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Corso di Probabilità e Inferenza 1 Corso di Laurea Specialistica in ECONOMIA APPLICATA Docente Sabrina Giordano.

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Presentazione sul tema: "Corso di Probabilità e Inferenza 1 Corso di Laurea Specialistica in ECONOMIA APPLICATA Docente Sabrina Giordano."— Transcript della presentazione:

1 Corso di Probabilità e Inferenza 1 Corso di Laurea Specialistica in ECONOMIA APPLICATA Docente Sabrina Giordano

2 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -2 Orario di ricevimento: Orario di ricevimento: martedì dalle 17 alle 19 Dipartimento di Economia e Statistica Cubo 0C terzo piano I lucidi ed il materiale didattico saranno disponibili sul sito: I lucidi ed il materiale didattico saranno disponibili sul sito:

3 Prova, Evento e Probabilità Concetti Primitivi: nozioni originarie ed intuitive. Prova (o esperimento): è qualsiasi attività sviluppata in condizioni di incertezza. Gli esperimenti di cui si occupa il C.P. sono quelli nei quali i risultati non sono certi perché non univoci. Evento: è uno dei possibili risultati della prova. Probabilità: è un numero associato al presentarsi di un certo evento e soddisfa alcune proprietà fondamentali detti assiomi del C.P.

4 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -4 Def.1. Spazio dei Campioni. E la totalità di tutti i possibili risultati di un esperimento concettuale. Verrà indicato con Ω. Def.1. Spazio dei Campioni. E la totalità di tutti i possibili risultati di un esperimento concettuale. Verrà indicato con Ω. Def.2. Evento Certo. Evento Impossibile. Levento certo è quello che si verifica sempre, Ω. Levento impossibile è quello che non si verifica mai, Def.2. Evento Certo. Evento Impossibile. Levento certo è quello che si verifica sempre, Ω. Levento impossibile è quello che non si verifica mai, Def.3. Spazio degli Eventi ( o Algebra di Boole). E linsieme di tutti i possibili sottoinsiemi di Ω Def.3. Spazio degli Eventi ( o Algebra di Boole). E linsieme di tutti i possibili sottoinsiemi di Ω

5 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -5 Unione Se si verifica A, o B, o entrambi Intersezione Se si verificano contemporaneamente A e B Negazione Ā Se non si verifica A Eventi incompatibili A B=Φ Eventi necessari A U B=Ω

6 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -6 Proprietà Unione Intersezione Commutativa Idempotenza Associativa Distributiva Inoltre, si ha:

7 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -7 Diagrammi di Venn A UNIONE INTERSEZIONE NEGAZIONE EVENTI INCOMPATIBILI EVENTI NECESSARI Ā A B A B AB Ω EVENTO CERTO

8 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -8 Leggi di De Morgan Partizione dello Spazio Campionario (1) (2) Si dice che gli eventi A 1,…,A k appartenenti ad formano una partizione dello spazio campionario se: (1) (2) cioè se sono a due a due incompatibili e necessari.

9 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -9 Esercizio 1 Esercizio 2 Siano A,B e C tre eventi che si identificano nei sottoinsiemi A={1,2,3,8}, B={2,3,5,7,8} e C={3,6,7,9,10} di un generico spazio ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Determinare i seguenti sottoinsiemi: Un esperimento casuale consiste nellestrarre contemporaneamente due palline da unurna contenente 1 pallina rossa, 3 palline bianche e 2 nere. Descrivere lo spazio dei campioni relativo allesperimento e costruire i sottoinsiemi in cui si identificano i seguenti eventi: 1. Le due palline estratte sono di colore differente ; 2. Le due palline estratte sono dello stesso colore; 3. Le due palline estratte sono entrambe rosse.

10 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -10 Esercizio 3 Esercizio 4 Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di due dadi da gioco; posto che le facce di ciascun dado siano state contraddistinte con gli interi dall1 al 6, costruire lo spazio dei campioni e i sottoinsiemi che rappresentano i seguenti eventi: Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di una moneta e di un dado da gioco. Si costruiscano lo spazio campionario relativo allesperimento ed i sottoinsiemi con cui si identificano i seguenti eventi: 1. I numeri sulle facce superiori dei due dadi sono uguali; 2. La somma dei due numeri sulle facce superiori dei due dadi è 5; 3. Il numero riportato dalla faccia superiore di un dado è doppio di quello riportato sulla faccia superiore dellaltro. 1. Testa per la moneta e numero pari per il dado; 2. Croce per la moneta e numero inferiore a 5 per il dado.

11 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -11 Esercizio 5 Esercizio 7 Da una raccolta di tre volumi contrassegnati con A,B e C ne vengono scelti a caso due. Costruire lo spazio degli eventi associato allo spazio campionario in questione. Nel lancio di un dado da gioco, le facce siano numerate dall1 al 6, sia A levento la faccia superiore mostra il numero 3 e B levento la faccia superiore riporta un numero dispari. A e B sono eventi disgiunti? Esercizio 6 Un esperimento casuale consiste nel rilevare il numero di teste e dicroci che si possono presentare nel lancio contemporaneo di tre monete. Costruire lo spazio campionario e lo spazio degli eventi ad esso associato. Esercizio 8 Si lancia due volte una moneta; sia A levento testa al primo lancio e B levento nei due lanci non appare la stessa faccia. A e B sono disgiunti?

12 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -12 Def. 4. Classica La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili. Def. 4. Classica La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili. Def. 5. Frequentista (o legge empirica del caso) In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero di volte in circostanze più o meno simili, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza relativa che è circa uguale alla sua probabilità. Lapprossimazione si riduce al crescere del numero di prove. Def. 5. Frequentista (o legge empirica del caso) In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero di volte in circostanze più o meno simili, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza relativa che è circa uguale alla sua probabilità. Lapprossimazione si riduce al crescere del numero di prove. Def. 6. Soggettivista La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può coerentemente formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un evento. Def. 6. Soggettivista La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può coerentemente formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un evento. Definizione di probabilità.

13 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -13 Assiomi del Calcolo delle Probabilità. Ricordando che un assioma (o postulato) è una proposizione che è considerata vera e non viene dimostrata nel contesto in cui è svolta la teoria in questione, Il C.P. presenta i seguenti assiomi: Siano A e B due eventi incompatibili allora

14 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -14 Teoremi fondamentali del C.P. Teo.1. Teo.2. Teo.3. Teo.4. Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciate per esercizio.

15 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -15 Esercizio 9 Dato un esperimento tale che: Calcolare: Esercizio 10 Siano A e B due eventi tali che: Calcolare:

16 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -16 Dipendenza. Assiomi e Teoremi fondamentali. Quando si ha motivo di credere che il verificarsi di uno o più eventi influenzino il verificarsi di altri eventi, allora si parlerà di eventi dipendenti (condizionati). Così, la probabilità dellevento A dato che si è già verificato levento B (ovvero levento B condiziona levento A), è: per In tal caso, B diventa il nostro nuovo spazio dei campioni; cioè si assume che la prova abbia dato luogo a qualche risultato in B. N.B. Un esperimento che consiste in più prove senza riposizione dà luogo ad eventi dipendenti

17 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -17 Si può verificare che valgono gli assiomi del C.P Se A 1 e A 2 sono incompatibili allora Le verifiche di (1), (2) e (3) sono lasciate per esercizio.

18 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -18 Valgono anche i teoremi fondamentali del C.P. nel caso in cui esiste un evento condizionante Teo.5. Teo.6. Teo.7. Teo.8. Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciate per esercizio.

19 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -19 Definizione di Indipendenza. Se il verificarsi di un evento non modifica la probabilità del verificarsi di un altro evento allora è lecito pensare che i due eventi siano indipendenti; questo può essere formalizzato con la seguente: Def. 7. Dati due eventi A e B, si dice che sono indipendenti se e solo se si verifica una delle seguenti condizioni:

20 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -20 Teo. 9 Se A e B sono indipendenti allora La dimostrazione del teorema è lasciata per esercizio. N.B. Un esperimento che consiste in più prove con riposizione dà luogo ad eventi indipendenti

21 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -21 Il teorema di Bayes Per illustrare il teorema, consideriamo il seguente esempio: supponiamo di avere due urne, la prima, U 1, contiene 4 palline bianche e 6 nere, la seconda, U 2, contiene 3 palline bianche e 5 nere. Si estrae a caso unurna e, successivamente, da questa si estrae una pallina. Ammesso che la pallina estratta sia bianca, ci si chiede qual è la probabilità che essa provenga dallurna U 1, se la probabilità di selezionare ciascuna delle urne è di 0.5 ? Per illustrare il teorema, consideriamo il seguente esempio: supponiamo di avere due urne, la prima, U 1, contiene 4 palline bianche e 6 nere, la seconda, U 2, contiene 3 palline bianche e 5 nere. Si estrae a caso unurna e, successivamente, da questa si estrae una pallina. Ammesso che la pallina estratta sia bianca, ci si chiede qual è la probabilità che essa provenga dallurna U 1, se la probabilità di selezionare ciascuna delle urne è di 0.5 ? Simili problemi si presentano ogni volta che un evento A può essere visto come il risultato - EFFETTO - di uno tra K possibili eventi - CAUSE - C 1, C 2, …,C K incompatibili e tali che uno di essi deve verificarsi necessariamente, e interessa valutare la probabilità che, avveratosi A, sia C j la causa che lo ha prodotto.

22 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -22 Supponiamo che gli eventi C 1,…,C K formino una partizione di Ω, cioè e e Levento A può essere scritto nel seguente modo Osservando che

23 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -23 si ha: Ricordando che Si può scrivere:

24 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -24 La domanda iniziale era la seguente: noto leffetto A, qual è la probabilità che tale effetto sia dovuto alla causa C j ? Lultima parte è il teorema di Bayes, dove P[C j /A] è chiamata probabilità a posteriori, cioè la probabilità che levento A, già verificatosi, sia dovuto alla causa C j ; mentre, la probabilità P[C j ] è chiamata probabilità a priori della causa C j (nel nostro esempio è la probabilità di estrarre lurna U 1 ). Infine, P[A/C j ] sono dette probabilità probative o verosimiglianze, rappresentano la probabilità con cui le singole cause C 1, …, C K generano levento A. Esse sono determinate empiricamente dallesperimento.

25 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -25 Ritornando allesempio iniziale, se indichiamo con P[U i ]=0.5 per i=1,2 le probabilità a priori, la probabilità a posteriori è:

26 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -26 Osservazione: Il teorema di Bayes può essere visto come un meccanismo che permette di correggere le informazioni a priori P[C j ] sulla base delle osservazioni sperimentali P[A/C j ] fornendo per lappunto la probabilità a posteriori. In questa formula, infatti, si combinano informazioni a priori e verosimiglianze, e quanto più la probabilità a posteriori P[C j /A] è diversa dalla probabilità a priori P[C j ], tanto più la verosimiglianza ha modificato le informazioni a priori sulle cause C j. Osservazione: Il teorema di Bayes può essere visto come un meccanismo che permette di correggere le informazioni a priori P[C j ] sulla base delle osservazioni sperimentali P[A/C j ] fornendo per lappunto la probabilità a posteriori. In questa formula, infatti, si combinano informazioni a priori e verosimiglianze, e quanto più la probabilità a posteriori P[C j /A] è diversa dalla probabilità a priori P[C j ], tanto più la verosimiglianza ha modificato le informazioni a priori sulle cause C j.

27 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -27 Esercizio 11 Supponiamo di avere unurna che contiene 8 palline rosse (R), 9 palline bianche (B), 13 palline nere (N) e 3 palline gialle (G). Effettuiamo la seguente prova: estrazione di due palline con riposizione. Calcolare la probabilità che: a) entrambe le palline siano rosse; b) la prima sia rossa e la seconda bianca; c) la prima gialla e la seconda non-rossa; d) la prima sia nera e la seconda non-bianca; e) che almeno una sia rossa.

28 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -28 Esercizio 12 Supponiamo di avere unurna che contiene 5 palline rosse (R), 4 bianche (B), 3 nere (N) e 6 gialle (G). Effettuiamo la seguente prova: estrazione di due palline senza riposizione. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) la prima rossa e la seconda rossa; b) la prima bianca e la seconda rossa; c) la prima gialla e la seconda non-rossa; d) la prima non-nera e la seconda bianca; e) la prima gialla e la seconda rossa o bianca; f) la prova generi almeno una pallina rossa.

29 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -29 Esercizio 13 Si è fatto uno studio per determinare leffetto dei programmi televisivi sui bambini. Ad un gruppo di bambini composto da un numero uguale di maschi e femmine è stato chiesto se sono mai stati spaventati da un programma televisivo. Il 25% dei bambini e il 44% delle bambine rispondono di si. Scegliendone uno a caso nel gruppo, determinare la probabilità che: 1. il bambino sia stato spaventato; 2. venga scelta una bambina, sapendo che il selezionato/a è stato/a spaventato/a; 3. sia scelta una bambina, sapendo che il bambino/a scelta/o non è stata/o spaventato/a; 4. sia scelto un bambino sapendo che il bambino scelto non è stato spaventato.

30 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -30 Esercizio 14 Un costruttore viene rifornito per gli stessi tipi di pezzi sia dalla ditta A che dalla ditta B. Tali pezzi vengono poi depositati assieme nello stesso magazzino. Per il passato si è osservato che i prodotti di A erano per il 5% difettosi, mentre quelli di B lo erano nella misura del 9%. La ditta A fornisce 4 volte più pezzi della ditta B. Avendo scelto un pezzo a caso dal magazzino ed avendo riscontrato che non è difettoso, qual è la probabilità che sia stato fornito da A?

31 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -31 Esercizio 15 Siano A e B due eventi dello spazio campionario tali che: Determinare P[B] se: a) A e B sono disgiunti ; b) A e B sono indipendenti ; c) P r [A/B]=0.6

32 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -32 Esercizio 16 La probabilità di essere malato di cancro in uno stadio iniziale è 0.1 per una persona in una certa classe detà. Il test A risulta positivo nel 99% dei casi in una persona malata e nel 5% dei casi in una persona sana. a) Qual è la probabilità di una corretta diagnosi con il test A nella data classe di età? b) Qual è la probabilità che una persona sia malata se il test A è negativo?

33 Corso di Probabilità e Inferenza 1 - S. Giordano -33 Riferimenti bibliografici 1. G. Cicchitelli (1984), Probabilità e Statistica. Maggioli Editore. Rimini. Pag A.M.Mood, F. Graybill e D.C. Boes (1988), Introduzione alla Statistica, McGraw-Hill, Milano. Pag D. Piccolo (2000), Statistica, il Mulino, Bologna. Pag D. Piccolo (2004) Statistica per le decisioni, il Mulino, Bologna, cap R. Orsi (1995), Probabilità ed Inferenza Statistica, il Mulino, Bologna, Pag


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