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Seminario di Metodi Matematici per lottimizzazione A.A.2011/2012 Interpolazione Trigonometrica Daniele Santamaria – Marco Ventura.

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1 Seminario di Metodi Matematici per lottimizzazione A.A.2011/2012 Interpolazione Trigonometrica Daniele Santamaria – Marco Ventura

2 Sommario Introduzione. Interpolazione. Interpolazione nel piano complesso. Radici n-esime. Interpolazione trigonometrica. Esempi. Implementazione in Matlab.

3 Introduzione Approssimare le funzioni è utile quando: Manca lespressione che descrive un fenomeno e abbiamo solo alcuni valori. Lespressione è nota, ma difficile da gestire.

4 Introduzione Nel primo sostituiamo la funzione f con una più semplice g, che sia quanto più possibile vicina a quella approssimata, rispettando una certa tolleranza: Nel secondo caso cerchiamo una funzione approssimante che passi per i punti noti (interpolazione).

5 Interpolazione Nel caso dellinterpolazione vogliamo che la funzione interpolante passi esattamente per alcuni punti. Date n coppie di numeri reali una funzione g è detta interpolante se: Se come funzione interpolante usiamo i polinomi, linterpolazione si dirà: Interpolazione Polinomiale.

6 Interpolazione Nel corso di Formazione Numerica abbiamo studiato vari metodi di interpolazione: Metodo dei coefficienti Indeterminati. Lagrange. Metodo delle differenze divise di Newton. Hermite.

7 Interpolazione Cosa accade però se la funzione da interpolare è periodica? Ricordiamo che f è periodica di periodo T se: Se f è periodica di periodo T, lo è anche di periodo kT, con k intero.

8 Interpolazione Per approssimare funzioni periodiche non possiamo usare i classici polinomi, in quanto non periodici. Allora dobbiamo considerare i polinomi composti da funzioni che siano: Periodiche. Facili da calcolare. Ovviamente ci riferiamo alle funzioni seno e coseno.

9 Interpolazione Le funzioni seno e coseno godono delle seguenti proprietà: Sono periodiche. Facili da calcolare. Sono ortogonali tra loro in un intervallo di, allora sono anche linearmente indipendenti e quindi formano una base. Le loro derivate e primitive sono funzioni della stessa classe.

10 Interpolazione Vogliamo calcolare un nuovo polinomio, ovvero un Polinomio Trigonometrico, la cui base è data dalle funzioni: In particolare una funzione del tipo: È detta Polinomio Trigonometrico di grado m.

11 Interpolazione Quindi, data funzione periodica, il problema dellinterpolazione trigonometrica è quello di trovare Dove, dati n punti:

12 Interpolazione nel piano complesso Per trovare F(x) nel piano reale possiamo partire dal caso generale nel piano complesso. Infatti, dato che una funzione a valori reali può essere considerata come una particolare funzione a valori complessi il problema in R può essere considerato un caso particolare del problema in C. Pertanto, il problema dellinterpolazione trigonometrica è riconducibile al problema di interpolazione polinomiale sul cerchio unitario nel piano complesso.

13 Interpolazione nel piano complesso Nel piano complesso gli n nodi corrispondono alle radici n-esime dellunita, cioè dei punti del cerchio unitario. Geometricamente sono i vertici di un poligono regolare di n lati i cui vertici sono disposti lungo la circonferenza unitaria, radialmente equispaziati e con un vertice in (1,0).

14 Radice n-esima Nel piano complesso gli n nodi sono le radici n-esime dellunità, cioè i punti del cerchio unitario:

15 Interpolazione nel piano complesso Linterpolazione polinomiale nel piano complesso consiste nel trovare i numeri complessi coefficienti del polinomio di grado al più n-1: Tale che:

16 Interpolazione nel piano complesso Partendo dalle precedenti formule (1 e 2) si ha che i coefficienti z si ricavano risolvendo il sistema: Con: 3 3

17 Interpolazione nel piano complesso V è la matrice di Vandermonde con elementi

18 Interpolazione nel piano complesso Se n=3

19 Interpolazione nel piano complesso Dobbiamo risolvere il sistema 3. Definita la trasposta i cui elementi sono i coniugati degli elementi di V si ha che: Quindi:

20 Interpolazione nel piano complesso Il vettore z è la Trasformata Discreta di Fourier: Il vettore y è la Trasformata Discreta Inversa di Fourier: 4 4

21 Interpolazione nel piano complesso Osserviamo che ponendo i valori Corrispondono alle radici n-esime dellunità E, per la 3, ai valori

22 Interpolazione nel piano complesso Adesso abbiamo quello che serve per calcolare il polinomio 1: Distingueremo due casi, uno per n pari e laltro per n dispari.

23 Interpolazione nel piano complesso Se n è dispari, ponendo n=2m-1, avremo:

24 Interpolazione nel piano complesso Alla fine, per n dispari si ottiene: Analogamente per n pari poniamo n=2m, allora

25 Interpolazione nel piano complesso Iniziamo calcolando Visto che (formula di Eulero):

26 Interpolazione nel piano complesso Si ottiene Ma e, allora:

27 Interpolazione nel piano complesso Pongo Ottenendo

28 Interpolazione nel piano complesso Calcoliamo il coefficiente,, e per la 4:

29 Interpolazione nel piano complesso Richiamando Eulero: Otteniamo:

30 Interpolazione nel piano complesso Calcoliamo il coefficiente,, per la 4:

31 Interpolazione nel piano complesso Richiamando Eulero: Otteniamo:

32 Interpolazione nel piano complesso Torniamo al polinomio: con

33 Interpolazione nel piano complesso Considerando che: Abbiamo:

34 Interpolazione nel piano complesso Ponendo:

35 Interpolazione Trigonometrica Si ha che il polinomio trigonometrico di interpolazione della funzione negli n punti vale: Ponendo n=2m-1 se n è dispari e n=2m se è pari.

36 Interpolazione Trigonometrica I coefficienti sono dati da:

37 Esempi Calcoliamo il polinomio trigonometrico per una semplice funzione periodica. Consideriamo ed f sia periodica. Supponiamo di voler interpolare su 4 punti.

38 Esempi Avremo: Dividiamo il dominio in punti equidistanti:

39 Esempi n è pari, allora calcoleremo ovvero

40 Esempi Calcoliamo i coefficienti:,,,.

41 Esempi Continuando, si ha:

42 Esempi Lultimo coefficiente vale:

43 Esempi Pertanto il polinomio cercato nei 4 punti vale:

44 Esempi Risultato grafico su tre periodi di f

45 Esempi Interpolazione su 10 punti:

46 Esempi Interpolazione su 25 punti:

47 Esempi Proviamo con: e n=5

48 Esempi Proviamo con: e n=20

49 Esempi Proviamo con: e n=50

50 Implementazione in MatLab InterpolazioneTri.m


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