La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Cap. 13 Cerchio e circonferenza. Terzo postulato Punto A (centro) Lunghezza Circonferenza Per definire una circonferenza basta prendere un punto come.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Cap. 13 Cerchio e circonferenza. Terzo postulato Punto A (centro) Lunghezza Circonferenza Per definire una circonferenza basta prendere un punto come."— Transcript della presentazione:

1 Cap. 13 Cerchio e circonferenza

2 Terzo postulato Punto A (centro) Lunghezza Circonferenza Per definire una circonferenza basta prendere un punto come centro e una lunghezza come raggio

3 Definizione di c c c c c iiii rrrr cccc oooo nnnn ffff eeee rrrr eeee nnnn zzzz aaaaSi definisce circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto detto centro della circonferenza

4 Quante circonferenze passano per un punto? Quante circonferenze passano per due punti? Ricorda lasse di un segmento Lasse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai suoi estremi Qualsiasi punto dellasse può essere in centro di una circonferenza che passa per A e B perciò …..

5 Il circocentro Dal latino circum (circolo) e dal greco (centro) Si definisce circocentro il punto di incontro dei tre assi di un triangolo Il nome deriva da una proprietà facilmente ricavabile se si ricorda il significato di asse Quante circonferenze passano per tre punti non allineati?….. Ricordiamo il circocentro di un triangolo

6 Proprietà del circocentro Consideriamo lasse del lato CB, per definizione il punto O (appartenente allasse) è equidistante da C e da B OB = OC Prendiamo lasse del lato AC, ancora una volta O è equidistante da A e da C OC = OA A questo punto si ha che: OB=OC=OA Il circocentro è equidistante di vertici del triangolo

7 Il centro del circolo …. È ora chiaro che il circocentro è il centro cella circonferenza che passa per i vertici del triangolo Da cui …. Qualsiasi triangolo può essere inscritto in una circonferenza I vertici di un triangolo costituiscono tre punti non allineati pertanto ….

8 Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza

9 Definizione di cerchio Si definisce cerchio la porzione di piano racchiusa da una circonferenza

10 Raggio Si definisce raggio di una circonferenza in segmento che unisce il centro con un qualsiasi punto della circonferenza Tutti i raggi di una stessa circonferenza sono congruenti

11 Corda e diametro Si definisce corda qualsiasi segmento che unisce due punti della circonferenza Si definisce diametro una corda che passa per il centro della circonferenza Tutti i diametri sono congruenti È facile vedere che : d = 2r Il diametro rappresenta anche la corda di dimensione massima

12 Semicirconferenza Consideriamo una circonferenza e un suo diametro Il diametro divide la circonferenza in due parti congruenti Ciascuna di queste parti prende il nome di semicirconferenza si definisce semicirconferenza ciascuna delle due parti in cui la circonferenza risulta suddivisa da un suo diametro

13 Arco di circonferenza Prendiamo una circonferenza e mettiamo su di essa due punti Si definisce arco di circonferenza ciascuna delle due parti in cui la circonferenza risulta suddivisa dai due punti I punti B e C individuano larco c e larco d

14 Arco e angolo al centro Se degli estremi di un arco di circonferenza traccio i due raggi si forma un angolo al centro Se degli estremi di un arco di circonferenza traccio i due raggi si forma un angolo al centro Tale angolo prende il nome di angolo al centro Si dice che larco AB sottende un angolo e langolo è sotteso da un arco AB Archi uguali sottendono angoli uguali

15 Relazione arco - corda Dai i due punti che costituiscono gli estremi dellarco io posso tracciare una corda In questo caso diremo che la corda AB che la corda AB sottende larco AB Larco AB è sotteso dalla corda AB

16 È data una circonferenza di centro O e raggio r Su di essa tracciamo due archi congruenti AB e AB Essi sottendono le corde a e a Se tracciamo i raggi otteniamo due triangoli OAB e OAB congruenti per il primo criterio perché: OB = OB e OA = OB perché raggi di una stessa circonferenza = perché angoli al centro di archi uguali Se ciò è vero possiamo concludere che: AB = A B

17 Archi congruenti sono sottesi da corde congruenti Corde congruenti sottendono archi congruenti

18 Prima abbiamo fatto un affermazione a cui non era stata data alcuna giustificazione Essa intuitivamente ci è sembrata vera Dimostriamo che effettivamente è così Prendiamo la seguente figura Consideriamo il triangolo ABO Per il criterio di esistenza dobbiamo avere che AB < AO + OB Cioè corda < r + r Ma r + r = d perciò Corda < d Il diametro rappresenta anche la corda di dimensione massima c o r d a r a g g i o In ogni circonferenza qualsiasi corda è minore del diametro

19 Proprietà del triangolo isoscele Se i triangoli ACD e CDB sono uguali sia ha che AD = DB cioè D è il punto medio e laltezza è anche mediana Laltezza è la perpendicolare condotta a partire dal punto medio perciò sta sul suo asse Se i triangoli ACD e BCD sono uguali saranno uguali anche e perciò laltezza è anche bisettrice dellangolo in C In un triangolo isoscele laltezza relativa alla base è anche asse, mediana e bisettrice

20 È data una circonferenza di centro O e raggio r ed una sua corda AD Tracciamo due raggi che uniscono gli estremi della corda col centro della circonferenza Otteniamo il triangolo isoscele ABO Tracciamo laltezza, essa sarà anche asse, mediana, e bisettrice pertanto … La perpendicolare alla corda passante per il centro della circonferenza divide la corda a metà Consideriamo ora unaltra corda congruente con la prima e tracciamo i raggi dai suoi due estremi Per il terzo criterio i triangoli AOB e ABO risulteranno congruenti Le loro altezze h e h risulteranno congruenti Se due corde sono congruenti e appartengono alla stessa circonferenza sono equidistanti dal centro

21 Posizioni reciproche di punto e circonferenza appartenente ad un piano Un punto è esterno ad una circonferenza se la sua distanza dal centro è maggiore del suo raggio OA > r Un punto appartiene alla circonferenza se la sua distanza dal centro è uguale al suo raggio OA = r Un punto è interno ad una circonferenza se la sua distanza dal centro è minore del raggio

22 Secanti e tangenti Una retta si dice secante se interseca una curva in due o più punti Una retta si dice tangente ad una curva se ha un solo punto di contatto (da tangere toccare) con la curva (o meglio la tocca in due punti coincidenti)

23 Posizioni reciproche di retta e circonferenza appartenente ad un piano Una retta è esterna ad una circonferenza se la sua distanza dal centro è maggiore del suo raggio OA > r Una retta è tangente alla circonferenza se la sua distanza dal centro è uguale al suo raggio OA = r Una retta è secante ad una circonferenza se la sua distanza dal centro è minore del raggio

24 Tangenti ad una retta da un punto p esterna ad essa È data una circonferenza c di centro o e raggio r ed un punto p esterno ad essa Dal punto P tracciamo le tangenti m e t alla circonferenza e siano H e K i punti di contatto Tracciamo i segmenti OH, OP e OH e otteniamo due triangoli OHP e OKP congruenti per il primo principio di congruenza Pertanto risulta anche che PH = PK I segmenti che hanno per estremi il punto P e i punti di tangenza alla circonferenza sono congruenti

25 Le tangenti alla circonferenza Le tangenti alla circonferenza sono sempre perpendicolari al raggio La dimostrazione è per assurdo e non rientra nei programmi di scuola media

26 Dimostriamo che i triangoli OHP e OKP sono congruenti Tracciamo la corda HK Il segmento OP sta sullasse della corda pertanto è bisettrice di KOH perché, come sappiamo, il triangolo OKH è isoscele A questo punto abbiamo: a = b 1 = 2 e d in comune I due triangoli sono congruenti per il primo principio

27 Posizioni reciproche di due circonferenze Sono date due circonferenze di centri O e O e raggi r ed r con r>r le due circonferenze si dicono: Esterne se non hanno alcun punto di contatto con OO > r + r Tangenti esterne se si toccano in un punto P con OO = r + r Secanti se hanno due punti P e Q di contatto r – r < OO < r + r Tangenti interne se si toccano in un punto P con OO = r – r Interne se non hanno alcun punto di contatto con OO < r – r Concentriche se si ha che O O

28 Angolo alla circonferenza si chiama angolo alla circonferenza un angolo con il vertice su una circonferenza e i lati o entrambi secanti (prima specie), o uno secante e l'altro tangente alla circonferenza (seconda specie).

29 Relazione fra angolo e angolo alla circonferenza Sia data una circonferenza c di centro O e raggio r e un arco AB su di essa Tracciamo un angolo al centro e uno alla circonferenza che insistono sullo stesso arco d Tracciamo il diametro che passa per C ed O Il triangolo COA avrà gli angoli, e 180 – 2 Gli angoli AOD e COA sono supplementari, siccome uno dei due è 180 – 2 laltro necessariamente sarà 2 il doppio di ACO Discorso analogo lo possiamo fare per il triangolo OCB e per langolo DOB

30 Langolo alla circonferenza sarà dato da + L angolo al centro da x c ioè esattamente il doppio dell angolo alla circonferenza In una circonferenza l angolo al centro che insiste su un certo arco sarà sempre il doppio dell angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco

31 Angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco Su uno stesso arco di circonferenza insistono infiniti angoli alla circonferenza ed hanno tutti lo stesso valore

32 Segmento circolare Consideriamo un cerchio ed una sua corda a La corda divide il cerchio in due parti Si definisce segmento circolare ciascuna delle due parti Si definisce segmento circolare una porzione di cerchio delimitata da una corda

33 Settore circolare Prendiamo un cerchio e un suo arco BC Tracciamo i due raggi che uniscono gli estremi dellarco con il centro Otteniamo cosi una porzione di cerchio Si dice settore circolare la porzione di cerchio racchiusa da due raggi e un arco di circonferenza. Cosa succede se aumento ?

34 Corona circolare Consideriamo due circonferenze concentriche di raggio r1 ed r2 con r1 > r2 fra le due circonferenze si trova una porzione di piano Chiamiamo questa porzione di piano corona circolare Si definisce corona circolare la porzione di piano racchiusa fra due circonferenze

35 Formule C = x d Ma d = 2 x r allora Circonferenza uguale a p greco per il diametro C = x 2r Circonferenza uguale a p greco per due volte il raggio Formu le invers e C d C r


Scaricare ppt "Cap. 13 Cerchio e circonferenza. Terzo postulato Punto A (centro) Lunghezza Circonferenza Per definire una circonferenza basta prendere un punto come."

Presentazioni simili


Annunci Google