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MISURE ED ERRORI Che tipo di errori costituiscono la misura, quali sono i parametri statistici per il loro trattamento, quale è la loro distribuzione normale.

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Presentazione sul tema: "MISURE ED ERRORI Che tipo di errori costituiscono la misura, quali sono i parametri statistici per il loro trattamento, quale è la loro distribuzione normale."— Transcript della presentazione:

1 MISURE ED ERRORI Che tipo di errori costituiscono la misura, quali sono i parametri statistici per il loro trattamento, quale è la loro distribuzione normale. 27 febbraio 2007

2 Sensibilità e precisione degli strumenti di misura sensibilità di uno strumento è la minima quantità di grandezza misurabile con lo strumento (ordine di grandezza). precisione di uno strumento è il rapporto tra la sensibilità dello strumento e la massima quantità di grandezza che lo strumento può misurare. La precisione è una grandezza adimensionale, tanto maggiore quanto minore è il numero che la esprime.

3 Natura PROBABILISTICA della misura Il valore della misura esatta è teoricamente pensabile solo come valore più probabile della misurazione. Per la legge probabilistica empirica del caso il valore teoricamente esatto di una misura lo si approssima come il valore più frequente in una serie di misurazioni; tante più saranno tali misurazioni quanta più sarà la precisione della misura.

4 INCERTEZZA Ma da un numero limitato di prove si può solo ridurre statisticamente laleatorietà introducendo la nozione di precisione e di errore come due grandezze reciproche, inversamente proporzionali che misurano lincertezza della misurazione o dello strumento.

5 Linsieme di misure omogenee di una stessa grandezza si possiamo distribuire in classi di equivalenza 1, 2, 3, … n corrispondenti ai valori di data misura X i = (x 1, x 2, … x n.) che esprimono ciascuna quante misurazioni si possono riguardare entro una stessa misura. Queste classi indicano le. frequenze corrispondenti alle misurazioni x 1, x 2, … x n di una data misura X i. POPOLAZIONE di misure x f

6 Prima nozione statistica: frequenza Frequenza o frequenza assoluta (peso) di una modalità (misura) è il numero totale di volte che essa si presenta nelle unità rilevate

7 In questo caso il continuum delle misure X i è stato discretizzato in intervalli di due unità ( ad esempio nella classe 2 sono comprese le misure da 55,5 a 57,5). Diciamo intuitivamente che al crescere dellintervallo che definisce le classi diminuisce la precisione (come nel caso in cui si prelevassero le misure con una cordella metrica intervallata solo ogni mezzo centimetro piuttosto che con un nastro millimetrato) e cresce la difficoltà di leggere una misura attribuendola ad una classe. Perciò i numeri che esprimono le misure x 1, x 2, … x n sono solo dei simboli delle classi di equivalenza 1, 2, 3, … n e non possiamo esprimere un intervallo con suoi limiti effettivi (55,5-57,5) perché una misura che cadesse sul limite (55,5) non sarebbe classificabile. x 1.x i f 1..f i

8 Media e misura probabile

9 MEDIA M è un indice significativo dellinsieme dei dati ed esprime la posizione sulla scala ordinata delle misurazioni di X (x 1, x 2, … x n ) verso la quale si addensa la popolazione. x f

10 Misura PROBALILE di una grandezza Ripetendo n volte la misura x di una grandezza si può dimostrare che se gli errori sono distribuiti del tutto casualmente (distribuzione normale) il valore più probabile della misura è la media aritmetica dei risultati delle misure: x m = (x 1 +x 2 +x x n )/n Valore medio della misura x m =

11 media aritmetica ponderata Quando ciascuna modalità (misura) si presenta con una certa frequenza o peso, è più vantaggioso calcolare la media aritmetica considerando le frequenze): in tal caso si parla di media aritmetica ponderata perché ogni valore entra nella media con il suo peso, cioè la sua frequenza. La media aritmetica ponderata M di n valori è:

12 Indici di dispersione Scarto Scarto medio Scarto quadratico medio Varianza

13 Seconda nozione statistica: la variabilità Il calcolo della media ci permette di sintetizzare una quantità di dati, ma dallaltro riduce linformazione racchiudendo tanti valori in un solo dato, rende simili situazioni che proprio simili non sono. Per ridurre la perdita di informazioni, si ricorre allo studio della variabilità del fenomeno.

14 Variabilità è la tendenza di un fenomeno ad assumere modalità (misure) diverse fra loro.

15 Se la serie di misure indicano 37,2 cm. e l'utente,per un errore accidentale o sistematico, trascrive i seguenti quattro valori 37,1 poi 37,4 poi 37,0 poi 37,2 risulta che la media dei valori letti sarà una comune media aritmetica: ( )/4 =148.7 /4 =37.175, detto valore medio. Una volta ottenuto il valore medio, si può calcolare un altro valore, lo scarto. Lo scarto v i è calcolato sottraendo il nuovo risultato letto x i dal valore medio. Se a esempio una quinta misurazione fornisce il valore di 37.3 si avrà uno scarto di circa -0,2. SCARTO

16 SCARTO MEDIO SCARTO è la differenza specifica tra ciascun valore x 1, x 2, … x n ed il valore M della media. Per misurare la variabilità si può dare uno SCARTO MEDIO inteso come la media della differenza specifica tra ciascun valore x 1, x 2, … x n ed il valore M della media. ovvero

17 SCARTO QUADRATICO MEDIO

18 VARIANZA È il quadrato dello scarto quadratico medio è un indice di variabilità che misura quanto si disperdono i valori delle misure in rapporto al valore medio; è la differenza tra il valore quadratico medio ed il quadrato della media

19 La varianza La varianza è la media aritmetica degli scarti dalla media al quadrato, 2

20 Scarto quadratico medio Lo scarto quadratico medio (sqm) o deviazione standard è la radice quadrata (positiva) della varianza.

21 TEORIA DELLERRORE 1.Distribuzione normale degli errori Funzione di Gauss 2.Teoria degli errori nel rilevamento

22 grossolani – scarti macroscopici, dovuti ad imperizia e negligenza nel rilevamento sistematici – scarti sempre nello stesso senso (segno), dovuti a errata taratura dello strumento, individuabili confrontando le indicazioni dello strumento con quelle di un altro strumento tarato correttamente. accidentali – scarti agenti in maniera aleatoria che portano a deviazioni casuali in entrambe i sensi; sono dovuti a numerose circostanze, non sono identificabili individualmente ma solo statisticamente ripetendo più volte la misura della stessa grandezza. ERRORI

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24 MISURA & INCERTEZZA Ogni misura è sempre composta da: UN NUMERO UNA UNITA DI MISURA E DAL VALORE DELLINCETEZZA legata allo strumento, alloggetto misurato o alle condizioni di misurazione. Il valore dellINCERTEZZA - di una misura o di uno strumento – è valutato in un intervallo pari al doppio dellerrore probabile.

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26 Distribuzione normale dellerrore accidentale: FREQUENZA Eseguendo n misurazioni x di una grandezza si possono raggruppare i risultati in classi di frequenza 1, 2, 3, … n che indicano il peso di probabilità di una certa misura e non sono necessarie nel caso di misure della stessa precisione. x f

27 distribuzione probabilistica degli errori accidentali in una serie di misure di ugual precisione è tale che: 1 - esiste un limite entro il quale non vi sono più errori accidentali 2 – la probabilità che le misure siano approssimate in eccesso è uguale a quella che siano approssimate in difetto 3 – gli errori sono tanto più improbabili nella misura in cui crescono; ovvero saranno tanto più numerosi quanto più saranno piccoli. La media aritmetica M dei valori letti in diversi momenti sulla stessa grandezza corrisponde al valore più probabile della misura

28 Disposizione simmetrica degli scarti Eseguendo un sempre maggiore numero di misurazioni, e misurandone un sempre maggiore numero di scarti dal valore medio si constata una Legge di simmetria: in valore assoluto gli scarti si equivalgono, cioè non esiste una tendenza degli scarti accidentali a superare o difettare dal valore medio.

29 Disposizione decrescente degli scarti La frequenza degli scarti aumenta con il rimpicciolire del valore dello scarto stesso, poiché è molto più probabile commettere un errore minuscolo piuttosto che un errore elevato. Ad esempio nel prelievo di una misura diretta è più probabile sbagliare accidentalmente di un centimetro che di un decimetro.

30 Dunque nel caso di misure ripetute di ugual precisione il valore medio costituisce la stima empirica del valore teorico della misura della grandezza. Tale valore sarà tanto più probabile quanto più aumenta il numero N delle misure. Rispetto a questo valore più probabile della misura gli scarti - le differenze specifiche tra ciascun valore x 1, x 2, … x n ed il valore M della media – costituiscono gli errori veri rispetto al valore più probabile della Misura: La somma algebrica di questi scarti dovrebbe essere sempre nulla

31 ed è sempre minima la somma dei loro quadrati rispetto alla media. Questo principio detto dei minimi quadrati è fondamentale per la compensazione degli errori accidentali. Si considera la vera misura come dato più probabile rispetto al quale dunque è minima la somma dei quadrati di tutte le differenze fra le varie misure di una stessa grandezza. Scarto quadratico medio σ Errore quadratico medio

32 ERRORE QUADRATICO MEDIO Questo indice (detto scarto tipo o anche deviazione standard) esprime in media lentità dellerrore entro il quale può oscillare il valore delle misurazioni. Indica quanto ogni misura mediamente si scosta dal valore teorico della grandezza osservata. Valuta la dispersione della media empirica intorno al valore della media teorica.

33 Lerrore quadratico medio consente di valutare la precisione delle misurazioni. Si dimostra che al crescere delle misurazioni i valore minori di sono circa il 70% di quelli rilevati ovvero il valore di ha una probabilità di 0,7 di non essere superato. Solo una misurazione su mille è affetta da scarti (errori) accidenetali che eccedono il triplo di.

34 Istogramma delle misure Le misurazioni x i di una grandezza si rappresentino tra il più piccolo (x min )e il più grande (x max ) dei valori misurati x i e si divida l'intervallo x min, x max in un certo numero di classi di frequenza, ciascuna di ampiezza Δx.

35 In ascissa si indica lordine crescente (decrescente) dei valori x i, In ordinata si indica il valore della frequenza.

36 Il grafico rappresenta la distribuzione dei risultati delle misure, mostrando che la maggior parte dei risultati si addensa intorno al valor medio, mentre risultati che differiscono considerevolmente dalla media sono poco frequenti.

37 Distribuzione di Gauss Si può dimostrare che quando gli errori sono distribuiti casualmente, facendo il limite per Δx -->0, e n -->, cioè aumentando il numero delle osservazioni e riducendo l'ampiezza delle classi, l'istogramma precedente si trasforma in una curva continua chiamata gaussiana o curva di Gauss:

38 Frequenza delle misure scarto errore

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40 il parametro σ, chiamato deviazione standard, esprime la distanza orizzontale tra i punti di flesso e il massimo della curva (della funzione); rappresenta la dispersione dei risultati intorno al valore più probabile

41 Quanto maggiore è tale dispersione tanto più larga appare la curva. Una curva molto allargata indica che l'effetto degli errori accidentali è notevole. Il significato statistico della curva di distribuzione è il seguente: presi due valori x1 e x2, l'area sottesa dalla curva nell'intervallo x1, x2 rappresenta la probabilità che il risultato di una misura sia compreso tra x1 e x2.

42 si può dimostrare che esiste il 68.3 % di probabilità che il risultato della misura sia compreso nell'intervallo x o +σ, il 95.4 % che sia compreso nell'intervallo x o +2σ e il 99.7 % che si trovi in x o +3σ,

43 La deviazione standard può essere stimata dai risultati sperimentali usando la relazione: σ = ( (x i -x m ) 2 /(n-1)) 1/2 in cui la sommatoria al numeratore rappresenta la somma dei quadrati degli scarti dalla media. Nota la deviazione standard è possibile calcolare l'errore della media, o errore standard, come: μ = σ/n 1/2 che rappresenta la deviazione standard della media. Di conseguenza esiste il 68.3 % di probabilità che il valor vero sia contenuto nell'intervallo x m +μ, il 95.4 % che sia contenuto in x m +2μ e il 99.7 % che sia contenuto in x m +3μ. Assumendo come grado di fiducia il 95.4 % della probabilità, si può esprimere il risultato delle misure nella forma: x = x m +/-2μ

44 TOLLERANZA è dunque definita come il triplo dellerrore quadratico medio e costituisce lERRORE TEMIBILE in una misurazione, è il valore prefissato dellincertezza. TOLLERANZA è dunque la maggiore tra le differenze ammissibili tra due misure della stessa grandezza in modo che possa essere assunta la media come valore più probabile della misura effettiva. Consente di valutare lERRORE RELATIVO allUNITA DI MISURA in modo che si possa assumere una CORREZIONE automatica di segno contrario allerrore stesso.

45 COME SI DETERMINA LA TOLLERANZA IN UN RILIEVO? 1)In base alle caratteristiche del modello finale 2)In base alle condizioni (strumenti e metodi) del rilevamento

46 LA PRECISIONE DEL MODELLO GEOMETRICO Se il rilievo approda ad un modello grafico delloggetto rilevato il parametro fondamentale è lerrore di graficismo legato alla scala del disegno. Allorché nel progetto di rilievo si fissa una scala di restituzione si implica un margine derrore ammissibile per rapporto allo scopo; solo da ciò consegue la scelta di strumenti e metodi di rilievo.

47 Lerrore di graficismo nel disegno è valutato intorno ai 2 o 3 decimi di mm. assumendo conseguentemente un valore di tolleranza direttamente proporzionale alla diminuzione della scala (crescita del denominatore di scala) dai 3 cm. della scala 1:100 ai 60 cm. in scala 1:2000. Daltronde la rilevazione delle lunghezze con strumenti diretti per rilievi in scala 1:50 non consente tuttavia di rispettare nemmeno lerrore di 1,5 cm. consentito dallerrore di graficismo… La differenza tra errore di graficismo e tolleranza strumentale cresce in scala 1:20 sulle grandi estensioni, mentre per rilievi in scala 1:100 la tolleranza strumentale è ampiamente contenuta nellerrore di graficismo.

48 MISURE DIRETTE

49 ERRORE QUADRATICO MEDIO NELLE MISURE DIRETTE Distanza topografica è la misura della lunghezza del segmento che unisce la proiezione di due punti sulla superficie di riferimento. La misura diretta di una distanza L si compie riportando n volte una lunghezza campione al quale è connesso un errore quadratico medio au noto dellassommarsi delle esperienze. au è riferito al metro o al chilometro.

50 ERRORE ACCIDENTALE NELLE MISURE DIRETTE L errore accidentale quadratico medio a L della misura diretta L di una distanza è proporzionale alla radice quadrata della distanza:

51 lerrore quadratico medio non è direttamente in proporzione al crescere della distanza ma della sua radice quadrata perché le compensazioni tra valutazioni per eccesso e per difetto avvengano automaticamente aumentando lentità della misura.

52 ERRORE SISTEMATICO NELLE MISURE DEIRETTE Invece gli errori dovuti alla taratura degli strumenti influenzano la lettura delle misure sempre nello stesso modo, direttamente proporzionale alla distanza da misurare. Per ogni condizione strumentale esiste un coefficiente di proporzionalità su, cioè un errore quadratico sistematico unitario.

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54 ERRORE TEMIBILE COMPLESSIVO NELLE MISURE DIRETTE è la somma degli errori accidentali e sistematici. Dove L è la distanza da misurare, au è lerrore medio unitario accidentale, su è lerrore medio unitario sistematico ricavati per via sperimentale.

55 TOLLERANZA NELLE MISURE DIRETTE stabiliti p e q parametri costanti stabiliti sperimentalmente come il triplo degli errori quadrati medi, la TOLLERANZA t è

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57 La tolleranza è stabilita da diversi sistemi di unificazione, il Catasto Italiano, dallIGM, Ad esempio il Catasto Italiano stabilisce i seguenti valori di p e q: Terreno pianeggiante 0,015 Terreno ondulato 0, Terreno sfavorevole 0,025 pq

58 G. Boaga, Introduzione al rilievo fotogrammetrico dei monumenti, Roma Boaga fissa per il rilievo edilizio una Tolleranza compresa tra 0,45 e 1,45 mm per metro.

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