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D.ssa Roberta Romanelli Psicometria II (fascia I-Z)

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Presentazione sul tema: "D.ssa Roberta Romanelli Psicometria II (fascia I-Z)"— Transcript della presentazione:

1 d.ssa Roberta Romanelli Psicometria II (fascia I-Z)

2 LANOVA è una tecnica statistica che permette di verificare ipotesi su differenze tra medie di 2 o più popolazioni. Che cosa è? Var. Dipendente Scala a Intervalli e/o a Rapporti equivalenti Var. Indipendente Scala Nominale Gruppo sperimentale VS Gruppo di controllo

3 Terminologia Variabile indipendente/ sperimentale una variabile che il ricercatore sottopone a manipolazione sperimentale Variabile quasi- indipendente una variabile utilizzata per distinguere fra diversi gruppi di risultati (es: sesso) Variabile dipendente: una variabile il cui valore è determinato da quello dei fattori FATTORI

4 È una tecnica statistica basata sulla scomposizione della variabilità totale dei dati in due parti: Una prima definizione VARIABILITA SPERIMENTALE che è dovuta alle variabili introdotte o studiate dallo sperimentatore VARIABILITA ACCIDENTALE o RESIDUA dovuta a tutte le variabili che non è possibile controllare o che non sono state controllate

5 può assumere diversi valori Ogni punteggio Y dipende dal gruppo cui appartiene il soggetto (più un errore). Possiamo prevedere il punteggio di ogni soggetto in base al gruppo cui appartiene Come verifichiamo se i punteggi osservati dipendono dallappartenen za a gruppi diversi?

6 12…jk 1x 11 x 12 …x 1j x 1k 2x 21 x 22...…...… ix i1 x i2 …x ij x ik nx n1 x n2 …x nj x nk

7 Differenza tra le medie = Variabilità tra gruppi VARIABILITA TOTALE VARIABILITA TRA I GRUPPI (o Between) VARIABILITA ENTRO I GRUPPI (o Within) -Trattamento - Differenze individuali -Errore casuale - Differenze individuali -Errore casuale

8 Differenza tra le medie = Variabilità tra gruppi VARIABILITA TOTALE VARIABILITA TRA I GRUPPI (o Between) VARIABILITA ENTRO I GRUPPI (o Within) Viene isolata eliminando la variabilità che esiste allinterno di ogni gruppo Deve essere isolata dalla variabilità tra i gruppi Il punteggio ottenuto da ogni soggetto viene confrontato con la media generale Il punteggio ottenuto da ogni soggetto viene confrontato con la media del proprio gruppo

9 Non ci sono differenze significative tra le medie dei gruppi Il trattamento non produce effetti La variabilità tra gruppi e quella entro i gruppi sono molto simili perché comprendono entrambe solo la varianza derrore Quando lIPOTESI NULLA è vera Ci sono differenze significative tra le medie dei gruppi Il trattamento produce effetti La variabilità tra gruppi sarà maggiore di quella entro i gruppi Quando lIPOTESI NULLA è falsa

10 Il modello teorico Media generale dei punteggi nel campione totale Effetto dovuto al trattamento Errore casuale (o Residuo) -È specifica per ogni soggetto - Il suo valore dipende da: - differenze individuali tra i soggetti -Errore di specificazione del modello -Non attendibilità delle misure Questo modello è relativo ai dati della popolazione

11 …. Noi lavoriamo sulle stime campionarie dei parametri della popolazione…. Stima Media generale del campione Differenza tra la media dei gruppi e la media generale del campione Differenza tra il punteggio del soggetto e la media del gruppo in cui si trova Quanto il punteggio del soggetto j è determinato dallappartenenza alla condizione i Variabilità dei punteggi del soggetto j allinterno di ogni gruppo

12 Solo 1 Var.Indipendente ANOVA A 1 VIA 2 o più Var.Indipendenti ANOVA FATTORIALE Solo 1 Var.Dipendente ANOVA UNIVARIATA 2 o più Var.Dipendenti ANOVA MULTIVARIATA o MANOVA Classificazione generale

13 È definita anche: Disegno di ricerca tra i soggetti ad un solo fattore Disegni per gruppi indipendenti La condizione sperimentale è determinata dai livelli della VI Ad ogni condizione troviamo un gruppo di soggetti diversi Gruppi indipendenti ANOVA UNIVARIATA

14 3 gruppi esposti a 3 trattamenti diversi T1,T2,T3. La media complessiva è 10 Se il punteggio del soggetto fosse dovuto solo alleffetto della media allora …. Esempio T1T2T3 10 TUTTI I SOGGETTI HANNO LO STESSO PUNTEGGIO

15 Se il trattamento ha effetto. Ad esempio: –T1: diminuzione di 2 punti –T2: diminuzione di 1 punto –T3: aumento di 3 punti Il punteggio di ogni soggetto sarà: Se nel punteggio influiscono sia la media generale, sia il trattamento sia la variabilità dovuta allerrore casuale Il punteggio di ogni soggetto sarà: T1T2T T1T2T3 9 ( ε = 1) 8 ( ε = -1) 13 ( ε=0) 7 ( ε = -1) 9 ( ε = 0) 13 ( ε=1)

16 somma dei quadrati degli scostamenti di ogni punteggio dalla media La devianza DEVIANZA 1)DEVIANZA TOTALE Somma dei quadrati degli scarti dei punteggi ( ) dalla media generale ( ) 2) DEVIANZA TRA I GRUPPI Somma dei quadrati degli scarti dei punteggi (o Dev. BETWEEN) medi del gruppo di appartenenza ( ) dalla media generale 3) DEVIANZA ENTRO I GRUPPI Somma dei quadrati degli scarti dei punteggi di (o Dev. WITHIN) ogni singolo soggetto ( ) dalla media del gruppo di appartenenza ( )

17 …..in formule DEVIANZA TOTALE DEVIANZA BETWEEN DEVIANZA WITHIN + = + n - 1 k - 1 n - k n – 1 = k – 1 + n - k

18 Riprendendo i dati dellesempio precedente Calcoliamo le devianze: … esempio T1T2T3 9 ( ε = 1) 8 ( ε = -1) 13 ( ε=0) 7 ( ε = -1) 9 ( ε = 0) 13 ( ε=1) media88,513 y ij Gr.appartenen za Dev.TotaleDev.BetweenDev.Within 91(9-10) 2 = 1(8-10) 2 (9-8) 2 71(7-10) 2 = 9(8-10) 2 (7-8) 2 82(8-10) 2 = 4(8.5-10) 2 (8-8.5) 2 92(9-10) 2 = 1(8.5-10) 2 (9-8.5) 2 133(13-10) 2 = 9(13-10) 2 (13-13) 2 143(14-10) 2 =16(13-10) 2 (14-13) 2

19 Dividendo le devianze per i rispettivi gradi di libertà otteniamo: …. come ricaviamo la varianza? Riflette leffetto del trattamento sperimentale, delle differenze individuali e dellerrore Riflette leffetto delle differenze individuali e dellerrore casuale Differenze sulla VD tra le medie dei gruppi sottoposti a trattamenti diversi Differenze sulla VD tra i punteggi di soggetti appartenenti allo stesso gruppo

20 FONTI DI VARIAZIONE DEVIANZAGDLVARIANZACONFRONTI Trai i gruppi k - 1 Entro i gruppi/residua n – k Totale n - 1

21 Supponiamo di aver effettuato un esperimento nel quale abbiamo assegnato casualmente 10 soggetti ad un gruppo sperimentale e di controllo. Supponiamo che la nostra variabile dipendente sia QUANTITA DI PAROLE DI UNA LISTA RICORDATE DOPO 5 MINUTI Supponiamo che la nostra variabile indipendente sia MODO DIVERSO DI DARE LE ISTRUZIONI (amichevole VS neutro) Esempio

22 Modo amichevole (gr. Sperimentale) Modo neutro (gr. di Controllo) Soggetto Nr. Parole ricordate Soggetto Nr. Parole ricordate MEDIA13MEDIA10

23 Media totale = 11,5 Gr.SperimentaleGr. Controllo 108(13-11,5) 2 (10-11,5) 2 107(13-11,5) 2 (10-11,5) (13-11,5) 2 (10-11,5) (13-11,5) 2 (10-11,5) (13-11,5) 2 (10-11,5) 2 Media gr.sperimentale 13 Media gr.controllo 10 11,2511,25 DEVIANZA BETWEEN CON k-1 gdl 11, ,25 = 22,50 con 2-1=1 gdl Calcoliamo la variabilità between

24 Media totale = 11,5 Gr.SperimentaleGr. Controllo 108(10-13) 2 (8-10) 2 107(10-13) 2 (7-10) (14-13) 2 (10-10) (16-13) 2 (14-10) (15-13) 2 (11-10) 2 Media gr.sperimentale 13 Media gr.controllo DEVIANZA WITHIN CON n-k gdl 32+30= 62 con 10-2=8 gdl Calcoliamo la variabilità within

25 FONTI DI VARIAZIONE DEVIANZAGDLVARIANZACONFRONTI Trai i gruppi 22, ,50/1=22,50 F = 22,50/7,75 = 2,90 Entro i gruppi/residua 62862/8 = 7,75 Totale 84,509

26 Con le formule abbreviate…

27 12…jk 1x 11 x 12 …x 1j x 1k 2x 21 x 22...…...… ix i1 x i2 …x ij x ik nx n1 x n2 …x nj x nk T1T1 T2T2 TjTj TkTk T Q1Q1 Q2Q2 QjQj QkQk Q n1n1 n2n2 njnj nknk N μ1μ1 μ2μ2 μjμj μkμk μ

28 Somma dei Q j Somma dei singoli valori elevati al quadrato di ciascun campione Somma dei singoli valori di ciascun campione Somma dei T j

29 gruppo 1gruppo 2gruppo 3 soggettix i1 x i1 2 x i2 x i2 2 x i3 x i T 1 =9Q 1 =19T 2 =15Q 2 =49T 3 =7Q 3 =11

30 gruppo 1gruppo 2gruppo 3 soggettix i1 x i1 2 x i2 x i2 2 x i3 x i T 1 =9Q 1 =19T 2 =15Q 2 =49T 3 =7Q 3 =11

31 Le osservazioni devono essere raccolte indipendentemente le une dalle altre: il punteggio che presenta un soggetto non deve essere stato influenzato da quello osservato in un altro soggetto Gli errori ε ij si distribuiscono normalmente con media =0. Indici di Asimmetria e Curtosi La variabile indipendente ha k 2 livelli ed è su scala nominale o ordinale La variabile dipendente è misurata su scala a intervalli e/o a rapporti equivalenti Assunzioni di base

32 OMOSCHEDASTICITA: in base alla quale la varianza degli errori σ ε deve essere uguale in ogni gruppo ( test di Levene). Se non è rispettata i diversi gruppi hanno un peso diverso nel determinare la varianza derrore Gli effetti hanno natura addittiva la VI aggiunge qualcosa alla condizione base in maniera identica per tutti i soggetti Gli errori ε ij devono essere indipendenti il punteggio di un soggetto non deve essere correlato con quello di altri soggetti. Randomizzazione Assunzioni di base

33 Il test di verifica delle ipotesi si basa sulle seguenti considerazioni: –Se H O è vera i dati differiscono tra loro solo per leffetto del caso –Se H 1 è vera entrambe le fonti di variabilità determinano la variabilità complessiva Verifica delle ipotesi (1)

34 Segue la distribuzione della F Verifica delle ipotesi (2) Le ipotesi che esamina sono: H o le popolazioni da cui provengono i campioni hanno medie uguali sulla VD H 1 almeno due medie sono diverse, cioè almeno due campioni provengono da popolazioni con medie diverse tra loro

35 Si fissa il livello di α (solitamente pari a.05) Si calcolano i Gradi di Libertà Si calcola il valore dellF crit (gdl B, gdl W ) usando le tavole Si calcola il valore del nostro F secondo la formula F ott = Var B /Var W Verifica delle ipotesi (3)

36 Verifica delle ipotesi (4) Si prende una decisione: –Se F ott < F crit si accetta H 0 le medie delle popolazioni da cui i campioni sono stati estratti non sono significativamente diverse Il trattamento non produce effetto Le VarB e VarW sono molto simili F assume valori bassi, cioè F<1

37 –Se F ott > F crit si rifiuta H 0 almeno due medie delle popolazioni da cui i campioni sono stati estratti sono significativamente diverse La Var B sarà > della Var W F assume valori elevati

38 I pacchetti statistici forniscono due indicazioni: il valore della statistica test il p-value Il p-value rappresenta, intuitivamente, la probabilità di osservare, sotto lipotesi nulla, un valore meno verosimile di quello della statistica test. P-value

39 Il p-value (p) `e quindi un valore compreso tra 0 e 1 tale che: – se α < p si accetta H 0 –se α > p si rifiuta H 0 Il p-value è molto utile perchè consente di fare il test anche non conoscendo nei dettagli la regola di decisione specifica (è sufficiente conoscere lipotesi nulla). Il test mediante il p-value

40 Se i gruppi (k) sono 2 t di Student F di Fisher Se i gruppi (k) sono più di 2 non si può usare la t di Student perché: a)I diversi t non sono indipendenti: aumento del livello di α a)Diminuzione della potenza del test b)La varianza derrore è maggiore con la t di Student perché la numerosità del campione è ridotta.

41 Se F è significativo e quindi la VI ha un effetto significativo possiamo dire che: Almeno tra due delle medie dei gruppi a confronto esiste una differenza significativa Ma quali gruppi differiscono? Uso dei confronti

42 Il ricercatore non può selezionare in anticipo i gruppi da confrontare Ogni media viene confrontata con tutte le altre Confronti post hoc k (k – 1) /2 Il livello di probabilità per un confronto è α Il livello di probabilità per k confronti è Svantaggio Allaumentare del numero dei gruppi aumenta il numero dei confronti Aumenta la probabilità di commettere lerrore di I° Tipo (rifiuto H o quando è vera)

43 Il ricercatore decide in anticipo quali medie vanno confrontate. Le medie possono essere relative ai singoli gruppi oppure è possibile combinare le medie di più gruppi Per valutare la significatività del gruppo di confronti pianificati, si usa il livello di significatività che si utilizzerebbe se si facesse un unico confronto. Confronti pianificati


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