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Il triangolo è un poligono che ha tre lati e tre angoli; Il triangolo è un poligono che ha tre lati e tre angoli;

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2 Il triangolo è un poligono che ha tre lati e tre angoli; Il triangolo è un poligono che ha tre lati e tre angoli;

3 Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

4 Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli

5 Punti notevoli del triangolo Laltezza Eil segmento di perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto. Ogni triangolo ha tre altezze che si incontrano in un punto detto ortocentro. A B C H O

6 La mediana E il segmento condotto da un vertice al punto medio del lato opposto. Ogni triangolo ha tre mediane che si incontrano in un punto detto baricentro. Punti notevoli del triangolo AB C G

7 La bisettrice è il segmento che divide langolo in due parti congruenti e che ha come estremi un vertice e un punto del lato opposto Ogni triangolo ha tre bisettrici che si incontrano in un punto detto incentro. Punti notevoli del triangolo A B C I

8 Lasse è la retta perpendicolare al lato e passante per il suo punto medio.Ogni triangolo ha tre assi che si incontrano in un punto detto circocentro. Punti notevoli del triangolo A B C

9 Lato obliquo Angolo al vertice Base Angoli alla base Triangolo Isoscele

10 Triangolo equilatero 60°

11 Triangolo rettangolo Ipotenusa Cateto maggiore Cateto minore 90°

12 Triangoli congruenti Dalla definizione di figure uguali, due triangoli sono congruenti se esiste un movimento rigido con il quale essi possono essere sovrapposti in modo da coincidere. Le due figure avranno tre angoli uguali e tre lati uguali. I criteri di congruenza riducono a tre gli elementi affinchè due triangoli siano uguali, di cui almeno uno sia un lato

13 1° Criterio di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e langolo tra essi compreso Ts ABC = ABC Hp AB =AB, AC = AC ^ ^ BAC =BAC A A BC B C

14 Dimostrazione secondo Euclide Se il triangolo ABC è sovrapposto a ABC e il punto A viene a coincidere con A e la retta AB con la retta AB,anche il punto B coinciderà con B essendo AB =AB; anche la retta AC coinciderà con AC, essendo langolo BAC=ABC, cosicchè pure il punto C coinciderà con C, essendo AC=AC. Tuttavia anche B ha coinciso con B, cosicchè la base BC coinciderà con BC. Quindi i due triangoli sono congruenti BC B C A A

15 2° Criterio di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno congruente un lato e i due angoli ad esso adiacenti. …dimostriamolo per assurdo!!!

16 Per ipotesi abbiamo: AB ~ A'B' AB ~ A'B' CAB ~ C'A'B' CAB ~ C'A'B' ABC ~ A ' B ' C ' ABC ~ A ' B ' C ' C A B C A B Procediamo per assurdo, quindi neghiamo la tesi … ^^ ^^

17 …supponiamo quindi che i due triangoli non siano congruenti => AC A'C'. …supponiamo quindi che i due triangoli non siano congruenti => AC A'C'. Ad esempio sia AC > A'C' => esisterà su AC un punto D tale che AD ~ A'C' … Ad esempio sia AC > A'C' => esisterà su AC un punto D tale che AD ~ A'C' … D C A B C A B

18 Consideriamo i triangoli ABD e A'B'C' C A B C A B Essi hanno: ^ ^ BAC =BAC per ipotesi AD ~ AC per costruzione AB ~ A'B' per ipotesi I due triangoli sono quindi congruenti per il primo criterio, in particolare risulta ^ ^ ABD ~ A'B'C' D …MA…

19 ^ ^ …ricordiamo che per ipotesi A'B'C' ~ ABC C A B C A B …dalla diapositiva precedente risulta che ^ ^ ABD ~ A'B'C' …quindi per la proprietà transitiva si ha ^ ^ ABD ~ ABC D

20 …ma affermare che …ma affermare che ABD ~ ABC, è assurdo, perchè ABD è una parte di ABC, in quanto, per costruzione, la semiretta BD, di origine B, è interna allangolo ABC. C A B C A B D ^^^ ^ ^

21 Siamo giunti ad una contraddizione!!!!! …dobbiamo quindi concludere che non è possibile negare la tesi, che quindi risulta essere necessariamente vera… I due triangoli ABC e A'B'C' sono congruenti!!! I due triangoli ABC e A'B'C' sono congruenti!!!

22 Una conseguenza di questi due teoremi è che: Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali In ogni triangolo isoscele la bisettrice dellangolo al vertice è perpendicolare alla base e passa per il suo punto medio In ogni triangolo isoscele la bisettrice dellangolo al vertice è perpendicolare alla base e passa per il suo punto medio

23 3° Criterio di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti i tre lati.

24 Trasporto il primo triangolo sotto al secondo in modo da far coincidere la base Unisco i due vertici Si vengono a formare due triangoli isosceli ABA e ACA che avranno gli angoli alla base AA uguali. Ergo gli angoli BAC e BAC saranno uguali AA B B C C A Conseguenza di ciò è che i triangoli ABC e ABC saranno congruenti per il I criterio (due lati e langolo compreso uguali). Ma allora anche i triangoli ABC e ABC saranno congruenti in quanto ABC e ABC sono congruenti per costruzione. ^^

25 La dimostrazione precedente è stata redatta da Filone di Bisanzio nel III secolo a.C. La dimostrazione precedente è stata redatta da Filone di Bisanzio nel III secolo a.C.

26 Teorema dellangolo esterno In un triangolo qualunque ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni ad esso non adiacenti In un triangolo qualunque ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni ad esso non adiacenti AB C D

27 ABC è triangolo Hp CBD è angolo esterno ^ ^^ Ts CBD ACB e CBD CAB ^^ Conduco il segmento AF per il punto medio di CB, con AE =EF, e unisco F con B. Si vengono a formare due triangoli AEC e EBF E AB C D F

28 ACE=CBF AE =EF per costruzione CE = EB per costruzione AEC=BEF opposti al vertice AEC = EBF Per il I criterio E AB C D F ^ ^ ^ ^ Allora CBD ACB Ora dimostriamolo per laltro angolo

29 Dal vertice Dal vertice C conduco il segmento CF per il punto medio di AB, con AD = DB, e unisco F con C Si vengono a formare due triangoli ADC e DBF che risultano uguali in quanto AB C E F D ADC = DBF Per il I criterio AD =DB per costruzione CD = DF per costruzione ADC=BDF opposti al vertice ^ ^ ^ ^ CAD=DBF Allora GBD DBF, ma DBG = CBE perchè opposti al vertice, ergo CBE CAD G ^ ^ ^ ^ ^ ^

30 II teorema dellangolo esterno In un triangolo qualsiasi la somma di due angoli interni è minore di un angolo piatto AB C D Ts ACB + CBA 180° CBD ACB per il teorema precedente, sommo ABC ad entrambi i membri CBD +ABC ACB +ABC ovvero 180° ACB +ABC ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

31 Retta perpendicolare ad una retta data Per un punto di un piano passa una ed una sola retta perpendicolare a una retta data nello stesso piano

32 Primo caso: il punto appartiene alla retta Dato O AB, si conduca la bisettrice di AOB, essa è unica perché è unica la semiretta che divide in due parti uguali un angolo. La bisettrice di un angolo piatto è un angolo retto Dato O AB, si conduca la bisettrice di AOB, essa è unica perché è unica la semiretta che divide in due parti uguali un angolo. La bisettrice di un angolo piatto è un angolo retto A B O

33 Dato C esterno ad AB, lo si congiunga con D AB. Costruisco dallaltra parte di AB ADP = ADC e DP = DC Secondo caso: il punto non appartiene alla retta A B C D P Il triangolo CDP è isoscele e DH È la bisettrice che è anche laltezza Ergo: per C esiste la retta AB. Essa è unica perché se ce ne fosse unaltra, per esempio CK, Il triangolo CHK avrebbe due angoli retti HK ^ ^

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