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Le geometrie non euclidee di Paolo Bernacchioni Del matematico di Alessandria ci sono pervenuti Gli elementi, opera formata da 13 libri. Euclide (325.

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2 Le geometrie non euclidee di Paolo Bernacchioni

3 Del matematico di Alessandria ci sono pervenuti Gli elementi, opera formata da 13 libri. Euclide (325 ? a. C.) I primi quattro trattano le proposizioni fondamentali della geometria piana.

4 Edizione del 1498 degli Elementi di Euclide Limportanza degli Elementi non è tanto nei risultati e nelle relazioni geometriche in essi contenute, quanto nel metodo da essi proposto. Partendo da poche proposizioni assunte come vere (postulati e assiomi), se ne dimostrano altre (teoremi o proposizioni). Si utilizza il metodo deduttivo (Aristotele).

5 Euclide, Elementi Libro I Contiene: u 23 termini (le nostre definizioni) u 5 postulati (nozioni specifiche in Aristotele) u 8 assiomi (nozioni comuni in Aristotele) u 48 proposizioni (teoremi)

6 La geometria di Euclide è relativa ad oggetti che è possibile disegnare con riga e compasso, oggetti che hanno quindi una loro realtà intrinseca. Premessa importante Tutto cambia nel XIX secolo

7 David Hilbert ( ) Nel 1899 pubblicaFondamenti della geometria che rovescia limpostazione euclidea. Sono i postulati a definire implicitamente gli oggetti di una teoria matematica.

8 Euclide: i termini Sono definizioni di oggetti geometrici. Questi oggetti sono considerati entità reali. Ipunto è ciò che non ha parti IIlinea è lunghezza priva di larghezza III estremi di una linea sono punti IV linea retta quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti

9 Vsuperficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza VIEstremi di una superficie sono linee VII Superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa Notiamo che sono descrizioni di enti esistenti, a volte senza specificare bene i termini VIII - XII riguardano gli angoli XIII – XIV figure geometriche enti limitati XV - XVIII riguardano il cerchio

10 XX-XXII si definiscono i triangoli e i quadrilateri XXIII riguarda le rette parallele parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate illimitatamente dalluna e dallaltra parte, non si incontrano fra loro da nessuna delle due parti Che significa illimitatamente?

11 Euclide: le nozioni comuni (assiomi) Sono proposizioni vere in assoluto, anche al di fuori del contesto geometrico. I cose uguali a una stessa sono uguali tra loro II Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le somme ottenute sono uguali III Se da cose uguali si tolgono cose uguali, i resti sono uguali IV I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro ………… VII Cose che coincidono tra loro sono uguali …………

12 I primi 4 postulati Sono proposizioni relative alla geometria su cui tutti concordano (verità evidenti). 1. Da ogni punto si può condurre una retta ad ogni altro punto. 2. Una retta si può prolungare per diritto. 3. Con ogni centro e distanza si può disegnare un cerchio. 4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.

13 Il quinto postulato 5. Se una retta, incontrando altre due rette, forma gli angoli interni dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate allinfinito si incontrano da quella parte in cui gli angoli sono minori di due retti.

14 Ancora sul quinto postulato Cerchiamo di capire …. a b r s Se a + b < 2 retti allora r incontra s

15 Cosa dire del quinto postulato? u E intuitivo? u E verificabile operativamente? Inoltre...

16 Il fatto che le prime 28 proposizioni degli Elementi siano indipendenti dal V postulato fa pensare che Euclide cercasse di ritardare il più possibile la sua introduzione La Proposizione 17 dimostra linverso del V postulato In un triangolo la somma di due angoli, comunque presi, è minore di due angoli retti. E assurdo dimostrare linverso di un postulato

17 Nella proposizione (teorema) 29, Euclide utilizza per la prima volta il V postulato r s Se r parallela ad s tagliate da una trasversale si dimostra che: =, = e + = 2 retti

18 Dal 5° postulato derivano importanti proprietà geometriche Proposizione 32 la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due angoli retti a g b a + b + g = 2 retti

19 Sorgono spontanee delle domande u può essere riformulato più semplicemente? u è davvero un postulato o può essere dimostrato? u il 5° postulato è importante?

20 Proclo Diodoco ( ) Proclo dimostra che il 5° postulato è equivalente alla seguente proposizione: Per un punto fuori di una retta si può condurre una sola parallela alla retta data.

21 P r s La retta s esiste La retta s è unica

22 Molti matematici tentarono di dimostrare il 5° postulato... senza alcun successo!

23 Gerolamo Saccheri ( ) Il gesuita Saccheri fu il primo ad impostare correttamente il problema

24 Saccheri ragionò per assurdo, negando il 5° postulato Si aspettava di cadere in qualche contraddizione... ma invano! Costruì una geometria in cui da un punto esterno ad una retta si possono condurre infinite parallele alla retta data.

25 Saccheri formulò e dimostrò molti teoremi diversi da quelli della geometria euclidea... Senza nessuna necessità, ad un certo punto affermò di aver trovato una contraddizione. ma non seppe essere coerente fino in fondo!

26 Tutto cambia a partire dalla prima metà del XIX secolo

27 Nicolaj Ivanovic Lobacevskij ( ) Nel pubblica (in russo) Nuovi principi della geometria con una teoria completa delle parallele Nel 1840 (in tedesco) Ricerche geometriche sulla teoria delle parallele

28 Lobacevskij ammette i primi quattro postulati di Euclide … ma nega il quinto, per quanto riguarda lunicità della parallela.

29 Teoria di Lobacevskij P r s s La retta s parallela ad r esiste s non è lunica parallela ad r

30 Procedendo con metodo deduttivo, Lobacevskij deriva una geometria del tutto logica e priva di contraddizioni, oggi detta Geometria di Lobacevskij - Bolyai

31 Janos Bolyai ( ) Matematico ungherese, nel 1832 pubblica, in appendice ad un trattato del padre Wolfgang, uno scritto in cui arriva a conclusioni analoghe a quelle di Lobacevskij

32 Il padre Wolfgang, orgoglioso, sottopone il lavoro del figlio al più grande matematico dellepoca Karl Friedrich Gauss ma...

33 Karl Friedrich Gauss ( ) Gauss afferma che era da tempo arrivato alle stesse conclusioni... ma non le aveva pubblicate perché nessuno le avrebbe accettate. Bolyai ci rimane molto male...

34 Alcuni teoremi della geometria di Lobacevskij - Bolyai Detta anche Geometria iperbolica u per un punto passano infinite parallele u la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di due angoli retti u non ci sono quadrilateri con 4 retti u in triangoli disuguali le somme degli angoli interni sono disuguali

35 Il difetto tende a zero per triangoli di dimensioni sempre minori... a g b a + b + g = 2 retti - d d si dice difetto La geometria euclidea è un caso limite di quella iperbolica!

36 Bernhard Riemann ( ) Nel 1854 tesi per libera docenza a Gottingen: Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria

37 Lobacevskij e Bolyai negano lunicità della parallela... Riemann ne nega lesistenza. P r La parallela ad r non esiste

38 Una conseguenza della geometria di Riemann Detta anche Geometria ellittica u la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di due angoli retti

39 Leccesso tende a zero per triangoli di dimensioni sempre minori... a g b a + b + g = 2 retti + e e si dice eccesso La geometria euclidea è un caso limite anche di quella ellittica!

40 Sorgono spontanee delle domande Dato che esistono tre geometrie (iperbolica, ellittica ed euclidea)... u qual è la geometria vera? u si può rispondere a questa domanda? u ha senso la prima domanda?

41 Modelli di geometrie Tutti noi abbiamo un chiaro modello dellambiente in cui si realizza la geometria euclidea... un foglio di carta

42 Modelli di geometria iperbolica

43 Un esempio di modello di geometria iperbolica Superfici a curvatura negativa Pseudosfera

44 Eugenio Beltrami ( ) Matematico italiano, nel 1868 propose il modello di geometria iperbolica basato sulla pseudosfera.

45 Felix Klein ( ) Matematico tedesco, propose un altro modello di geometria iperbolica

46 Il modello di Klein per la geometria iperbolica Lambiente è un cerchio C privato della circonferenza di contorno C I punti sono quelli interni a C Le rette sono le corde (estremi esclusi) A B P r s t

47 Rette parallele nel modello di Klein CP r st Data le retta r ed il punto P esterno Esistono infinite parallele ad r per P Le rette s e t sonodi confine

48 Distanza tra punti nel modello di Klein CA B r Consideriamo i punti A, B su r Qual è la loro distanza? La nozione usuale non va bene.

49 La distanza di Klein è un po complicata... CA B r HK

50 CA r H ma efficace per piccole distanze... BKBBBB B Se B A

51 e grandi distanze! Se B K CA r HK BBBBBBB La retta ha lunghezza infinita!

52 Un modello di geometria ellittica: la sfera Definiamo punto una coppia di punti diametralmente opposti P P Q Q

53 Le rette nella geometria sferica Definiamo retta ogni circonferenza massima

54 Per due punti passa una sola retta Relazioni tra punti e rette nella geometria sferica P Q Segmento PQ

55 Relazioni tra rette nella geometria sferica Due rette si incontrano sempre in un punto Non esistono rette parallele r s

56 Nella geometria sferica non vale il 5° postulato Q Q Da un punto esterno ad una retta non si possono tracciare parallele

57 I triangoli nella geometria sferica ab g a = b = retto a + b + g > 2 retti

58 In conclusione Possiamo ora rispondere alla domandaQual è la vera geometria? La risposta è nelle parole scritte nel 1887 dal matematico e filosofo francese Henri Poincaré

59 Henri Poincaré ( ) Il problema se sia vera luna o laltra delle tre geometrie è senza senso. Altrettanto varrebbe domandarsi se il sistema metrico è vero e false le misure antiche. Una geometria non può essere più vera di unaltra, può essere soltanto più comoda


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