STATISTICHE DESCRITTIVE

Presentazione sul tema: "STATISTICHE DESCRITTIVE"— Transcript della presentazione:

1 STATISTICHE DESCRITTIVE
Parte II

2 INDICI DI DISPERSIONE Introduzione agli Indici di Dispersione Gamma
Differenza Interquartilica Varianza Deviazione Standard Coefficiente di Variazione

3 introduzione Una distribuzione di dati contiene un insieme di informazioni complesse e di per se poco maneggevole. Il ricorso ad un indice di tendenza centrale comporta una forte semplificazione, e da solo non fornisce informazioni esaurienti sulla distribuzione. Occorre anche capire quanto i dati siano dispersi intorno all’indice di tendenza centrale. Esempio Consideriamo i risultati dei compiti di Psicometria di tre diverse Facoltà: Facoltà A = {18, 22, 24, 16, 19, 22 , 18, 21} Facoltà B = {10, 10, 12, 10, 30, 28 , 30, 30} Facoltà C = {20, 20, 20, 20, 20, 20 , 20, 20} In ogni Facoltà la media dei voti è pari a 20, ma è evidente una diversa dispersione intorno a tale valore.

4 gli indici di dispersione
Gli indici che vedremo servono a misurare la dispersione (o variabilità) di una data distribuzione di dati. Per questo motivo vengono definiti come indici di dispersione o indici di variabilità. Gli indici di dispersione possono assumere solo valori positivi (non ha senso parlare di dispersione negativa) o nulli (nei casi in cui tutti i dati osservati sono uguali tra loro).

5 la gamma La gamma, detta anche campo di variazione, è la differenza fra il valore massimo e quello minimo dei dati. Esempio I seguenti dati rappresentano le altezze in centimetri dei giocatori di una squadra di pallavolo. {188, 195, 198, 170, 185, 199} La gamma di tale distribuzione sarà:

6 la differenza interquartilica
La differenza interquartilica, o range interquartile, è data dalla differenza tra il terzo e il primo quartile (o equivalentemente tra il 75-esimo e il 25-esimo percentile) dei dati: Nota: La differenza interquartilica, non tiene conto dei valori estremi della distribuzione dei dati, evitando così di considerare valori anomali. Per questo motivo è considerata un indice “robusto”.

7 la varianza La varianza σ2 di un insieme di dati è definita come la media degli scarti al quadrato tra i dati e la media dei dati stessi. Essa assume il valore minimo di 0 quando i dati sono tutti uguali tra loro e aumenta al crescere della variabilità dei dati. Le formule per il calcolo della varianza sono differenti a seconda che i dati siano o meno raggruppati in classi.

8 formula per il calcolo della varianza - dati non raggruppati –
dove: è lo scarto tra l’i-esima unità statistica e la media dei dati.

9 formula ridotta per il calcolo della varianza - dati non raggruppati –
La varianza può essere anche calcolata attraverso la seguente formula, che consente un calcolo più agevole e veloce: varianza = media dei quadrati quadrato della media

10 Esempio[1] Un ricercatore ha valutato la capacità linguistiche di 10 bambini in età prescolare ottenendo i dati sottoriportati. La capacità di linguistica è qui indagata come numero di parole non conosciute nella lettura di un testo [da Keppel, 1992]. Calcolare la varianza dei dati, sia con la formula generale che con quella ridotta. codice soggetto Numero parole non note 1 8 2 6 3 7 4 5 9 10

11 Esempio[2] Calcoliamo innanzi tutto la media dei dati:
Utilizziamo ora la formula generale per il calcolo della varianza:

12 Esempio[3] Utilizziamo ora la formula ridotta. Per prima cosa calcoliamo la “media dei quadrati”: Calcoliamo ora il “quadrato della media”: Infine utilizzando la formula ridotta per il calcolo della varianza otteniamo:

13 formula per il calcolo della varianza - dati raggruppati –
dove: è la frequenza relativa dell’i-esima modalità statistica.

14 Esempio[1] Calcolare la varianza dei dati dell’esempio precedente utilizzandoli in forma raggruppata. Per prima cosa rappresentiamo i dati in forma raggruppata: xi Parole sconosciute fi frequenze 4 1 6 2 7 8 9

15 Esempio[2] Ricordando che la media dei dati è pari a 7, applichiamo la formula per il calcolo della varianza per dati raggruppati:

16 formula per il calcolo della varianza - dati raggruppati in classi –
dove: è il valore centrale dell’i-esima classe di frequenza.

17 Esempio[1] In un’azienda veronese che produce occhiali sono stati rilevati gli stipendi mensili dei 20 dipendenti: Stipendio mensile in Euro Frequenze 10 5 3 2 Calcolare la media e la varianza di tali dati. Nota: gli intervalli di frequenza si intendono del tipo “primo valore incluso – secondo valore escluso”.

18 Esempio[2] Calcoliamo la media dei dati:
Calcoliamo ora la varianza di tali dati: Formula non corretta nella varianza

19 la deviazione standard
La deviazione standard (o scarto quadratico medio) è la radice della varianza: Essa è molto utile in chiave interpretativa perché, a differenza della varianza, è espressa nella stessa unità di misura del fenomeno studiato. Esempio In campione di 20 soggetti è stata rilevata la variabile peso. In tale campione la media è pari a 70 Kg e la deviazione standard è pari a 10.7. Si potrà affermare che i soggetti differiscono mediamente di 10.7 Kg dal peso medio di 70 Kg.

20 il coefficiente di variazione[1]
Il coefficiente di variazione è dato dal rapporto tra la deviazione standard e il valore assoluto della media dei dati: Esso è un indice di variabilità relativa, che tiene conto oltre che della deviazione standard dei dati anche della media. Per questo motivo è molto utile per eseguire dei confronti in termini di variabilità tra fenomeni “diversi” tra loro.

21 il coefficiente di variazione[2]
Esempio Nel reparto di ginecologia e ostetricia di un ospedale è stato rilevato il peso di un campione di 80 neonati maschi e contemporaneamente il peso dei rispettivi papà. I dati ottenuti sono espressi nella seguente tabella: gruppo media deviazione standard neonati 3.4 Kg 0.8 papà 82 Kg 15 Ci si chiede se, rispetto alla variabile peso, esiste più variabilità nel gruppo dei neonati o in quello dei papà.

22 il coefficiente di variazione[3]
Naturalmente confrontare le deviazioni standard non è di grande aiuto. Esse dipendono fortemente dalle media dei dati su cui sono state calcolate. Per poter operare un confronto sulla variabilità dei due gruppi è opportuno calcolare i rispettivi coefficienti di variazione: Osservando i risultati si può concludere che il gruppo dei bambini presenta una maggiore variabilità rispetto a quella del gruppo dei papà.

23 il coefficiente di variazione[3]
In conclusione, vediamo alcuni valori particolari del CV che possono essere utili nello studio di una distribuzione di dati: CV = 0 , in questo caso la deviazione standard è pari a 0. Tutti i dati sono uguali tra loro e la media può essere considerata come un indice perfetto per rappresentarli. CV ≥ 0.5 , in questo caso la deviazione standard è più della metà della media. La media, in questo caso, non può essere considerata un buon indice per rappresentare i dati. CV ≤ 0.5 , in questo caso la deviazione standard è meno della metà della media. La media, in questo caso, può essere considerata un buon indice per rappresentare i dati.