Caratteristiche, potenziali e limiti di uninterpretazione dinamica della tangente Progetto di ricerca di Pietro Milici 1.

Presentazione sul tema: "Caratteristiche, potenziali e limiti di uninterpretazione dinamica della tangente Progetto di ricerca di Pietro Milici 1."— Transcript della presentazione:

1 Caratteristiche, potenziali e limiti di uninterpretazione dinamica della tangente Progetto di ricerca di Pietro Milici 1

2 La tangente in geometria Retta passante per un punto di una curva con determinate proprietà (data una curva e un punto si trova la tangente) Utilizzo costruttivo: tangenti per definire curve tramite inviluppo (senza continuità, processo di limite) Movimento trazionale: utilizzo dinamico e continuo delle proprietà della tangente per costruire in modo continuo la curva che soddisfi tali proprietà (la curva e la tangente nascono dalla rispettiva correlazione) 2 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

3 Assunto di base (da verificare) 3 Linterpretazione dinamico/concreta della tangente può facilitare lo studente INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

4 Questioni didattiche 4 Utilizzo di artefatti per lanalisi? Costruzione assiomatica della teoria sottostante la geometria trazionale? Il cambiamento epistemologico può portare a una rilettura dellanalisi? INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

5 Questioni fondazionali 5 Che limiti ha linterpretazione della derivata come ruota? Fino a che livello dellanalisi va bene? Confronto la concreta ruota con lattuale più potente mezzo concreto: Macchina di Turing INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

6 Confronto con la computabilità 6 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

7 Interpretazione concreta e costruttiva della tangente Strumenti storici: Peso tirato con fune Ruota che rotola senza strisciare 7 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

8 La Trattrice di Perrault 8 Un grave in posizione iniziale B 0 è trascinato tramite una fune di lunghezza fissa a la cui estremità si muove lungo r (seconda metà 17° secolo) INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

9 Huygens e il movimento trazionale 9 Problema: legittimazione curve trascendenti con puro movimento geometrico (1693) INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

10 Esempi di movimento trazionale 10 Perks (inizi del 18° secolo) INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

11 Integrafi 11 Coradi (1889) INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

12 Differential analyzer 12 Vannevar Bush, M.I.T. (1931) INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

13 Rivoluzione digitale Paradigma di calcolo da analogico a digitale (maggiore controllo sugli errori) Turing 1936: introduzione della Macchina Universale (tesi Church-Turing) Nascita e sviluppo delle scienze informatiche 13 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

14 Cosa fatto storicamente sul Movimento Trazionale Singole macchinette per risolvere graficamente singoli problemi Generalizzazione del metodo: come passare da classi di equazioni differenziali alle relative macchine trazionali (Riccati, 1752) Non si ha né una giustificazione del perché fisico del movimento né una assiomatizzazione geometrica 14 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

15 Base del movimento trazionale Piano di base Strumenti: Assi – corpi rigidi rettilinei (3 gradi di libertà) Carrelli – usa un asse come binario (1 grado di libertà) Vincoli: Perno – vincola due strumenti a ruotare attorno al loro punto in comune Ruota – obbliga un punto di un asse a non muoversi perpendicolarmente allasse cui appartiene (modello NON minimale!) 15 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

16 Confronto con modelli noti General Purpose Analog Computer (GPAC), Shannon (1941) per Differenzial Analyzer (calcola tutte e sole le funzioni soluzioni di sistemi di eq. differenziali polinomiali) Componenti: Addizionatori Integratori Costanti 16 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

17 Risultati ottenuti Movimento trazionale: Estende curve algebriche Costruisce tutte le funzioni del GPAC Risolve equazioni differenziali in C (ad esempio costruzione cicloide e^ix) Permette la proiezione di funzioni complesse sui reali, estendendo GPAC con funzioni non analitiche 17 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

18 Limiti del movimento trazionale Impossibili funzioni discontinue (confronto con computabilità di funzioni reali) Basta per creare un collegamento con gli algoritmi? Estendibilità in più dimensioni? Possibile estendere modello per derivate non intere? (la funzione Gamma di Eulero è computabile ma non DAE) 18 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

19 Sbocchi didattici Interpretazione epistemologica della tangente Macchine matematiche e artefatti (Bartolini Bussi, Rabardel) Vedere risolvere con mezzi meccanici equazioni differenziali in R e C (e possibilità di vedere differenze tra i campi) Creare un sistema assiomatico ad hoc 19 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

20 Esempio: studio di funzione Funzione radice quadrata: 20 FILOSOFIASTORIAEPISTEMOLO GIA FONDAMEN TI DIDATTICA

21 Esempio: studio di funzione 21 Registro analiticoRegistro geometrico Dominio: {x0}Qui si vede una grande differenza con la parte analitica. Infatti la macchinetta, osservata staticamente, non permette di valutare il campo di esistenza. Questo è dovuto al fatto che le ascisse vengono utilizzate dinamicamente. Daltro canto si può però vedere come la macchinetta si blocchi se f(x)=0 f è sempre non negativa Se si ha f(x)=0, non si può continuare a sinistra (la macchinetta, come già detto, si blocca). Pertanto, per continuità, f è sempre non negativa f è crescenteConsiderando la macchinetta (tangente perpendicolare al segmento passante per (x+½,0) ), la derivata sarà positiva quando f è non negativa (in tutto il dominio [sarebbe 0 solo se f(x)= ] ) Per x+, f tende allinfinito e f tende a 0 Sappiamo che f è crescente, quindi non può oscillare. Per assurdo consideriamo che converga, pertanto la derivata dovrà tendere a 0, e in tal caso la tangente sarà perpendicolare alla retta passante per (x,f(x)) e (x+½,0), che dovrà essere parallela allasse delle ordinate: questo implica che f(x) deve tendere ad, da cui lassurdo: perciò diverge. Una volta vista la divergenza, per il ragionamento dellassurdo, la tangente tenderà a divenire orizzontale. INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

22 Bibliografia 1/2 Bartolini Bussi, M. G. & Mariotti, M. A.: Semiotic mediation: from history to the mathematics classroom, For the learning of Mathematics, vol. 19 (2), 27-36 (1999). Bartolini Bussi, M. G. & Maschietto, M.: Working with artefacts: the potential of gestures as generalization devices. Research Forum: Gesture and the Construction of Mathematical Meaning, in Proceedings of th 29 th Conf. of the Int. Group for the Psychology of Mathematics Education, Melbourne, Australia, vol. 1, 131-134 (2005). Bartolini Bussi, M. G. & Maschietto, M.: Macchine matematiche: dalla storia alla scuola. Springer-Verlag, collana Convergenze (2006). Bartolini Bussi, M. G. & Pergola, M.: History in the Mathematics Classroom: Linkages and Kinematic Geometry, in Jahnke H. N., Knoche N. & Otte M. (hrsg.), Geschichte der Mathematik in der Lehre, Goettingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 39-67 (1996). Blum, L.: Computing over the Reals: Where Turing Meets Newtons, Notices of the AMS (Oct. 2004). Blum, L., Cucker, F., Shub M & Smale S.: Complexity and Real Computation, Springer-Verlag (1998). Bos, H. J. M.: Tractional motion and the legitimation of transcendental curves, Centaurus, 31, 9-62 (1988). Bos, H. J. M.: Recognition and wonder : Huygens, trational motion and some thoughts on the history of mathematics, Tractrix, Yearbook for the history of science, medicine, technology and mathematics, 1, pp. 3-20 (1989). Reprint in Lectures in the History of Mathematics, Providence (Rhode Island): American Mathematical Society, 1993, pp. 1-21; 2 nd edition 1997. Bos, H. J. M.: Redefining Geometrical Exactness, Descartes Trasformation of the Early Modern Concept of Construction, Springer-Verlag, New York (2001). Descartes R.: La géométrie, appendix of Discours de la méthode (1637). Reprint: New York: Dover, 1954. Huygens, C.: Letter to H. Basnage de Beauval, February 1693, Œuvres, vol. 10, pp. 407-422. Printed in Histoire des ouvrages des sçavants (or Journal de Rotteredam), pp. 244-257 (Feb. 1693). Kempe, A. B.: On a general method of describing plane curves of the nth degree by linkwork. Proceedings of the London Mathematical Society, VII, 213-216 (1876). Kuhn, T. S.: The Structure of Scientific Revolutions. Chicago: University of Chicago Press (1962). 22 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

23 Bibliografia 2/2 Leibniz, G. W.: Supplementum geometriæ dimensoriæ seu generalissima omnium tetragonismorum effectio per motum : similiterque multiplex constructio lineæ ex data tangentium conditione, Acta eruditorum; Math. Schriften, vol. 5, 294-301 (Sept. 1693). Lipshitz, L. & Rubel, L. A.: A differentially algebraic replacement theorem, and analog computability, Proceedings of the American Mathematical Society 99, no. 2, 367–372 (1987). Pascal, E.: I miei integrafi per equazioni differenziali. Libreria scientifica ed industriale di Benedetto Pellerano, Napoli (1914). Perks, J.: The construction and properties of a new quadratrix to the hyperbola, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 25, 2253-2262 (1706). Perks, J.: An easy mechanical way to divide the nautical meridian line in Mercators projection, with an account of the relation of the same meridian line to the curva catenaria, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 29, 331-339 (1714-1716). Podlubny I.: Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications. Academic Press, San Diego-Boston-New York-London-Tokyo-Toronto (1999). Pour-El, M. B.: Abstract computability and its relations to the general purpose analog computer. Transactions of the American Mathematical Society 199, 1–28 (1974). Riccati, V.: De usu motus tractorii in constructione æquationum differentialium commentarius, Bononiæ : Ex typographia Lælii a Vulpe (1752). Shannon, C. E.: Mathematical theory of the differential analyzer, J. Math. Phys. MIT 20, 337–354 (1941). Tournès, D.: Vincenzo Riccati's treatise on integration of differential equations by tractional motion, Oberwoalfach Reports, 1, 2738-2741 (2004). Tournès, D.: La construction tractionnelle des équations différentielles dans la première moitié du XVIIIe siècle, in Histoires de géométries Textesdu séminaire de lannée 2007, Dominique Flament (éd.), Paris: Fondation Maison des Sciences de lHomme, 14p. (2007). Tournès, D.: La construction tractionnelle des équations différentielles. Paris : Blanchard, (2009). Turing, A.M.: On Computable Numbers with an Application to the Entsheidungsproblem. Proc. London Math. Soc., 42, 230-256 (1936).. Weihrauch, W.: Computable Analysis. Springer-Verlag, Berlino (2000). 23 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA