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1 Lezione 13 Equazione di Klein-Gordon Equazione di Dirac (prima parte) equazione di continuità hamiltoniana di Dirac matrici alpha, beta.

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1 1 Lezione 13 Equazione di Klein-Gordon Equazione di Dirac (prima parte) equazione di continuità hamiltoniana di Dirac matrici alpha, beta

2 2 Equazioni donda relativistiche Lequazione di Schrödinger, come abbiamo già visto, descrive il comportamento di una particella non dotata di spin e non relativistica, descritta in termini di una funzione donda, dipendente dalle coordinate spazio-temporali, e il cui modulo a quadrato ci fornisce la densità di probabilità di posizione della particella. Tale densità integrata su tutto lo spazio deve essere normalizzata a 1. La particella può essere libera o soggetta a un potenziale. Lequazione di Schrödinger però non parte da relazioni relativistiche, bensi da relazioni classiche ed è ottenuta, come abbiamo visto, sostituendo nellequazione classica per una particella libera: E = p 2 / (2m) nella quale abbiamo fatto corrispondere a E e a p i seguenti operatori: Con un procedimento analogo dovrebbe essere possibile costruire unequazione relativistica per una particella libera di spin zero.

3 3 Equazione di Klein-Gordon Klein e Gordon nel 1926 costruirono unequazione a partire dalla relazione relativistica tra energia e impulso: E 2 = p 2 + m 2 nella quale, come nel caso dellequazione di Schrödinger, si sostituiscono a E e p gli operatori corrispondenti: EQUAZIONE DI KLEIN GORDON PARTICELLA RELATIVISTICA LIBERA Lequazione di Klein-Gordon si applica a particelle relativistiche a spin=0 (bosoni) ħ=c=1 DALAMBERTIANO (1)0)Φm( 2

4 4 Osservazioni sull' equazione di Klein-Gordon 1) La relazione relativistica tra energia e impulso: prevede la possibilità di due soluzioni per l'energia in corrispondenza di un certo valore dell'impulso: 2) Se tentiamo di derivare dallequazione di K.-G. una equazione di continuità, come abbiamo fatto per lequazione di Schrödinger che dava luogo allequazione: ci troviamo di fronte al problema di non poter interpretare come una densità di probabilità. Vediamo perchè... Ci troviamo dunque a dover trattare soluzioni a energia negativa che sembrano non avere significato fisico.

5 5 Equazione di continuità dalleq. di K.-G. Prendiamo lequazione di Klein-Gordon e la sua complessa coniugata: Moltiplichiamo la prima per * e la seconda per : Quindi sottraiamole membro a membro: (2)

6 6 Definiamo le seguenti grandezze: cioè assume la tipica forma di unequazione di continuità, tuttavia la quantità non è definita positiva, come invece dovrebbe essere una densità di probabilità. Pertanto NON possiamo interpretare come una densità di probabilità. DENSITA DI PROBABILITÀ ?? DENSITA DI CORRENTE DI PROBABILITÀ ?? Con queste definizioni l'equazione (2) diventa:

7 7 Osservazioni sull eq. K.-G. 1) Gli autovalori dellenergia possono anche essere negativi: questa è una conseguenza naturale della relazione relativistica energia-impulso. Gli stati a energia negativa non sembrano interpretabili come stati fisici. 2) La densità di probabilità non è definita positiva, come lo era invece nell'equazione di Schrödinger, perchè, mentre l'eq. di S. conteneva una derivata prima rispetto al tempo, quella di K.-G. contiene una derivata seconda rispetto al tempo. Ciò deriva dal fatto che l'eq. di S. scaturisce dalla relazione classica energia-impulso nella quale l'energia è elevata al primo grado (E i / t) e l'impulso al secondo (p /2m), mentre l'equazione di K.-G. deriva dalla relazione relativistica, nella quale entrambe sono elevate al quadrato (E - 2 / t 2 e p /2m). Questo impedisce di usare lequazione di K.-G. come equazione della meccanica quantistica ordinaria. Tuttavia essa è stata nuovamente riutilizzata con la nascita della teoria dei campi quantizzati (seconda quantizzazione), nella quale lequazione di K.-G. è lequazione che descrive non la funzione donda di una particella, ma un operatore associato a un campo bosonico che può creare o distruggere particelle a spin zero, che sono i quanti del campo stesso.

8 8 Equazione di Dirac Allo scopo di descrivere particelle relativistiche di spin ½ e senza struttura, Dirac propose nel 1927 un altro tipo di equazione, tentando di risolvere i problemi posti dall eq. di K.-G.. Lequazione deve avere le seguenti caratteristiche: Da essa deve conseguire unequazione di continuità j =0 La densità di probabilità deve essere definita positiva, in modo che sia interpretabile come una densità di probabilità: lequazione deve pertanto contenere solo derivate prime rispetto al tempo Lequazione deve essere lineare e omogenea (principio di sovrapposizione) Lequazione di Schrödinger considera solo particelle a spin zero. Per poter descrivere particelle a s=1/2, la funzione donda deve essere a N componenti, cioè deve essere uno spinore (due particelle con la stessa massa, una a spin up e una a spin down devono essere due stati della stessa particella e quindi soddisfare alla stessa equazione di Dirac) Deve valere la relazione relativistica energia-impulso: E 2 = p 2 + m 2. Pertanto le singole componenti dello spinore devono soddisfare a unequazione di K.-G.

9 9 L EQUAZIONE DI DIRAC (per fermioni relativistici) deve contenere: Uno spinore a N componenti Derivata prima rispetto al tempo con un coefficiente matriciale Derivate prime rispetto alle coordinate con tre coefficienti matriciali (uno per ogni derivata) Termine senza derivata dove le 1, 2, 3 e la sono delle matrici di dimensione N N. Indicando con un "vettore" di tre componenti che ha come componenti le tre matrici i : possiamo riscrivere la (1) in forma più compatta: (2) EQUAZIONE DI DIRAC

10 10 In forma matriciale: In componenti, ciò significa che l' equazione di Dirac equivale in realtà a N equazioni, una per ogni componente dello spinore :

11 11 Vediamo che cosa significa lequazione di Dirac in componenti. Poichè tra poco vedremo tra poco che la dimensione di è 4, in componenti scriveremo :

12 12 L'equazione di Dirac corrisponde quindi a quattro equazioni (perchè quattro è la dimensione dello spinore ):

13 13 Prendiamo lequazione di Dirac e la sua hermitiana coniugata: i 0 + i k k – m = 0 – i 0 –i k ( k ) –m = 0 Moltiplichiamo la prima a sinistra per e la seconda a destra per i 0 + i k k –m = 0 –i( 0 ) –i ( k )( k ) –m = 0 Quindi sottraiamole membro a membro: Equazione di continuità dalleq. di Dirac i 0 + ( 0 ) + i ( k k + ( k )( k ) – m ( – = 0 derivata del prodotto potrebbe essere la derivata del prodotto k se fosse ( k ) = k potrebbe annullarsi se fosse ( ) = Per ottenere un'equazione di continuità dobbiamo quindi necessariamente imporre che le matrici 1, 2, 3 e siano hermitiane: ( k ) = k e =

14 14 Dando le seguenti definizioni di densità di probabilità e di densità di corrente di probabilità, perveniamo a una equazione di continuità: In tal modo infatti l' equazione diventa: i 0 ( + i ( k k + ( k ) k – (m - m = 0 (3) i 0 ( ) + k ( k ) = 0 DEFINITA POSITIVA

15 15 Per trovare l'hamiltoniana dell'equazione di Dirac, possiamo esprimere l'equazione nella forma seguente: Hamiltoniana di Dirac Pertanto l'hamiltoniana per una particella libera fermionica che soddisfa l'equazione di Dirac è: N.B. La condizione che le matrici i e debbano essere hermitiane si poteva anche ottenere imponendo che l'hamiltoniana fosse hermitiana.

16 16 RELAZIONE RELATIVISTICA ENERGIA-IMPULSO Richiederemo ora che le singole componenti di soddisfino all' equazione di Klein-Gordon, o, il che è equivalente, richiediamo che valga la relazione relativistica energia-impulso: EQ. DI DIRAC EQ. DI KLEIN- GORDON Applichiamo all'equazione di Dirac un operatore appropriato, che permetta di ottenere l'equazione di K.-G. a partire da quella di Dirac:

17 17 Dato che le matrici i e sono i coefficienti dell' equazione di Dirac, essi devono essere parametri non dinamici, cioè non dipendono nè dal tempo nè dalle coordinate, pertanto esse filtrano attraverso le derivate temporali e spaziali:

18 18 (3) Ma l'equazione di K.-G. è: o anche: (4) Perchè la (3) e la (4) coincidano occorre che valgano per le matrici i e le seguenti regole: cioè le matrici i e anticommutano e il loro quadrato è uguale all'identità.

19 19 ALTRE PROPRIETÀ DELLE MATRICI i E 2) Le matrici i e hanno traccia nulla. Infatti: Ma poichè le matrici e le anticommutano, si avrà: 3) La loro dimensione è necessariamente pari. Infatti: 1) Dal momento che le matrici i e anticommutano, non è possibile trovare una base nella quale esse siano tutte e quattro contemporaneamente diagonalizzabili. In ogni base solo una delle quattro sarà diagonalizzata. (proprietà delle tracce)

20 20 4) Qual è il valore minimo per N? Non è ammessa la dimensione N=2, in quanto in tal caso il numero massimo di matrici che anticommutano è 3 (vedi matrici di Pauli). La dimensione minima è N=4. Una possibile scelta è quella della rappresentazione detta di Dirac-Pauli, nella quale la matrice è diagonale: dove le k sono le matrici di Pauli e pertanto:

21 21 PARTICELLE A MASSA NULLA Notiamo che l'equazione di Dirac: per particelle a massa nulla (m=0), come il neutrino, si riduce a: Per descrivere il sistema, sono dunque sufficienti tre matrici linearmente indipendenti i (i=1, 2, 3). Pertanto le dimensioni dello spinore diminuiscono a 2 in quanto la dimensionalità più bassa per tre matrici anticommutanti è N=2 e le matrici in questione sono le tre matrici di Pauli. Possiamo dunque assumere: Indicando con il vettore composto dalle tre matrici: = (,, ), l'equazione di Dirac si riduce a un'equazione a due componenti sole nello spinore L (detta equazione di Weyl, vedremo meglio dopo il suo significato):


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