Prevedere il futuro E possibile prevedere il futuro Domanda: E possibile prevedere il futuro? Effetto (futuro) Oroscopi? Cartomanzia? Tarocchi? Divinazione?

Presentazione sul tema: "Prevedere il futuro E possibile prevedere il futuro Domanda: E possibile prevedere il futuro? Effetto (futuro) Oroscopi? Cartomanzia? Tarocchi? Divinazione?"— Transcript della presentazione:

1 Prevedere il futuro E possibile prevedere il futuro Domanda: E possibile prevedere il futuro? Effetto (futuro) Oroscopi? Cartomanzia? Tarocchi? Divinazione? Metodo Deterministico Metodo Deterministico : Causa (passato)

2 Il Futuro! COSA vogliamo prevedere COSA vogliamo prevedere? Esempi: posizione 1.La posizione di qualcosa nello spazio: una pallina, noi, un aereo, un treno, un soldato, un atomo, etc.. grandezza 2.La grandezza di una certa quantità: denaro, numero di gol segnati da una squadra, popolazione totale, calore, pioggia, cibo, petrolio, amore, guerra, etc… 3. Combinazioni dei precedenti.

3 Come fare? Analizziamo il problema Analizziamo il problema: Quantità da determinare - Quantità da determinare: che chiameremo (ovviamente) X(t). Luogo in cui formulare il problema: - Luogo in cui formulare il problema: ovvero numero di variabili (e loro eventuali relazioni) che occorrono per descrivere X(t). risposta accettabile. - Cosa considerare una risposta accettabile. dati noti - Quali sono i dati noti che abbiamo a disposizione. Modellizzare - Modellizzare: descrivere la variazione di X(t) in base ad osservazioni fisiche e congetture mediante i dati a disposizione. Risoluzione del modello - Risoluzione del modello: calcolo. Verifica - Verifica della predizione con la realtà.

4 Esempio 1: Popolazione umana la popolazione umana aumenterà allinfinito Domanda: la popolazione umana aumenterà allinfinito? Semplificazione 1: le scorte di cibo sono infinite. Non ci sono fattori esterni ad influenzare la crescita. Lincremento della popolazione nel tempo dipende solo dalla popolazione stessa (più siamo..più ci riproduciamo!)

5 Esempio 1: Popolazione umana in formule: se X(t) indica la popolazione al tempo t, allora la variazione dal tempo t al tempo t+h è data da X(t+h)-X(t)=KhX(t) Facendo tendere lincremento h a zero Equazione differenziale in cui lincognita è una funzione, non un numero! E in più deve essere una funzione derivabile. X(t)=KX(t)

6 Esempio 1: Popolazione umana La soluzione è X(t)=X(0)exp(K t) esponenziale Dunque, se K>0, la popolazione cresce in modo esponenziale! Abbiamo davvero risposto alla nostra domanda? la popolazione umana aumenterà allinfinito Domanda: la popolazione umana aumenterà allinfinito? No! Confrontando i dati reali si ottengono risultati diversi da quelli predetti. NO Modello Errato!

7 Esempio 1: Popolazione umana Quale errore abbiamo fatto? 1- le scorte di cibo NON sono infinite! diminuzione 2- ci sono fattori esterni, proporzionali alla grandezza della popolazione che contribuiscono alla diminuzione della popolazione stessa. Ad esempio, smog, guerre, malattie… Per considerare 1+2, si può assumere che la variazione della popolazione, X(t), sia proporzionale alla popolazione, ma il fattore di proporzionalità, K, dipende dal tempo. Ovvero, X(t)=K(t) X(t).

8 Esempio 1: Popolazione umana La soluzione dellequazione X(t)=K(t)X(t) dipende ovviamente da K(t). La soluzione diventa complicata! Ad esempio, in prima approssimazione, possiamo supporre che la popolazione decresca (a causa di smog, fame, guerra, etc..) quando raggiunge un certo valore A. Ovvero, in formule K(t)=C (A-X(t))

9 Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi Possiamo trovare le radici di un polinomio a coefficienti reali? Domanda: Possiamo trovare le radici di un polinomio a coefficienti reali? p(x) = a d x d + ··· + a 1 x + a 0. ( x c è una radice se p(x c ) = 0 ) Cioè: dare delle formule generali (da scrivere nei bigliettini per i compiti..) che esprimono le radici tramite i coefficienti del polinomio. Esistono solo per polinomi di secondo, terzo e quarto grado; formule analoghe per polinomi di grado 5 o più non esistono. (non è che non me le ricordo, proprio non ci sono!)

10 Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi Idea di Newton (diciassettesimo secolo): trovare un procedimento che applicato a un numero qualsiasi x 0 fornisca un nuovo numero x 1 più vicino a essere una radice di quanto non fosse x 0.. Ripetendo il procedimento partendo da x 1 (e poi da x 2, e poi da x 3, e così via) si spera di riuscire ad approssimare una radice del polinomio con la precisione che si desidera.

11 Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi Algoritmo di Newton: dato il polinomio p(x) e il tentativo iniziale x 0, tracciamo la tangente al grafico di p nel punto (x 0, p(x 0 )), e prendiamo come x 1 l intersezione della tangente con lasse delle ascisse. In formula: x 1 = x 0 – p(x 0 )/p 0 (x 0 ), dove p 0 (x 0 ) è la derivata di p calcolata in x 0. (annuisci che la tua prof di matematica ti guarda)

12 Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi x0x0 x1x1 x2x2 xcxc p(x) = - x 5 + 1.6 x 3 - 0.5

13 Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi Domanda: ma il metodo di Newton funziona? Risposta di Newton: Sì, basta scegliere un valore x 0 abbastanza vicino a una radice. Osservazione (sagace) di Cayley (due secoli dopo): ma se non sappiamo dove sono le radici come facciamo a essere sicuri di partire abbastanza vicini a una di esse? E poi, cosa significa abbastanza vicini?

14 Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi Riformulazione di Cayley: consideriamo la funzione razionale f (x)= x – p(x)/p 0 (x). Preso un numero complesso x 0, poniamo x 1 = f (x 0 ) e, più in generale, x n = f (x n–1 ). Se la successione { x n } converge a un numero x c, necessariamente (no?) devessere f (x c ) = x c ; e questo può succedere se e solo se p(x c ) = 0, cioè se e solo se x c è una radice di p. Quindi la domanda è: per quali valori di x 0 la successione { x n } converge?

15 Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi Risposta di Cayley: se p è un polinomio di secondo grado, la risposta è facile. Lunico x 0 da escludere è quello in cui la derivata di p si annulla (per cui f (x 0 ) definita), e che è il punto medio del segmento individuato dalle due radici. Partendo a sinistra del punto medio il procedimento converge alla radice più piccola; partendo a destra converge alla radice più grande. [Nel piano complesso bisogna escludere lasse del segmento congiungente le due radici; e partendo in ciascun semipiano il procedimento converge alla radice contenuta in quel semipiano.]

16 Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi Ma Cayley non riuscì a capire cosa succedeva con polinomi di terzo grado (o di grado maggiore). I punti medi e gli altri concetti di geometria euclidea non sembravano essere di alcuna utilità. Non riuscì neppure a capire quali domande doveva porsi sullinsieme dei valori per cui il metodo di Newton funzionava!

17 Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi p(x) = x 3 – 1

18 Sistemi dinamici deterministici sistema dinamico continuo discreto In entrambi gli esempi abbiamo un sistema dinamico, ovvero un processo che prende un punto (in uno spazio) e variando il tempo restituisce un altro punto. Nel primo caso il sistema dinamico è continuo, ovvero si ha la posizione ad ogni istante, mentre nel secondo il sistema dinamico è discreto, ovvero sono ammessi solo certi valori per il tempo (nel nostro caso 1, 2, …) teoria deterministica La teoria deterministica (Newton, Laplace) afferma che il futuro è un sistema dinamico e, supponendo di avere una fotografia istantanea di tutto luniverso in un dato momento, è possibile prevedere completamente il futuro (e il passato).

19 Sistemi dinamici deterministici Per prevedere il futuro occorre Per prevedere il futuro occorre: 1.Ideare un sistema dinamico in cui la variazione della quantità di cui vogliamo predire il futuro sia espressa in termini di altre quantità. 2. Misurare le quantità iniziali che intervengono nel modello. 3.Risolvere il modello (calcolo delle soluzioni dellequazione differenziale). Difficoltà: - Semplificare il modello per poterlo calcolare. - Non semplificarlo troppo per restare attinente alla realtà. - Misurare i dati iniziali.

20 Sistemi dinamici deterministici Ma Ma….. libero arbitrio 1.(domanda filosofica): ma allora il libero arbitrio non esiste? previsioni del tempo 2. Ma perché non azzeccano mai le previsioni del tempo? chiaramente 3.Ma perché la mia squadra del cuore pur essendo chiaramente più forte ha perso? Dunque è possibile prevedere il futuro! Magari un po complicato a causa delle informazioni che dobbiamo procurarci e delle difficoltà di fare i calcoli.

21 Signore e Signori…. Caos Il Caos 1. Principio di indeterminazione di Heisenberg 1. Principio di indeterminazione di Heisenberg (meccanica quantistica): e impossibile misurare allo stesso tempo posizione e velocità di una particella. La farfalla di Lorenz 2. La farfalla di Lorenz: piccole variazioni dei dati iniziali comportano enormi variazioni delle soluzioni del problema. attrattori attrattori caotici 3. Le soluzioni di un sistema dinamico tendono a configurazioni stabili dette attrattori. Alcuni sono strani, detti attrattori caotici.

22 La Farfalla di Lorenz Il battito dali di una farfalla in Giappone può creare una tromba daria in California. impossibile prevedere il futuro In alcuni sistemi dinamici, una minima variazione nella misurazione dei dati iniziali provoca una cambiamento enorme sui risultati finali. Poiché non è possibile tener conto di ogni dato e non è possibile misurare ogni dato in modo esatto, è allora impossibile prevedere il futuro? Eppure gli aerei volano, i treni sono (qualche volta…) in orario, lInter vince lo scudetto (ma non sono interista!) e le previsioni meteorologiche non sono poi cosi sbagliate!

23 Attrattori orbite Invece di considerare un sistema dinamico a partire da dati iniziali specifici, si considera a partire da ogni possibile dato iniziale e si cercano le sue orbite. Le orbite si accumulano ad alcune orbite, detti attrattori. Orbita chiusa Orbita che si accumula sullorbita chiusa

24 Attrattori caotici frattali In alcuni casi questi attrattori sono strani. Li chiamiamo talvolta frattali. Strano attrattore

25 Ordine nel Caos Gli strani attrattori hanno una buona proprietà: autosimilari sono autosimilari: il tutto è uguale ad ogni sua parte, dunque cè ordine nel caos. Attrattori caotici esistono in natura: Dinamica dei fluidi Dinamica dei fluidi (torrenti, vortici, meteo, etc..) Dinamica di comportamenti sociali Idea del caos in romanzi, film, vita comune Idea del caos in romanzi, film, vita comune….