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Diciassettesima Lezione Potenziali ritardati e dipolo Hertziano.

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Presentazione sul tema: "Diciassettesima Lezione Potenziali ritardati e dipolo Hertziano."— Transcript della presentazione:

1 Diciassettesima Lezione Potenziali ritardati e dipolo Hertziano

2 Riassunto della lezione precedente n Potenze n Vettore di Poynting in campo complesso n Coefficiente di trasmissione, ROS n Calcoli con le linee n Onde piane e linee n Onde piane in mezzi stratificati

3 Radiazione: condizioni al contorno nel tempo n Cosa succede quando la regione S in cui si risolvono le eq di Maxwell è allinfinito? n Campi e variazioni, nonché le interazioni si propagano con velocità finita n Quindi la condizione al contorno su un contorno infinito, nel tempo, è che il campo allinfinito sia sempre nullo

4 Radiazione: condizioni al contorno in frequenza n In frequenza allinfinito vale la condizione di radiazione di Sommerfield n Sostituisce le condizioni su S fissando un flusso di potenza reale attraverso S allinfinito n Stabilisce che E ed H vadano a zero almeno come 1/r n Stabilisce che E ed H allinfinito approssimino unonda piana

5 Uso del potenziale vettore Abbiamo già introdotto e studiato il potenziale vettore: vediamo come usarlo nei problemi di radiazione Avevamo visto infatti che essendo E possibile scrivere e che il potenziale vettore può essere definito a meno del gradiente di un campo scalare (potenziale) Sostituiamo nellequazione di Faraday Quindi due grandezze con ugual rotore sono uguali a meno di un gradiente, per cui

6 Uso del potenziale vettore Ora usiamo tale espressione nella legge di Gauss Quindi Ora sostituiamo nella legge di Ampère Daltro canto sappiamo che e che la divergenza del potenziale vettore è un nostro grado di libertà (lezione 10). Quindi scegliamo Scelta (o Gauge) di Lorenz (..non Lorentz) Ludvig Valentine Lorenz, matematico danese, da non confondere con Hendrik Antoon Lorentz il fisico olandese delle trasformate di Lorentz, premio Nobel 1902 con Pieter Zeeman

7 Uso del potenziale vettore Con tale scelta, il potenziale vettore soddisfa ad unequazione donda, come la conosciamo Ed anche leq per il potenziale scalare diventa Nota: la scelta di Lorenz non solo semplifica i conti, ma ha un significato fisico: esprime in modo diverso la continuità della carica

8 Soluzione del potenziale vettore: statico Nel caso statico abbiamo già visto come fare; vediamo cosa succede con le formule attuali Come ci aspettavamo. Queste le abbiamo risolte (sempre lezione 10, anche se con notazione lievemente diversa)

9 Soluzione del potenziale vettore: Dinamico Usiamo un approccio euristico: sappiamo che la differenza principale tra caso statico e dinamico è che le interazioni si propagano in tempo finito Proviamo a determinare le soluzioni considerando solo questo fatto: quindi sostituendo alle equazioni possiamo verificare che funziona. Avremo allora essendo v uno sulla radice di, r il punto di osservazione ed r la variabile di integrazione V P r r r-r dV

10 Soluzione del potenziale vettore: Dinamico sinusoidale Le funzioni del tempo divengono semplicemente per cui va sottinteso

11 Il dipolo Hertziano E il più semplice esempio di radiatore: ideato da Heinrich Rudolf Hertz ed utilizzato nel suo esperimento del Trasmettitore Ricevitore

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13 Il dipolo Hertziano In modo più schematico Trasmettitore Ricevitore

14 Il dipolo Hertziano Supponiamo di avere una corrente filiforme orientata lungo z, di lunghezza piccola rispetto alla lunghezza donda (lunghezza h), e costante nello spazio. Immaginiamo che sia sinusoidale nel tempo (usiamo i fasori) La continuità della carica impone che agli estremi vi siano due cariche uguali ed opposte, anchesse variabili nel tempo h Vista lipotesi di elemento corto lintegrale diventa semplicemente I 0 h, e lunica componente non nulla è lungo z

15 Il dipolo Hertziano quindi abbiamo già tutto…lunica difficoltà è passare alle coordinate sferiche non cè componente angolare lungo vista la simmetria cilindrica A questo punto basta calcolare i campi

16 Il dipolo Hertziano Quindi B (ed H) ha solo componente lungo Considerazioni: in condizioni statiche k=0: il secondo termine, che rimane, è quello statico: ci potete riconoscere la formula di Laplace in cui Quindi: il termine statico decresce come 1/r 2, quello dinamico come 1/r

17 Il dipolo Hertziano Calcoliamo il campo elettrico (un po di conti…) Vedete un termine che decresce come r 3, che è quello del dipolo elettrostatico in cui I 0 /j è proprio la carica (per continuità) A grande distanza dominano solo i termini in 1/r (quindi Er è trascurabile); quindi a grande distanza

18 Il dipolo Hertziano a grande distanza come unonda piana!

19 Il dipolo Hertziano I campi di un dipolo hertziano, posto allincrocio dei piani

20 I grafici calcolati da Hertz!


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