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DIDATTICA DELLA MATEMATICA TFA A048-A049-Matematica Incontro 5 aprile 2013 Rosetta Zan Dipartimento di Matematica, Università di Pisa

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Presentazione sul tema: "DIDATTICA DELLA MATEMATICA TFA A048-A049-Matematica Incontro 5 aprile 2013 Rosetta Zan Dipartimento di Matematica, Università di Pisa"— Transcript della presentazione:

1 DIDATTICA DELLA MATEMATICA TFA A048-A049-Matematica Incontro 5 aprile 2013 Rosetta Zan Dipartimento di Matematica, Università di Pisa

2 importanza per linsegnante di avere un repertorio di interpretazioni possibili Lapprendimento come attività costruttiva Misconcetti e modelli primitivi Linguaggio matematico e linguaggio quotidiano Razionalità matematica e altre forme di razionalità Convinzioni, atteggiamenti, emozioni

3 importanza per linsegnante di avere un repertorio di interpretazioni possibili Lapprendimento come attività costruttiva Misconcetti e modelli primitivi

4 In contesto scolastico ALLIEVO INSEGNANTE MATEMATICA Lallievo: interpreta i messaggi dellinsegnante alla luce delle proprie conoscenze, convinzioni, esperienze… interpretazione distorta MISCONCETTI

5 Lallievo interpreta... procedure termini simboli proprietà concetti dà loro un senso misconcetti

6 Lallievo interpreta…procedure Errori sistematici. Molti allievi sbagliano…...non perché applicano in modo scorretto procedure corrette Ma perché applicano (in modo corretto) procedure scorrette!

7 Scena 1: Johnnie 437 – 284 = = 253 Linsegnante: Hai dimenticato di sottrarre 1 da 4 nella colonna delle centinaia!

8 Lallievo interpreta… termini / simboli spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale …

9 A B C A B C Le altezze di un triangolo INFLUENZA DEL LINGUAGGIO laltezza di una persona …di una casa …di un ponte MODELLO PRIMITIVO

10 Lallievo interpreta… termini / simboli spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale …

11 Scena 7: Alice Deve riconoscere in alcuni enunciati lipotesi e la tesi. Sistematicamente, riconosce come ipotesi quella che invece è la tesi.

12 Lallievo interpreta… termini / simboli spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale …

13 Lallievo interpreta… termini / simboli spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale …

14 Scena 6: Marco Deve moltiplicare x + 1 per x +2: x + 1 (x+2) = = x 2 + 2x + x + 2 = x 2 + 3x + 2

15 Lallievo interpreta… termini / simboli spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale …

16 Lallievo interpreta… termini / simboli spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale …

17 Il segno di uguale In un bosco vengono piantati 425 alberi nuovi. Qualche anno dopo, vengono abbattuti i 217 alberi più vecchi. Nel bosco ci sono quindi 1063 alberi. Quanti alberi cerano prima che venissero piantati quelli nuovi? = 1280 – 425 = = dopo il segno = ci devessere la risposta, e non un altro problema! = 9 e = 9.

18 Problema: Quanti giorni di vacanza abbiamo avuto questestate? = = = = 97 "Secondo te questo calcolo fatto da due bambini di terza è giusto?" giugnoluglioagostosettembre Il segno di uguale

19 Una discussione in classe CHE COSA SIGNIFICA IL SEGNO "=" IN MATEMATICA? INS: Cosa vuol dire "essere uguale a", quel segno lì in matematica che significa? ILA: Vuol dire che viene il risultato.

20 LUI: Tu per fare l'uguale devi fare prima l'operazione e poi devi fare l'uguale, così ti viene fuori il risultato. GIO: Uguale significa avere un risultato in un'operazione, in una moltiplicazione e così INS: E se io scrivo 8=8 va bene? GIO: No, devi anche metterci +0 perché se no non si capisce… …devi metterci anche qualcosa.

21 Scena 9: Irene Irene, prima liceo classico: x 2 = 3x - 2 x 2 + 3x + 2 = 0 … e trova quindi le due soluzioni.

22 Irene Non sarò certo io a contestare una regola che tutti accettano! Mi adeguo senzaltro. Ma nessuno mi potrà mai convincere che se aggiungo la stessa quantità ai due membri di unequazione, non cambia niente!

23 Luso delle lettere Scrivi unequazione usando le variabili S e P per rappresentare il seguente enunciato: In questa università gli studenti sono 6 volte i professori. Usa S per il numero degli studenti, e P per il numero dei professori. In un gruppo di 150 matricole di Ingegneria il 37% non scrive lequazione corretta S=6P. Lerrore più comune è: 6S=P. La percentuale di errore cresce al 73% in una versione del problema in cui il rapporto professori / studenti è 4:5 invece che 1:6.

24 In uno studio successivo viene utilizzata una versione modificata del test originario (Rosnick, 1981). Tale versione viene data ad un gruppo di 33 studenti che seguono un corso di statistica e a 119 studenti di scienze sociali in un corso di calcolo al secondo semestre: In questa università gli studenti sono 6 volte i professori. Questo fatto è rappresentato dallequazione: S=6P. a) In questa equazione, cosa sta ad indicare la lettera P? i) Professori ii) Professore iii) Numero dei professori iv) Nessuna delle risposte precedenti v) Più di una fra le risposte precedenti (se sì, indica quali) vi) Non so b) Cosa sta ad indicare la lettera S? i) Professore ii) Studente iii) Studenti iv) Numero degli studenti v) Nessuna delle risposte precedenti vi) Più di una fra le risposte precedenti (se sì, indica quali) vii) Non so 22 %

25 Lallievo interpreta…concetti misconcetti la moltiplicazione fa ingrandire un numero è negativo nella sua rappresentazione compare esplicitamente il segno - insieme

26 Modelli primitivi (E. Fischbein) Modello: moltiplicazione come addizione ripetuta Operando: può essere un numero positivo qualsiasi, Operatore: deve invece essere un numero intero si può dire 3 volte 0,65: 0,65 + 0,65 + 0,65 …ma 0,65 volte 3 ??? la moltiplicazione fa ingrandire

27 PROBLEMA 1 Da un quintale di grano si ottengono 0,75 quintali di farina. Quanta farina si ricava da 15 quintali di grano? PROBLEMA 2 Un chilo di detergente viene usato per produrre 15 chili di sapone. Quanto sapone può essere fatto con 0,75 chili di detergente? 35% 76%

28 Dare una definizione di tangente al grafico di una funzione. TANGENTE AL GRAFICO DI UNA FUNZIONE

29 Modello primitivo di tangente A Il disegno può portare a costruire unimmagine per il concetto di tangente in altri casi quali: concept imageconcept definition P

30 Quando gli studenti seguono un corso di analisi ricevono in genere una definizione formale di tangente in un punto al grafico di una funzione derivabile come retta passante per quel punto con pendenza uguale alla derivata della funzione nel punto. Nonostante questo, il loro modello di tangente, costruito attraverso esperienze che hanno coinvolto figure come le precedenti, può contenere elementi parassiti: ad esempio il vincolo che una tangente può incontrare una curva in un punto solo e non può attraversare la curva in quel punto. Questo modello (o per usare le parole di Vinner: concept image) è confermato dalle risposte date alle seguenti domande da 278 studenti che seguivano un corso di analisi al primo anno di università:

31 Di seguito sono disegnate tre curve. Su ognuna di esse è scelto un punto P. Per ognuno dei tre casi scegli l'affermazione che ti sembra corretta fra le tre elencate sotto, e segui le istruzioni fra parentesi. A.Per P è possibile condurre esattamente una tangente alla curva (disegnala). B.Per P è possibile condurre più di una tangente (specifica quante: due, tre, infinite. Disegnale tutte se sono in numero finito, ed alcune se sono infinite). C.Per P è impossibile condurre tangenti alla curva.

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35 In contesto scolastico ALLIEVO INSEGNANTE MATEMATICA Lallievo: interpreta i messaggi dellinsegnante alla luce delle proprie conoscenze, convinzioni, esperienze… interpretazione distorta MISCONCETTI ITALIANO Verbi riflessivi: Sono quelli che descrivono azioni che si fanno allo specchio. Pettinarsi, lavarsi, truccarsi…

36 Decisioni dellinsegnante Portare alla luce i misconcetti Come? Cercare di scardinarli

37 Decisioni dellinsegnante Portare alla luce i misconcetti 1. Indicatori: Errori sistematici Strategia: chiedere la collaborazione dellallievo nel descrivere i propri processi di pensiero 2. Proporre situazioni non standard in cui gli schemi degli allievi non funzionano 3. Questionari

38 2. Proporre situazioni non standard in cui gli schemi degli allievi non funzionano Il giardino di Torquato?

39 fornisce una relazione approssimativa fra n e P, dove: n = numero di passi al minuto, e P = lunghezza del passo in metri Dalle prove PISA. Andatura La figura mostra le orme di un uomo che cammina. La lunghezza P del passo è la distanza fra la parte posteriore di due orme consecutive. Per gli uomini, la formula

40 - Domanda 1: Se la formula si applica allandatura di Enrico ed Enrico fa 70 passi al minuto, qual è la lunghezza del passo di Enrico? Scrivi qui sotto i passaggi che fai per arrivare alla risposta. n = numero di passi al minuto P = lunghezza del passo in metri Risultati (Italia): 23% risposte corrette 35% omissioni

41 - Domanda 1: Se la formula si applica allandatura di Enrico ed Enrico fa 70 passi al minuto, qual è la lunghezza del passo di Enrico? Scrivi qui sotto i passaggi che fai per arrivare alla risposta. n = numero di passi al minuto P = lunghezza del passo in metri 70 / P = 140 Errore più frequente: 140 / 70

42 3. Questionari positivonegativodipende a 2 + 1è un numero a 2 - 5è un numero a a a + 3 è un numero aè un numero aè un numero - 5 a 2 è un numero - aè un numero Negli esempi che seguono a è un numero diverso da zero. Allora:

43 Decisioni dellinsegnante Portare alla luce i misconcetti Cercare di scardinarli Rendere gli allievi consapevoli Costruire situazioni di conflitto cognitivo Discussione collettiva

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45 Alcune implicazioni generali 1. Il ruolo del contesto 2. Il ruolo dellerrore: 2.1 Lepistemologia e la pedagogia dellerrore 2.2 Linterpretazione dellerrore Distinzione errore / fallimento Un repertorio di interpretazioni COMPITO PER CASA Riflettere: sulla distinzione fra errore e fallimento sulle implicazioni di tale distinzione

46 errore / fallimento

47 In contesto scolastico: Un soggetto : è linsegnante riconosce il fallimento… ed individua i comportamenti fallimentari di un altro soggetto : èlallievo

48 Linsegnante… Vuole che lallievo modifichi i suoi comportamenti fallimentari Cioè i comportamenti che secondo linsegnante lo hanno portato… …al fallimento riconosciuto dallinsegnante stesso

49 linsegnante vuole che lallievo modifichi i propri comportamenti INSEGNANTEALLIEVO ma è lallievo che deve modificarli

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51 implicazioni didattiche

52 Se l'allievo si è posto un obiettivo diverso, o non si è posto alcun obiettivo, non necessariamente condivide il fallimento osservato dall'insegnante. E se daltra parte non riconosce un fallimento, per quali motivi dovrebbe cambiare i propri comportamenti? OSSERVAZIONE 1

53 linsegnante ha in mente un obiettivo interno alla matematica (trovare lipotenusa, le soluzioni di unequazione, …) INSEGNANTEALLIEVO lallievo si pone un obiettivo esterno alla matematica (dare la risposta giusta, prendere un buon voto, …)

54 Spesso… Lallievo non riconosce il fallimento individuato dallinsegnante perché si è posto un obiettivo diverso OBIETTIVO: dare la risposta corretta

55 Esempio: Marco Deve moltiplicare x + 1 per x +2: x + 1 (x+2) = x 2 + 2x + x + 2 = x 2 + 3x + 2 per linsegnante… ci sono 2 errori! …per Marco lobiettivo è stato raggiunto

56 ERRORE FALLIMENTO

57 ERRORE ALLIEVOINSEGNANTE FALLIMENTO

58 Inoltre non è detto che lallievo condivida l'individuazione dei comportamenti fallimentari. E daltra parte lui vorrà cambiare i comportamenti che lui stesso (e non linsegnante) riconosce come fallimentari… OSSERVAZIONE 2

59 Esempio 1: Se lallievo ha copiato male il compito da un compagno bravo… …e non ha risolto correttamente gli esercizi Deve studiare / esercitarsi di più, meglio… Devo copiare meglio… Comportamenti fallimentari: Non aver studiato Aver copiato male

60 Esempio 2: Risposte a caso… Per lallievo il comportamento fallimentare è: Aver dato quella particolare risposta Per linsegnante. Aver risposto a caso …cambia la risposta!

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62 APPROFONDIMENTO: Le ricerche sui processi decisionali

63 Luigi ha 34 anni. E intelligente, ma ha poca fantasia, è abitudinario, metodico e non molto attivo. A scuola era bravo in matematica, ma debole nelle materie umanistiche. a) Luigi fa il medico e gioca a poker per hobby b) Luigi fa larchitetto c) Luigi fa il contabile d) Luigi suona per hobby musica jazz e) Luigi ha lhobby del surf f) Luigi fa il giornalista g) Luigi fa il contabile, e suona per hobby musica jazz h) Luigi ha lhobby dellalpinismo

64 Linda ha 31 anni. E nubile, schietta e molto brillante. Ha una laurea in filosofia. Da studentessa si interessava molto ai problemi di discriminazione razziale e di ingiustizia sociale, e prendeva parte attiva alle dimostrazioni anti-nucleari. a) Linda insegna in una scuola elementare b) Linda lavora in una libreria e prende lezioni di yoga c) Linda è attiva nel movimento femminista f) Linda lavora in una banca d) Linda è unassistente sociale e) Linda è membro della Organizzazione Elettorale Femminile h) Linda lavora in una banca ed è attiva nel movimento femminista g) Linda è un agente assicurativo

65 La roulette russa Sei persone si sfidano alla roulette russa usando una pistola con un tamburo a 6 colpi. La pistola ha un solo proiettile: ciascuno a turno preme il grilletto e, se è fortunato, passa la pistola al compagno accanto. (1) Secondo te qual è la posizione più sicura? 50%: la prima 23%: sono tutte equivalenti (2) In quale posizione preferiresti trovarti? 40%: la prima 40%: lultima

66 Tversky e Shafir, ) Hai appena consegnato gli scritti di un difficile esame universitario. Saprai dopodomani se sei stato promosso o se sei stato bocciato. Ti viene proposta unofferta particolarmente vantaggiosa per una vacanza alle isole Hawaii (un pacchetto tutto-compreso per sette giorni a sole lire). Devi, però, decidere entro domani, dando un anticipo di lire non rimborsabili. Puoi differire la decisione di un giorno (quindi, nel frattempo saprai con certezza se sei stato promosso o se sei stato bocciato), pagando un extra di non rimborsabili, e non scalabili dal prezzo del pacchetto. Che decideresti di fare? Allo studente viene poi chiesto cosa deciderebbe se sapesse: 2) di essere stato promosso 3) di essere stato bocciato

67 1) Situazione di incertezza 2) Sa di essere stato promosso 3) Sa di essere stato bocciato incerto C C C C N N N N C N C N C N C N C C N N C C N N promossobocciato C = compra N = non compra Le terne possibili:

68 Secondo te in italiano ci sono più parole di sette lettere che finiscono in –ndo n d o oppure più parole che hanno una n in terza posizione: - - n ?


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