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La linea, insieme al punto e al piano, è uno dei tre Enti Geometrici Fondamentali. Viene definita da Euclide, nei suoi Elementi *, come un concetto primitivo.

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Presentazione sul tema: "La linea, insieme al punto e al piano, è uno dei tre Enti Geometrici Fondamentali. Viene definita da Euclide, nei suoi Elementi *, come un concetto primitivo."— Transcript della presentazione:

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2 La linea, insieme al punto e al piano, è uno dei tre Enti Geometrici Fondamentali. Viene definita da Euclide, nei suoi Elementi *, come un concetto primitivo intendendo così indicare che, essendo un concetto semplice ed intuitivo, può essere accettato senza spiegazioni né definizioni. * Gli Elementi ( IV e V sec. a.C.) di Euclide sono la più importante opera matematica giuntaci dalla cultura greca antica. Essi rappresentano un quadro completo e definito dei principi della geometria noti al tempo; lopera era composta di 13 libri: i primi sei riguardavano la geometria piana, i successivi quattro i rapporti tra le grandezze e gli ultimi tre la geometria solida. Della linea, come degli altri enti, possiamo però costruirci unimmagine. Essa può essere rappresentata da un filo sottilissimo, o dal segno, pure sottilissimo, lasciato dalla punta di una matita su di un foglio. La linea si può considerare come un insieme infinito di punti e quindi, non ha peso né spessore, né inizio né fine. Ha ununica dimensione: la lunghezza. Tra le infinite linee se ne distingue in modo particolare una: la linea retta o, semplicemente, retta. Per avere unimmagine della retta si può pensare ad un sottilissimo filo ben teso oppure ad un raggio di luce 2

3 Le rette possono giacere nel piano o nello spazio. coincidenti: se tutti i punti di una sono sovrapposti ai punti dellaltra. Le due rette r e s sovrapposte non si distinguono luna dallaltra. parallele: se le due rette r e s non hanno nessun punto in comune; in questo caso la distanza tra le due rette è sempre costante Le rette nel piano possono essere: incidenti: se le due rette r e s hanno un unico punto P in comune. r s r // s P Particolari rette incidenti sono quelle perpendicolari: in questo caso le due rette r e s, nel punto P, formano 4 angoli retti. r s 3

4 Nel Piano cartesiano ortogonale, le rette possono essere: obliqua passante per lorigine obliqua NON passante per lorigine parallele allasse delle ordinate parallele allasse delle ascisse 4

5 Per ottenere queste equazioni (una per ciascuna posizione della retta nel piano cartesiano), dobbiamo cercare di comprendere quale proprietà accomuna i punti che appartengono ad una determinata retta. Per questo scopo ci serviremo di applet animate create con il programma di Geometria dinamica GeoGebra. Troviamo le equazioni che descrivono le rette, nelle varie posizioni, nel piano cartesiano (equazione del luogo geometrico). 5

6 I punti che si trovano su una retta r parallela allasse delle ordinate y hanno tutti la stessa ascissa: essi, e solo essi, appartengono al luogo geometrico dei punti del piano che hanno la stessa ascissa. Pertanto lequazione che descrive questa proprietà, e quindi, questo luogo, è r: x = a I punti che si trovano su una retta s parallela allasse delle ascisse x hanno tutti la stessa ordinata: essi, e solo essi, appartengono al luogo geometrico dei punti del piano che hanno la stessa ordinata. Pertanto lequazione che descrive questa proprietà, e quindi, questo luogo, è s: y = b Clicca sullimmagine per aprire lanimazione GeoGebra 6

7 Una retta r passante per lorigine degli assi cartesiani è il luogo geometrico dei punti del piano che hanno il rapporto tra la loro ordinata e la corrispondente ascissa costante. Lequazione di questo luogo è: r: y = k x La costante k prende il nome di coefficiente angolare in quanto dal suo valore dipende linclinazione della retta rispetto allasse delle ascisse. 7

8 8 Due punti del piano individuano una ed una sola retta. Questo significa che per disegnare una retta occorre conoscere le coordinate di due suoi punti qualsiasi. ESEMPIO Disegnare nel piano cartesiano la retta r di equazione y = 2x -1 Si tratta di una retta generica con coefficiente angolare k = 2 ed intercetta n = -1. per disegnare questa retta basta conoscere le coordinate di suoi due punti; per fare ciò assegniamo alla x due valori qualsiasi, sostituiamoli nellequazione della retta e calcoliamo i corrispondenti valori dellordinata. Riportiamo i calcoli nello schema: Nel piano cartesiano prendiamo i punti A(0; -1) e B (1; 1) e disegniamo la retta passante per essi.

9 Una retta generica s è il luogo geometrico dei punti del piano le cui ordinate sono date dallordinata del punto corrispondente su una retta r, parallela ad s e passante per lorigine, incrementate di un numero n che è lordinata del punto B di s sullasse delle ordinate. Lequazione di una retta generica è quindi: s: y = k x + n Il numero n viene detto intercetta perché è il punto in cui la retta s intercetta (incontra) lasse delle ordinate. 9 Clicca sullimmagine per aprire lanimazione GeoGebra

10 Ricordiamo ciò che abbiamo imparato nella slide n. 3 sulla posizione di due rette nel piano e, ora che conosciamo le varie equazioni della retta nel piano, analizziamo la situazione anche da un altro punto di vista; apriamo, cioè, due finestre: quella grafica e quella analitica! 10 hanno tutti gli infiniti punti che le compongono sovrapposti. Punto di vista analitico nel piano cartesiano hanno la stessa inclinazione, quindi lo stesso coefficiente angolare, e la stessa intercetta. La retta r: y = k x + n e la retta s: y = k x + n sono coincidenti se: Punto di vista geometrico r s k = k e n = n r e s hanno la stessa equazione Quindi: r s

11 11 La retta r: y = k x + n e la retta s: y = k x + n sono parallele se: Punto di vista geometrico Punto di vista analitico NON hanno nessun punto in comune e quindi la distanza tra di esse è costante. nel piano cartesiano hanno la stessa inclinazione, quindi lo stesso coefficiente angolare, MA intercetta diversa – se anche le intercette fossero uguali le due rette sarebbero coincidenti! - Quindi: r s k = k e n n

12 12 La retta r: y = k x + n e la retta s: y = k x + n sono incidenti se: Punto di vista geometrico Punto di vista analitico si incontrano in un punto P che quindi appartiene alle due rette nel piano cartesiano hanno diversa inclinazione, pertanto diverso coefficiente angolare; quindi r s k k diverse n In questo caso le coordinate del punto di incontro P(punto di intersezione) si determinano risolvendo il sistema formato dalle equazioni delle due rette uguali n = n In questo caso le coordinate del punto di incontro P sono (0; n), cioè le rette si incontrano sullasse delle ordinate le intercette possono essere:

13 13 La retta r: y = k x + n e la retta s: y = k x + n sono incidenti perpendicolarmente se: Punto di vista geometrico Punto di vista analitico si incontrano in un punto P formando 4 angoli retti analiticamente r s k = - 1/ k cioè il coefficiente angolare di una è lantireciproco (linverso cambiato di segno) dellaltra

14 ESEMPIO 1 Qual è la posizione delle rette r: y = 2x - 5 e s: y = 3x – 6 Osserviamo che queste due rette hanno i coefficienti angolari diversi (k r = 2 e k s = 3), quindi sono incidenti, cioè si incontrano in un punto P. Anche le loro intercette sono diverse (n r = -5 e n s = -6), quindi si incontrano in un punto qualsiasi del piano cartesiano. Per trovare le coordinate del punto di intersezione P, dobbiamo risolvere il sistema formato dalle equazioni delle due rette: Pertanto le coordinate del punto di intersezione P sono ( 1; 3), come confermato dal disegno.

15 15 ESEMPIO 2 Qual è la posizione delle rette r: y = 5x - 4 e s: y = 5x – 6 Le rette r e s hanno lo stesso coefficiente angolare (k r = 5 e k s = 5), quindi sono parallele e non hanno punti in comune. La situazione è confermata anche al disegno. r s

16 16 ESEMPIO 2 Qual è la posizione delle rette r: y = 2x + 3 e s: y = - 1/2x + 3 Queste due rette hanno i coefficienti angolari che sono luno lantireciproco dellaltro (k r = 2 e k s = -1/2), questo significa che le due rette sono incidenti perpendicolarmente. Osserviamo che le due rette hanno il la stessa intercetta (n r = n s = 3) questo significa che si incontrano sullasse delle ordinate nel punto P di coordinate (0; 3) Questa situazione è confermata dal disegno.

17 Se un punto P(x P ; y P ) giace su una retta r: y = k x + n allora le coordinate di P soddisfano lequazione della retta; accade quindi che, se si sostituiscono le coordinate di P nellequazione di r, leguaglianza risulta verificata: y P = k x P + n. In tal caso si scrive P r ESEMPIO Il punto P (3; 5) appartiene alla retta r di equazione y = 2x – 1? Basta sostituire le coordinate di P nellequazione: y P = k x P + n 5 = 2 * 3 – 1 Poiché questa eguaglianza è vera possiamo affermare che P r 17

18 Per fascio di rette si intende un insieme di rette accumunate da una stessa caratteristica. I fasci di rette possono essere impropri e propri Un fascio di rette si dice improprio se è formato da rette aventi tutte lo stesso coefficiente angolare (ed, evidentemente, diversa intercetta!) Un fascio di rette si dice proprio se è formato da rette passanti tutte per uno stesso punto P (aventi, quindi, coefficienti angolari diversi!). Il Punto P si chiama Centro del Fascio 18

19 Se il fascio di rette è improprio le rette avranno tutte un coefficiente angolare costante (che non cambia) k 0 mentre lintercetta n sarà variabile in (cioè le rette incontreranno lasse delle ordinate in punti diversi!) Lequazione che descrive un tale fascio sarà: ESEMPIO Scrivere lequazione del fascio di rette parallele alla retta r: y = 4x – 2 Poiché k 0 = 4, lequazione del fascio improprio è: y = 4x + n con n variabile in Questa equazione descrive TUTTE le infinite rette parallele, con la stessa inclinazione, con coefficiente angolare k = 4 y = k 0 x + n con k 0 costante e n 19

20 Per dedurre lequazione di un fascio di rette proprio di centro P, facciamo le seguenti considerazioni. Scriviamo lequazione di una retta generica del fascio Il punto P, essendo il centro del fascio, appartiene a tutte le rette del fascio e, quindi, le sue coordinate soddisfano alla generica retta del fascio. Sottraendo membro a membro i termini delle 2 equazioni si ottiene: Da cui y = k x + n y P = k x P + n y – y P = k x - k x P y – y P = k (x - x P ) Che è lequazione che descrive TUTTE le infinite rette passanti per lo stesso punto P, centro del fascio. ESEMPIO Scrivere lequazione del fascio proprio di centro P(1; 2). Basta sostituire le coordinate di P nellequazione del Fascio y – y P = k (x - x P ); pertanto Fascio P : y – 2 = k ( x – 1) y = k (x – 1)

21 Uno dei postulati della retta dice che: Per due punti distinti passa una ed una sola retta Se A(x A ; y A ) e B(x B ; y B ) sono due punti del piano, per essi passerà, quindi, una ed una sola retta r; ci proponiamo di determinarne il coefficiente angolare, cioè il valore di k ad essa corrispondente. Ragioniamo così: Sia r: y = k x + n lequazione di una retta generica r. Se il punto A ed il punto B appartengono alla stessa retta r, le loro coordinate verificano lequazione: y A = k x A + n y B = k x B + n Sottraendo membro a membro, si ha y A - y B = k x A - k x B y A - y B = k (x A - x B ) ESEMPIO Qual è il coefficiente angolare della retta r passante per A(3; 6) e B (1; 4)? Basta sostituire le coordinate dei punti nella formula di k trovata: k = (y A - y B )/ (y A - y B ) = (6 – 4) / (3 – 1) = 2 / 2 = 1 Da cui Ovviamente non è importante lordine degli indici! E buona norma scrivere (con i pedici!) per indicare il coefficiente angolare relativo ai punti A e B. 21

22 Ci proponiamo ora di determinare lequazione della retta passante per due punti assegnati. Ragioniamo così: - Consideriamo il fascio di rette avente centro A oppure B – nel disegno abbiamo considerato il fascio di centro A – - Lequazione del fascio sarà F A : y – y A = k (x - x A ) - Al fascio per A appartengono infinite rette aventi diversi coefficienti angolari k - vedi disegno –. - Tra queste infinite rette cè anche quella passante per il punto B, che avrà come coefficiente angolare - Per determinare, allora, lequazione della retta passante per A e per B, basterà sostituire il valore nellequazione di F A. 22 ESEMPIO Determinare lequazione della retta passante per i punti A(2; 1) e B(6;3). Il fascio per A è F A : y – y A = k (x - x A ) y – 1 = k(x – 2) Il coefficiente angolare della retta per A e B è dato da Sostituendo questo valore nellequazione del fascio F A si ottiene lequazione della retta per A e B: r AB : y – 1 = k(x – 2) y – 1 = ½ (x – 2) y = ½ x y = ½ x

23 23 Tutti i passaggi mostrati precedentemente per arrivare a determinare lequazione della retta passante per due punti A(x A ; y A ) e B(x B ; y B ), possono essere sintetizzati ricorrendo al calcolo del semplice determinante Svolgiamo lesercizio precedente risolvendo il determinante ESEMPIO Determinare lequazione della retta passante per i punti A(2; 1) e B(6;3). Scriviamo il determinante sostituendo i valori delle coordinate di A e di B e risolviamolo con il metodo di Sarrus da cui 4y - 2x = 0 y = ½ x Che è lo stesso risultato trovato prima!

24 24 Per distanza di un punto da una retta si intende la lunghezza del segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta. Per calcolare la distanza (lunghezza del segmento AH) si ragiona così: - se lequazione della retta r è y = kx + n, il suo coefficiente angolare sarà k - la retta che passa per A e H, essendo perpendicolare a r, avrà il coefficiente angolare che sarà lantireciproco di k, cioè - il fascio di rette di centro A è F A : y – y A = k (x - x A ) - per scrivere lequazione della retta passante per A e H e perpendicolare alla retta r, basta sostituire al k nel fascio per A ottenendo - a questo punto si possono trovare le coordinate di H risolvendo il sistema - trovate le coordinate di H, si calcola la distanza tra A e H. - al termine di tutti questi passaggi si arriva alla formula che è quella che viene usata per calcolare la distanza.

25 25 ESEMPIO Calcola la distanza del punto A(3, 4) dalla retta r: y = 2x +6 Senza fare tutti i passaggi descritti nella slide precedente, basta applicare la formula tenendo conto che = 2, = 3, = 4 e n = 6


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