sia i potenziali elettrici che magnetici Approssimazione introdotta nella 3a lezione per una sorgente infinitesima (r’->0) Il duale per la sorgente magnetica

dai potenziali elettrici il campo lontano è (per ricavarci le relazioni da coordinate rettangolari a sferiche possiamo usare la matrice M che abbiamo introdotto) per i potenziali magnetici possiamo ricavare le espressioni per dualità

Quindi sovrapponendo i contributi

Il diagramma di radiazione risulta x z cardioide

Apertura rettangolare su piano metallico infinito
Applichiamo il principio di equivalenza+quello delle immagini+sovrapposizione degli effetti s M s M 2 o y E z ˆ n = o y s E M - = Principio di equivalenza = Principio dell'immagine = Sovrapposizione degli effetti

Ma qual è il campo sull’apertura? Ha la distribuzione di campo del modo fondamentale della guida d’onda (TE10) In una guida d’onda i modi possibili si ottengono risolvendo per separazione di variabili l’equazione d’onda ed imponendo le condizioni al contorno (annullamento campi tangenziali alla guida) In pratica si ottiene una (doppia) infinità di soluzioni di tipo seno/coseno (caratterizzati da indici n,m), ciascuno avente costante di propagazione reale solo per frequenze maggiori di una frequenza propria: frequenza di taglio Il modo con frequenza di taglio più in basso (modo fondamentale) è il TE di indici 1,0, che ha come campi non nulli solo Ey, Hx ed Hz

Quindi la sorgente magnetica è x y 2 a - b eq M

ed il potenziale magnetico vale, per dualità rispetto all’espressione del il potenziale “lontano” ricavato alla lezione 3 ora, nel nostro caso in realtà r’ va integrato solo sulla superficie z=0 cioè

per cui avremo avendo definito

Inserendo la corrente magnetica si ha

noto il potenziale, abbiamo i campi lontani

Analizziamo le caratteristiche di tale campo piano per piano Prima il piano E (YZ) Analizziamo il lobo principale: il primo nullo si ha quando si annulla il seno

Quindi nel caso di b molto maggiore di l l’angolo è approssimabile direttamente con il rapporto a destra Chiaramente la larghezza del lobo in tale piano dipende dall’altezza della fessura b vediamo il primo lobo secondario, analizzando i massimi; si tratta di una funzione tipo sinc

Calcoliamo quindi i massimi del numeratore Notate che abbiamo preso il primo massimo DOPO il primo zero, visto che siamo interessati al lobo secondario Possiamo valutare il campo relativo a tale max e confrontarlo con quello del lobo principale. Per tale valore avremo

e calcolando il rapporto per valori grandi di b si ha notate che vale quanto il rapporto trovato per schiere uniformi di grandi dimensioni notate anche che la distribuzione di campo in questo piano dipende dalla distribuzione della corrente equivalente in y, dove essa risulta uniforme

Prima il piano H (XZ) Analizziamo il lobo principale: il primo nullo si ha quando si annulla il coseno

Quindi nel caso di a molto maggiore di l l’angolo è approssimabile direttamente con il rapporto a destra Chiaramente la larghezza del lobo in tale piano dipende dalla larghezza della fessura a vediamo il primo lobo secondario, analizzando i massimi

Calcoliamo quindi i massimi del numeratore Possiamo valutare il campo relativo a tale max e confrontarlo con quello del lobo principale. Per tale valore avremo Se a>>l

Invece il valore del lobo principale è (J=0) ed il rapporto risulta notate che in questo piano la distribuzione di campo dipende dalla distribuzione della corrente magnetica in x, che risulta sinusoidale e non uniforme; quindi più “rastremata”, dolce; come ci aspettavamo i lobi secondari sono più bassi

Diagramma di radiazione per un’apertura con a=3l e b =2l

Al variare delle dimensioni sul piano E: All’aumentare della dimensione b, la larghezza del lobo principale diminuisce Ma il rapporto SSL non diviene migliore di 13 dB, anche aumentando la larghezza b dell’apertura Al variare delle dimensioni sul piano H: Simile comportamento con a, anche se con SSL migliori

Direttività La massima densità di potenza si ha per J=0 dove si ha Ora, essendo la direttività per definizione Ci occorre ancora la potenza irradiata totale

La potenza totale è calcolata come quella che transita attraverso l’apertura Se si tratta effettivamente di una guida d’onda rettangolare, e se trascuriamo il coefficiente di riflessione di tale guida all’apertura, campo elettrico e campo magnetico trasverso (quindi nel nostro caso Ey ed Hx) sono legati da una impedenza caratteristica modale dove

Se l’apertura è molto grande avverrà che In tali condizioni, sull’apertura Per cui

Per l’area efficace, useremo l’identità Dove abbiamo introdotto un nuovo parametro di efficienza (tra 0 ed 1) che nel nostro caso è circa 0.81 e sarebbe stato unitario con correnti uniformi

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