Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

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STRATEGIE DIDATTICHE PER IL POTENZIAMENTO DEL PENSIERO LOGICO: RIFLESSIONI ed ESEMPI per la Scuola secondaria di primo grado gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

MATERIALI E SUPPORTI CONCRETI: MODELLI STATICI – MODELLI DINAMICI – SOFTWARE (CABRI) SCHEMI GRAFICI: TABELLE, GRAFI, DIAGRAMMI A BLOCCHI… LAVORO SUL TESTO: RISPONDERE A DOMANDE – PORRE DOMANDE – CLOZE MATEMATICO – RICERCA DI DATI MANCANTI I LINGUAGGI DELLA MATEMATICA: CONVERSIONI, RAPPRESENTAZIONI COLLEGAMENTO TRA CAMPI COGNITIVI DIVERSI -PENSARE PER ANALOGIE PROBLEMI NON STANDARD PROBLEM POSING STORIA DELLA MATEMATICA NELLA DIDATTICA CONGETTURARE – DISCUTERE – ARGOMENTARE gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

MATERIALI E SUPPORTI CONCRETI: MODELLI STATICI – MODELLI DINAMICI – SOFTWARE (CABRI) “La zia Teresa vuole ricoprire una vecchia cassapanca con una tovaglia di tela plastificata; la nipote prende le misure: la cassapanca è lunga 1 metro e 20 cm, larga 60 cm e alta 80 cm. Zia Teresa vuole che la tovaglia penda di almeno 20 cm, in modo uniforme su tutti e quattro i lati della cassapanca. Insieme, zia e nipote vanno nel negozio e scelgono la tela; la larghezza del rotolo di tela è 140 cm. Quanta se ne deve comperare per accontentare la zia?” Proposto in 5^ elementare e in prima media Modifica del testo sulla base della prima sperimentazione: sostituito “altezza del rotolo” (gli alunni non riuscivano a dare un senso a questa espressione e quindi ad utilizzare l’informazione) E’ presente un dato inutile (altezza della cassapanca). gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Difficoltà per molti alunni: costruirsi una rappresentazione, una immagine mentale corretta ed efficace della situazione di arrivo. Suggerimento dell’insegnante: raffigurare gli oggetti del problema come modelli in scala: un rettangolo di cartoncino 12 x 6 al posto della cassapanca (il che permette di verificare che il dato “altezza” è inutile) una striscia di carta larga 14 cm come rotolo di tela plastificata. Sul modello della situazione risolutiva gli allievi hanno effettuato le misure, ricostruendo “a ritroso” la soluzione. gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

SAPERE COSA: le conoscenze “tecniche” necessarie sono soltanto le quattro operazioni e il significato delle locuzioni avverbiali “almeno” e “in modo uniforme”. SAPERE COME: questo livello di conoscenza richiede di rappresentare la situazione, e ciò può essere fatto mentalmente (da chi ne è già in grado) oppure con l’aiuto di un modello. SAPERE QUANDO E PERCHE’: saper giustificare il procedimento e discutere gli eventuali errori; ciò vale anche per gli alunni che hanno risolto “sperimentalmente” il problema. Spunto per la discussione in classe: cosa cambia se si apportano alcune modifiche al testo: · come si modifica la richiesta (e quindi la soluzione) se si eliminano le locuzioni “almeno” o “in modo uniforme”?. E’ un primo approccio al problem posing, di cui parleremo più avanti. gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

OGGETTI CONCRETI DOTATI DI UNO O PIU’ ELEMENTI MOBILI
MODELLI DINAMICI OGGETTI CONCRETI DOTATI DI UNO O PIU’ ELEMENTI MOBILI “CONCRETIZZANO” OGGETTI MATEMATICI, CONCETTI, SITUAZIONI, PROBLEMI, RELAZIONI….. POSSONO RIFERIRSI SIA ALLA GEOMETRIA CHE ALL’ARITMETICA ripropongono, in veste dinamica, e quindi con una forte componente spazio – temporale, lo stretto legame che gli oggetti geometrici hanno con la realtà. interagiscono con categorie di pensiero molto profonde e fanno riferimento al campo concettuale dei rapporti causa/effetto. METODOLOGIA D’USO a) utilizzare modelli diversi per uno stesso concetto; b) lasciare gli allievi protagonisti nell’osservazione, nella formulazione di congetture, nell’argomentazione; c) insegnante come “garante scientifico” gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Analogie modelli - Cabri Differenze
centrare l’attenzione sul processo invece che sul prodotto; consentire un approccio strutturato agli oggetti matematici (esplorare proprietà e metterle in relazione); essere registro di rappresentazione (autonomo rispetto a linguaggio e disegno) con un valore aggiunto dato dal movimento; rendere “facile” la costruzione di controesempi; favorire l’armonizzazione degli aspetti figurale e concettuale delle figure geometriche; favorire la formulazione di congetture, da discutere e validare insieme, argomentando (uso di costruzioni verbali del tipo se..allora); favorire il problem posing Differenze I modelli si “toccano” con mano, sono parte della realtà concreta, mentre le figure Cabri sono un passo avanti nell’astrazione; i modelli sono maggiormente dominabili dagli alunni rispetto ai disegni Cabri, ma questi hanno il fascino del computer; la validazione con Cabri si effettua attraverso il “trascinamento”, mentre con i modelli dinamici attraverso i casi limite e/o i controesempi (la validazione fa riferimento, in entrambi i casi alle proprietà e alle definizioni delle figure). gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

SCHEMI GRAFICI: TABELLE, GRAFI, DIAGRAMMI A BLOCCHI…
Utili per: tradurre visivamente –in un certo senso matematizzare- situazioni problematiche diverse rappresentare insiemi di oggetti e le loro reciproche relazioni “mettere a fuoco” i dati e le informazioni utili a risolvere un problema rappresentare schematicamente percorsi di soluzione  enucleare da un testo concetti e relative relazioni (mappe concettuali) gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Tenere presente che: sono comunque un altro registro di rappresentazione, pertanto si deve acquisire la capacità di gestirli si collocano ad un livello più astratto del linguaggio verbale, quindi il loro uso non è spontaneo la loro elaborazione può essere vissuta come “un problema nel problema” e non come una facilitazione spesso sono utilizzati non in modo anticipatorio ma come sintesi e bilancio del già svolto (vedi la riluttanza di molti allievi a disegnare la figura, nei problemi di geometria, prima di risolverli) può accadere che soluzione numerica e schema grafico della soluzione stessa non concordino Vanno comunque proposti e utilizzati ma: occorre spiegarne/negoziarne la simbologia potrebbe essere necessario, per alcuni, renderli facoltativi può essere utile lasciare che gli alunni procedano dapprima in modo spontaneo, per poi introdurre lo schema grafico evidenziandone la maggiore efficienza/ velocità/ chiarezza… gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

“Quante strette di mano vengono scambiate fra 5 persone al momento di salutarsi?” D stringe la mano ad E 1 stretta C stringe la mano a D 2 strette B stringe la mano a C 3 strette A stringe la mano a B 4 strette Il numero totale di strette tra 5 persone è quindi: = 10 gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

LE CIFRE MANCANTI (situazione-problema sperimentata sia in classi di 5^ elementare che di 1^ media) Luca ha scoperto in soffitta una vecchia macchina da scrivere che ha solamente tre tasti funzionanti: quelli delle cifre 0, 1 e 5. Quanti numeri interi minori di 1000 potrà scrivere Luca con i tre tasti della sua macchina? Quali sono questi numeri? Mostrate come avete fatto a trovarli. TOTALE : 27 NUMERI gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Conoscenza necessaria: numeri naturali da 0 a 1000
Tutto si gioca sul piano della strategia, che può essere: Casuale - gli alunni (divisi in piccoli gruppi omogenei per livello) elencano i numeri così come vengono loro in mente, senza un ordine preciso; ogni tanto si fermano a controllare se, per caso, un numero non sia stato già detto. E’ evidente che questo modo di procedere non garantisce né la completezza della soluzione né l’assenza di ripetizioni. Ordinata - è possibile che i ragazzi, pur non conoscendo i grafi ad albero come strumento grafico di soluzione, costruiscano una specie di “grafo mentale”; in questo caso i numeri saranno reperiti ed elencati secondo un criterio, alternando al primo, secondo e terzo posto le tre cifre disponibili. Confrontando le soluzioni trovate con le due diverse metodologie, è quasi certo che le soluzioni “ordinate” saranno più corrette e complete; su questa constatazione è possibile introdurre i grafi ad albero come utile strumento per i problemi a base combinatoria. gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Per ciascuno dei testi proposti: a) rappresenta i dati e le informazioni utili presenti nel testo; b) completa ogni testo con almeno due domande possibili; c) rispondi alle domande che hai formulato, scrivendo il procedimento completo con tutti i passaggi di calcolo Primo testo: In un gruppo di sportivi, tutti di età fra i 25 e i 45 anni, una parte fa tennis e gli altri ping pong; i tennisti sono diciotto. Quelli che giocano a ping pong sono 5/6 rispetto ai tennisti. gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

LAVORO SUL TESTO: RISPONDERE A DOMANDE – PORRE DOMANDE – CLOZE MATEMATICO – RICERCA DI DATI MANCANTI
Forte relazione tra comprensione e attività di risposta Far precedere la richiesta di soluzione dalla risposta a domande Favorire un approccio più sereno e razionale al testo di un problema Le domande possono:  rendere esplicite informazioni implicite;  isolare passaggi-chiave del testo;  far intuire trattamenti utili per la soluzione;  sciogliere dei nodi linguistici;  aiutare a trovare schemi di ragionamento. Hanno una funzione dialogica, cioè creano il “senso” dell’enunciato. gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

DOMANDE INDIPENDENTI “Un turista inglese, prima di partire dall’Italia, compra un regalo per un amico ; il regalo costa 42 €. Il turista, però, è rimasto solo con delle sterline; quel giorno la sterlina vale 1,5 € e lui paga con un biglietto da 10 sterline e uno da 20. Quanti euro riceve di resto?” Perché il turista paga in sterline anche se è in Italia? La sterlina, quel giorno, vale più o meno di 2 €? Con quante sterline paga? In che moneta riceve il resto?  non saper rispondere a una domanda non blocca l’esecuzione  tuttavia gli alunni possono non riuscire a concatenare logicamente le questioni, pur avendo risposto in modo corretto gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

DOMANDE CONCATENATE “Marta fa una piccola festa per il suo ottavo compleanno; invita la zia Franca, tutti e quattro i nonni e gli zii Guido e Luisa con il cuginetto Matteo, di 6 anni. Invita anche sei amichetti di scuola. Decide di fare a tutti un regalino e compra una penna profumata per ogni bambino (2 € ciascuna) e una confezione con tre cioccolatini per ciascun adulto. Le confezioni costano 3,5 € l’una. Quanto spende Marta per i suoi regalini?” Quanti sono gli adulti alla festa di Marta? E quanti i bambini? Quanto spende Marta per le penne? E quanto per i cioccolatini? E’ vero che per le penne spende più della metà di quanto spende per i cioccolatini? SONO PIU’ IMPEGNATIVE SIA PER CHI PREPARA IL QUESTIONARIO CHE PER CHI RISPONDE  FAVORISCONO PIU’ EFFICACEMENTE LA COMPRENSIONE DEL TESTO E LA SUA RICONTESTUALIZZAZIONE gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

DOMANDE SUGGESTIVE “Una piramide a base rettangolare ha l’area di base di 560 cm2 e il volume di 5600 cm3 ; una delle dimensioni di base misura 20 cm e l’altezza del solido cade nel punto di incontro delle diagonali di base. Calcolare la superficie totale del solido”  Quanto misura l’altezza?  Può esserti utile trovare la misura dell’apotema?  È possibile trovarla con un solo calcolo?  Come puoi trovare l’altra dimensione di base?  ANTICIPANO LA STRATEGIA O SUGGERISCONO UN POSSIBILE APPROCCIO  POSSONO ESSERE UTILI AI “CATTIVI” SOLUTORI PER SVOLGERE ALMENO UNA PARTE DEL LAVORO  POSSONO CONTROBILANCIARE IN PARTE L’INFLUENZA DI FATTORI AFFETTIVI (scarsa fiducia in se stessi, convinzioni sulla matematica come disciplina “per pochi”..) DANDO FIDUCIA AL SOLUTORE gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

LA FASE SUCCESSIVA PUO’
CONSISTERE NEL FAR ELABORARE DOMANDE AGLI ALUNNI STESSI, CON SCAMBIO DI QUESITI FRA SINGOLI ALUNNI O GRUPPI PER SAPER FORMULARE LE DOMANDE BISOGNA:  LEGGERE IL TESTO IN MODO CONSAPEVOLE  INDIVIDUARE ESATTAMENTE IL SIGNIFICATO DEI TERMINI  ESPLICITARE, ALMENO PER SE STESSI, DATI E RELAZIONI ANCHE NON IMMEDIATAMENTE EVIDENTI  SAPER “INTUIRE” EVENTUALI DATI INTERMEDI  ESSERE IN GRADO DI FORMULARE DOMANDE NON AMBIGUE gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Il CLOZE, ovvero “Alla ricerca della parola nascosta”
La tecnica didattica del CLOZE è abbastanza diffusa in ambito linguistico; si tratta di cancellare, da un brano, una parola ogni 5/7 e chiedere al lettore di reintegrare le parole mancanti. Il CLOZE MATEMATICO è un CLOZE mirato, cioè in esso le parole cancellate appartengono ad un preciso ambito linguistico. Per determinate tipologie di problemi, si fa ricorso a termini che appartengono a ben definite aree di significato; ad esempio: nei problemi di compravendita: spendere, guadagnare, vendere, pagare, ricevere, al prezzo di…. nei problemi geometrici: area, perimetro, lato, lunghezza, base, superficie, dimensioni, ricoprire….. gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

PER COSTRUIRE UN CLOZE MATEMATICO: SI FORNISCONO AGLI ALUNNI TESTI MANCANTI DI ALCUNE PAROLE LE PAROLE MANCANTI APPARTERRANNO TUTTE ALLA MEDESIMA “AREA DI SIGNIFICATO” L’ALUNNO DEVE REINTEGRARE LE PAROLE MANCANTI E RISOLVERE IL PROBLEMA  AL TERMINE DEL LAVORO SI DISCUTONO LE VARIE PROPOSTE DI REINTEGRAZIONE, CONFRONTANDOLE gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

ESEMPI: “Un frutteto a forma di …………………………ha la ………………….che misura 120 metri e la …………………………che misura 40 metri. Per impedire i furti di frutta, il proprietario decide di mettere lungo il ……………………..del frutteto una rete metallica. Per stabilire quanta rete gli occorre dovrà prima calcolare………………………………………… . Quanti metri di rete gli servono per …………………………….il frutteto? “Un solido è formato da due …………….quadrangolari regolari disuguali aventi la ……….. in comune e i vertici da parti opposta rispetto a …….. L’area della ………… comune è 576 cm2, il ……………….del solido minore è 3072 cm3, la superficie laterale del maggiore è 1776 ….. Calcola la ……….. tra i vertici. gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Problemi senza numeri, ovvero “Alla ricerca dei dati mancanti”
Vengono dettati dei testi/storie senza dati numerici, nei quali ci siano riferimenti all’esperienza degli alunni. I testi si concludono con una domanda di marcato “sapore matematico”. Gli alunni devono acquisire i dati numerici necessari, chiedendoli all’insegnante, per iscritto; ugualmente possono chiedere qualsiasi informazione, anche se errata o non pertinente. Naturalmente, l’insegnante avrà preventivamente stabilito i valori dei dati numerici, anche di quelli inutili. Acquisiti i dati, gli alunni devono: - a) risolvere il problema b) riscriverne il testo inserendovi i dati nel frattempo acquisiti. “Gli acquisti di Laura” Laura va in cartoleria; deve comperare quaderni, gomme, matite. Chiede i soldi alla mamma, esce, e fa le sue compere; al ritorno a casa, restituisce alla mamma il resto dei soldi. Quanto ha riportato Laura alla mamma? gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

I problemi scompigliati ovvero “Alla ricerca della domanda giusta”
Vengono forniti, su un unico foglio, alcuni testi di problemi privi della domanda. Le domande (una per ogni testo di problema) vengono scritte su foglietti separati L’alunno deve incollare ogni foglietto con la domanda sotto il testo del problema al quale ritiene che essa, logicamente, appartenga. VARIANTE: FORNIRE UN NUMERO DI TESTI SUPERIORE/INFERIORE A QUELLO DELLE DOMANDE (per evitare abbinamenti “obbligati”) gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

a) Il perimetro di un campo quadrato misura 186,72 dam
ESEMPIO a) Il perimetro di un campo quadrato misura 186,72 dam b) Un parallelogrammo ha i lati che misurano rispettivamente 15,4 m e 18,6 m c) Un triangolo equilatero ha il perimetro di 156 m d) L’area di un rettangolo, con la base lunga 14 m, misura 184 m2 Domande da abbinare: 1-Quanto misura l’area? 2-Quanto misura il perimetro? 3-Quanto misura il lato? 4-Quanto misura l’altezza? gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

I LINGUAGGI DELLA MATEMATICA: CONVERSIONI, RAPPRESENTAZIONI
Problema cruciale nell’apprendimento della matematica: gli oggetti matematici, in quanto astratti ed estranei alla percezione, sono accessibili solo attraverso un sistema di segni che rimandano a significati. L’oggetto matematico NON è la sua rappresentazione MA l’accesso ad esso può avvenire SOLO attraverso una rappresentazione Schema grafico di R. Duval gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Ci sono situazioni in cui si può avere accesso agli oggetti di studio:  direttamente (percezione, raccolta di dati…)  indirettamente (strumenti: telescopio, miscroscopio, spettrometri…) In matematica gli oggetti studiati sono inaccessibili al di fuori di rappresentazioni dipendenti da una attività semiotica; non esiste un “oggetto” di cui fare esperienza e che garantisca la mediazione tra rappresentazioni diverse dell’oggetto stesso. Rappresentazioni semiotiche diverse offrono possibilità di trattamento differenti (operazioni, tecniche, procedure…) gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Es. “Quattro più cinque” rappresentazione verbale rappresentazione simbolica in base 10 rappresentazione simbolica in base 2 Le “regole” che si applicano sono diverse a seconda della rappresentazione scelta Es. “(a/b)n = an/bn „ rappresentazione simbolica La potenza di un rapporto è uguale al rapporto delle potenze dei singoli termini rappresentazione verbale I La potenza di una frazione si calcola elevando a potenza numeratore e denominatore rappresentazione verbale II Le due conversioni non hanno la stessa efficacia in termini di applicabilità gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Situazioni di “conflitto” tra linguaggio naturale e linguaggio formale
Apprendimento dell’algebra: le difficoltà nascono già dai primi livelli di scolarizzazione, quando si fonda il rapporto tra linguaggio naturale e linguaggio simbolico Necessità di un approccio precoce (early algebra) partendo da una concezione dell’ algebra come linguaggio. Situazioni di “conflitto” tra linguaggio naturale e linguaggio formale Es. “y è tre volte più grande di z” Viene tradotto letteralmente: y = 3x + z (“tre volte più di z”) y= 3x > z (“tre volte maggiore di zeta ” ) Apprendimento dell’algebra: le difficoltà nascono già dai primi livelli scolarizzazione, quando si fonda il rapporto tra linguaggio naturale e linguaggio simbolico Necessità di un approccio precoce (early algebra) partendo da una concezione dell’algebra come linguaggio. Situazioni di “conflitto” tra linguaggio naturale e linguaggio formale Es. “y è tre volte più grande di z” Viene tradotto letteralmente: y = 3x + z (“tre volte più di z”!!) y= 3x > z (“tre volte maggiore di zeta » !!) gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Attività possibili: 1- Conversioni di registro (“traduzioni”) (1^ media) gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

2- Produzione di traduzioni diverse e loro confronto (3^ media- non ancora introdotto il calcolo letterale) Testo proposto: “Ieri pomeriggio ho studiato storia, italiano e inglese. Ho iniziato a studiare alle e ho smesso alle Per studiare italiano ho impiegato un tempo doppio che per storia; per inglese, invece, ho studiato un tempo triplo che per italiano perché aveva la verifica. Quanto tempo ho studiato le tre materie?”. Rappresenta nel modo che preferisci (in forma grafica, simbolica...) i dati e le relazioni tra di essi. Se individui più di una rappresentazione, analizza quale ti sembra più comoda per risolvere il problema. gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

“La rappresentazione grafica è più utile perché è più concreta” Alunno n.6 Probabilmente è il trattamento matematico successivo che viene facilitato dal ricorso ad una rappresentazione “più familiare” gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Alcune attività di “rappresentazione”

COLLEGAMENTO TRA CAMPI COGNITIVI DIVERSI PENSARE PER ANALOGIE
Importanza dell’analogia nel campo della didattica della matematica Brousseau “Il docente deve dunque dissimulare le sue intenzioni con un artificio didattico: scegliere domande le cui risposte possono essere costruite dall’allievo, ricorrere ad analogie,…” Fishbein – Importanza dell’analogia nel superamento di conflitti tra livello intuitivo, livello algoritmico e livello formale; tali conflitti “..non possono essere eliminati ignorando semplicemente il livello intuitivo. (…) Lo studente deve essere aiutato a prendere coscienza di tali conflitti”. Per superare le difficoltà derivanti dal forte peso che hanno i modelli intuitivi, F. consiglia il ricorso all’analogia e presenta il celebre esempio: “Con 2 dollari si può comprare una bottiglia di 0,75 l di aranciata. Quanto costa 1 litro di aranciata?”. Si può far ricorso ad un problema connesso all’altro per analogia, ma i cui dati numerici siano in accordo con le richieste intuitive. Per esempio: “Con 10 dollari si possono comperare 5 l di aranciata. Quanto costa 1 litro?”. Con la stessa procedura si risolve anche il problema di partenza. gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Bazzini (citando Fishbein.): “..se i vari tipi di ragionamento analogico da una parte possono favorire la costruzione di conoscenze, dall’altra possono indurre a conclusioni erronee (…). Se l’analogia è una potenziale generatrice di ipotesi, può essere anche causa di misconcetti o fraintendimenti.. “ Sbaragli: “…capita spesso che, quando un soggetto si trova in forte incertezza di fronte ad un problema da risolvere, tenda a trasformare un certo nucleo di informazioni da un dominio ben conosciuto ad un altro meno noto, tramite un trasferimento per analogia. Può avvenire allora che si assumano per valide corrispondenze analogiche che invece non sono accettabili per quei particolari sistemi.” gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Analogie come fonte di problemi nuovi e di scoperte: riprendiamo la tabella delle “strette di mano” D stringe la mano ad E 1 stretta C stringe la mano a D 2 strette B stringe la mano a C 3 strette A stringe la mano a B 4 strette gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Generalizziamo il problema:“E se le persone che si stringono la mano sono più di 5?” Numero persone (n) Numero strette (Sn) 2 1 3 4 6 5 10 15 ….. n Sn=n (n-1)/2 Il numero delle strette è dato dalla somma dei primi (n-1) numeri naturali; Sn=n (n-1) /2 gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

“QUANTE DIAGONALI SI POSSONO TRACCIARE IN UN POLIGONO DI n LATI?”
Possiamo interpretare una diagonale come una “stretta di mano” tra due vertici di un poligono; ci accorgiamo allora che il problema ha esattamente la stessa struttura del precedente e pertanto possiamo applicare ad esso il risultato che abbiamo ottenuto. gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Infatti, gli n vertici di un poligono possono essere collegati tra loro da un numero di segmenti pari a: n · (n-1) / 2 Tra questi, però, saranno compresi anche i lati del poligono stesso, che invece a noi non interessano; dobbiamo quindi modificare la formula togliendo il numero dei lati, che è n. Il risultato è: n · (n-1) / 2 - n che, scritta più semplicemente, diventa: n · (n-3) / 2. Tale formula può essere giustificata anche geometricamente osservando che da ognuno degli n vertici del poligono escono tante diagonali quanti sono i vertici meno 3 (quello considerato e i due adiacenti). Per evitare di considerare due volte ogni vertice si divide il prodotto per 2. gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

PROBLEMI NON STANDARD “I passi di Marco e Giovanni” Marco e Giovanni percorrono nello stesso verso la retta graduata e i loro passi sono uguali. Marco parte dal punto di ascissa +5 e fa quattro passi. Giovanni parte dal punto di ascissa –13 e fa sette passi. Per entrambi il punto di arrivo è lo stesso. Calcola la lunghezza del passo di Marco e di Giovanni e individuarne il verso.(Sebastiano Conte) “Un pesce… a pezzi” La coda di un pesce pesa 4 kg; il tronco pesa quanto testa e coda insieme; la testa pesa quanto la coda e metà tronco. Quanto pesa tutto il pesce?(Rally matematico transalpino) “Dodici fiammiferi uguali” Tra tutti i poligoni che puoi tracciare usando, per contorno, dodici fiammiferi uguali, determina quello che ha l’area minore. Non è permesso spezzare alcun fiammifero. (da “Il Teorema di Pitagora in alcune situazioni problematiche” di C. Colombo Bozzolo, in L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 22°, maggio 1999) gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Fattori che ostacolano l’uso di problemi non standard: difficoltà nell’affrontare contenuti non immediatamente individuabili come “scolastici” (mancanza di abitudine degli insegnanti – preoccupazione rispetto a tempi e contenuti dei programmi) difficoltà nell’insegnare strategie utili per risolverli mancanza di strategie uniformi (v. punto precedente) necessità di tempi più lunghi per la soluzione imprevedibilità delle strategie che gli alunni potrebbero utilizzare mancanza di conoscenza del potenziale di tali problemi difficoltà a reperirli necessità di compiere su di essi una analisi a priori. gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

PROBLEM POSING PROBLEM SOLVING: E’ CENTRATO SULLE PROCEDURE DI SOLUZIONE PROBLEM POSING: CERCA QUESTIONI NUOVE PROMUOVE IL RAGIONAMENTO IPOTETICO “APRE” SITUAZIONI CHIUSE PROBLEM SOLVING E PROBLEM POSING NON SONO ALTERNATIVI IL PROBLEM POSING E’ UNA STRATEGIA DIDATTICA PER ANDARE “OLTRE” gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

FASI DEL PROBLEM POSING
(da Brown e Walters, modif.) 1-Analisi della situazione: osservazione delle caratteristiche della situazione problematica (numeriche e non). Può anche precedere la risoluzione. Si possono fare congetture. 2-Elenco degli “attributi” ed “..e se non..?” :si elencano osservazioni e congetture fatte. Se ne sceglie una (o più di una) e la si nega. Nasce un nuovo problema. 3-Si affronta il nuovo problema. gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Secondo la teoria classica P = casi favorevoli/casi possibili
ESEMPIO IN UN SACCHETTO CI SONO 3 PALLINE ROSSE, 2 BIANCHE E 5 VERDI. TROVA LA PROBABILITA’ DI ESTRARRE UNA PALLINA ROSSA (Pr), QUELLA DI ESTRARRE UNA PALLINA VERDE (Pv) E QUELLA DI ESTRARRE UNA PALLINA BIANCA (Pb) Secondo la teoria classica P = casi favorevoli/casi possibili Quindi: Pr = 3/10 Pb = 2/10 Pv = 5/10 = ½ Nel sacchetto ci sono 10 palline. E se fossero 20? Se raddoppiano anche i numeri delle palline di ciascun colore, i rapporti restano gli stessi. Altrimenti, il problema è aperto. Si estrae una sola pallina. E se ne estraessimo 2? Occorre decidere se la prima pallina, dopo l’estrazione, viene rimessa nel sacchetto oppure no. Inoltre non si specifica se l’ordine è importante o no, cioè se, ad esempio, le due estrazioni RB e BR devono essere considerate distinte. Diventa un problema di combinatoria e probabilità insieme. gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

E’ POSSIBILE CHE UNA LINEA DI RICERCA SI RIVELI POCO STIMOLANTE
Si cercano le probabilità, distinte, per ciascun colore. E se cercassimo la probabilità di estrarre una pallina rossa oppure bianca oppure verde? P(r o b o v) = 1 CERTEZZA!!! Il colore delle palline viene dato “in positivo”. E se cercassimo la probabilità di estrarre una pallina non rossa? Corrisponde a P(b o v), cioè la frazione complementare di Pr e quindi 7/10 E’ POSSIBILE CHE UNA LINEA DI RICERCA SI RIVELI POCO STIMOLANTE E’ POSSIBILE CHE CI SI ACCORGA DI NON POSSEDERE GLI STRUMENTI MATEMATICI ADATTI PER AFFRONTARE IL NUOVO PROBLEMA TUTTAVIA, NON BISOGNA SCORAGGIARSI; UNA LINEA DI RICERCA SI PUO’ SEMPRE ABBANDONARE. gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

IL PROBLEM POSING MODIFICA:  IL CONTRATTO DIDATTICO  IL RUOLO DELL’INSEGNANTE L’INSEGNANTE NON E’ PIU’ UN “TRASMETTITORE DI CONOSCENZE” MA DIVENTA RICERCATORE CON I PROPRI ALUNNI NE CONDIVIDE LE SCOPERTE LI GUIDA NELL’ATTIVITA’ EURISTICA I SUOI PROCESSI DI PENSIERO, RESI ESPLICITI AGLI ALUNNI, DIVENTANO UN ESEMPIO gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

VANTAGGI DEL PROBLEM POSING
CREA MOTIVAZIONE: IL PROBLEMA DOVREBBE RAPPRESENTARE PER L’ALUNNO UN OBIETTIVO DA RAGGIUNGERE RENDE L’ALUNNO PROTAGONISTA NELLA INDIVIDUAZIONE E NELLA FORMULAZIONE DI PROBLEMI STIMOLA L’AUTONOMIA DI PENSIERO E L’ACQUISIZIONE DI COMPETENZE LINGUISTICHE SPECIFICHE FOCALIZZA L’ATTENZIONE NON SUL PRODOTTO DELLA ATTIVITA’ MATEMATICA MA SUL PROCESSO DI CREAZIONE DI NUOVI CAMPI DI RICERCA CHIAMA GLI ALUNNI NON A DARE RISPOSTE MA A FARE DOMANDE: POICHE’ NON ESISTONO DOMANDE “GIUSTE”, NON INSORGE L’ANSIA DA RISPOSTA ESATTA PUO’ DARE VALORE ANCHE A DOMANDE APPARENTEMENTE BANALI O “SENZA SENSO” (DALLE QUALI E’ NATA MOLTA MATEMATICA) MODIFICA LA PROSPETTIVA DELL’ALUNNO SULL’ATTIVITA’ MATEMATICA; DA’ SPAZIO A: CREATIVITA’ PENSIERO DIVERGENTE CAPACITA’ CRITICHE OSSERVAZIONE INTERPRETAZIONE DI TESTI gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Un altro esempio: Il problema seguente è una variante del classico problema “i quattro quattro”: Come è possibile, usando ogni volta solo la cifra 4 ripetuta 4 volte e i segni delle operazioni elementari, ottenere tutti i numeri da 0 a 10? Esempi di soluzioni: 0 = 44 – 44 1= 44 / = 4/4 + 4/4 ecc. Quando ho proposto il problema ad una delle mie classi, è venuta a qualcuno l’idea di estenderlo al 5; quindi è diventato “il problema dei 5 cinque”. Quelle che seguono sono alcune soluzioni trovate dagli alunni (1^ media; avevamo già fatto le potenze): Per 0 : ( ) * (5 – 5); (5 – 5) * 5 * 5 * 5 ; ( – 5) : 5 Per 1: (5 * 5 + 5) : 5 – 5; 55 : 5 – 5 – 5; – 5 Per 2: (5 * 5 – 5) : (5 + 5); (5 – 5) + (5 + 5) : 5 ( – 5) :5 (55 – 5) : 5 : 5 …. E così via: abbiamo trovato almeno una soluzione per ogni numero da 1 a 10 !! gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

STORIA DELLA MATEMATICA NELLA DIDATTICA
Una prospettiva storica nella didattica della matematica può: Fornire “ambienti di lavoro” in cui ricostruire il senso di alcuni contenuti matematici Rivelare diversità culturali e geografiche, quindi contribuire ad ampliare l’orizzonte etno-culturale degli alunni Far intuire che la matematica è anche un prodotto del suo tempo e dei bisogni dell’uomo, quindi evolve e “cresce” Consentire un approccio ad alcuni concetti più intuitivo e quindi più adeguato all’età e agli strumenti culturali degli alunni Stimolare la discussione su questioni a proposito delle quali possono esserci convinzioni diverse Facilitare l’individuazione, da parte del docente, di ostacoli e misconcetti. gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

CLASSIFICAZIONE DELLE FONTI DI OSTACOLO
Un errore matematico ricorrente non è casuale: c’è una logica dietro di esso. La logica dietro un errore ricorrente può avere cause differenti (fonti di ostacolo) CLASSIFICAZIONE DELLE FONTI DI OSTACOLO (Brousseau, 1983) Fonti ontogenetiche: collegate alle capacità cognitive proprie degli studenti Fonti didattiche: collegate alle scelte di insegnamento Fonti epistemologiche: collegate alla conoscenza stessa gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

ALCUNE ACCORTEZZE La storia della matematica non va ridotta ad “aneddotica” sulla vita dei matematici (anche se l’aneddotica è motivante)! Ciò fa apparire questa disciplina come il prodotto di “geni” isolati e ne nasconde i legami con la realtà sociale e culturale. Non è sempre possibile trasporre il fatto storico in classe: noi siamo “sulle spalle” di chi ci ha preceduti, perciò non tutto è motivante per gli alunni. Non è garantito che utilizzare la storia abbia una ricaduta sullo sviluppo dei concetti: non è detto che in questo campo “l’ontogenesi ricapitoli la filogenesi” perché lo sviluppo culturale di un individuo avviene anche attraverso una rete di relazioni con gli altri. Non è possibile ripercorrere esattamente l’approccio storico ai problemi: siamo comunque influenzati dalle conoscenze e concezioni moderne. Non sempre gli sviluppi della matematica sono stati prodotti dalla necessità di superare errori, bensì dall’emergere di nuove esigenze. gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

PERCHE’ UN INSEGNANTE DEVE CONOSCERE LA STORIA DELLA MATEMATICA
CONOSCERE LO SVILUPPO DEL PENSIERO MATEMATICO PERMETTE DI RIFLETTERE SULLA MATEMATICA STESSA SI PUO’ ESSERE AGEVOLATI NEL RICONOSCERE E COMPRENDERE LE DIFFICOLTA’ DEGLI ALLIEVI FACILITA L’ADATTAMENTO DELLE CONOSCENZE “FORMALI” ALLE ESIGENZE DELLA DIDATTICA gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

CONGETTURARE – DISCUTERE – ARGOMENTARE
Biscotti a colazione A Clotilde piacciono i pan di stelle e i savoiardi. Li mangia tutti i giorni dal lunedì al sabato, ogni volta in quantità diverse ma seguendo una regola che si è data. Per i giorni di venerdì e sabato sono rappresentati solo i pan di stelle consumati da Clotilde. Sai trovare questa regola? Scrivi la regola di Clotilde in linguaggio naturale. gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

I decori di Natale Alice prepara con rami di abete e palline colorate dei decori di Natale da appendere alle pareti. Con i rami costruisce tanti festoni uguali a questo: e poi li unisce fra loro ornandoli con le palline e formando decori di varie lunghezze. Quando la sorella maggiore Caterina ritorna a casa vede alcuni decori già pronti e nota che hanno tutti, pur essendo di diverse dimensioni,qualcosa in comune. “Belle” dice Caterina. Poi, siccome quando vede situazioni di questo genere diventa subito curiosa, si pone la domanda: “Quale relazione intercorre tra il numero dei festoni e quello dei decori?” Testi proposti in 5^ elementare nell’ambito di una attività di ricerca afferente al progetto ArAl (Gold) gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Ambedue le situazioni presentano una relazione del tipo b= a x (dove b è in un caso il numero dei savoiardi e nell’altro il numero dei decori, mentre a sta rispettivamente per il numero dei pan di stelle e per il numero dei festoni). Diversi alunni hanno notato, sia spontaneamente (in pochi) sia su sollecitazione, l’isomorfismo delle due leggi, anche se nei due casi erano utilizzati simboli diversi. Si è fatto allora osservare che, quando il numero dei pan di stelle è uguale a zero, Clotilde mangia comunque 1 savoiardo; ma cosa accade ai decori quando il numero dei festoni è zero? gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Prima reazione collettiva: una forte perplessità Superato il disorientamento iniziale, le proposte dei bambini si possono classificare in due categorie: Anche i decori spariscono: “se non ci sono festoni non ci possono essere nemmeno i decori”; “i decori sono zero”; “ i decori non ci sono perché non li puoi attaccare”. Almeno un decoro ci deve essere, perché “dalla formula viene 0+1 e fa 1”; qualcuno propone “attacchiamo la pallina ad un filo che si attacca sul muro”. Valore formativo della contraddizione in cui gli allievi si vengono a trovare Primo approccio alla riflessione sulla accettabilità di un risultato matematico, ed in particolare sui domini di variabilità di una legge, valutazione che in genere gli alunni non fanno spontaneamente anche a livelli scolastici più avanzati. Spunti di questo tipo sono molto utili per creare negli alunni un atteggiamento di attenzione critica al prodotto del loro lavoro: i numeri dicono questo, ma il buonsenso -o la realtà dei fatti- permettono di accettare il risultato? gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

Bibliografia 1) Facenda A.M., Fulgenzi P., Gabellini G., Masi F., Nardi J., Paternoster F., (2003) “Problemi” , Dispensa Sezione Mathesis Pesaro 2) Facenda A.M., Fulgenzi P., Gabellini G., Masi F., Nardi J., Paternoster F., (2005) “La prospettiva storica nella didattica della matematica”, Dispensa Sezione Mathesis Pesaro 3) Facenda A.M., Nardi J., Zambon D., (2006) “Individuazione di leggi di corrispondenza in classi di scuola primaria: analisi di comportamenti di allievi”. L’Educazione matematica n. 3 4) Facenda A.M., Fulgenzi P., Nardi J., Paternoster F. (2006): Utilizzo integrato di modelli dinamici e Cabri nella didattica della geometria. La matematica e la sua didattica – vent’anni di impegno. Carocci Faber 5) Sbaragli S. , (2006) “La capacità di riconoscere analogie: il caso di area e volume”, La matematica e la sua didattica, n.2, Pitagora Editrice Bologna 6) Bertazzoni B., Marchini C., (2006) “Apprendimento, insegnamento e problem solving: come migliorare l’atteggiamento della classe nei riguardi della matematica”, L’Educazione matematica n. 2 7) Duval R., 2006 “Trasformazioni di rappresentazioni semiotiche e prassi di pensiero in matematica”, La matematica e la sua didattica, n. 4 8) Brown S. e Walters M. : “L’arte del problem posing”, SEI 9) Duval R.,(1991)“Intéraction des niveaux de représentation dans la comprehénsion des textes” , Annales de didactique et de sciences cognitives, col.4 10) Duval R., (1995) “Registres de représentations sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée”, Annales de didactique et de sciences cognitives n°5 11) Furinghetti, F.: Matematica come processo socioculturale. IPRASE Trentino 12) Bagni, G.T.(2004) “Storia della matematica in classe”, La matematica e la sua didattica, n.3, Pitagora Editrice 13) A.A.V.V. Progetto ArAl, Unità 1-8, Pitagora Editrice 14) Malara N.A. (2001) “Aspetti relazionali dell’aritmetica e avvio al pensiero algebrico” Matematica e scuola: facciamo il punto, a cura di L.Bazzini 15) Malara N.A., Navarra G. (2000) “Percorsi esplorativi di avvio al pensiero algebrico attraverso problemi”, L’Educazione Matematica n.1 16) Mariotti M.A., Cerulli M. (2003) “Espressioni numeriche ed espressioni letterali”, La Matematica e la sua didattica, n.1 gennaio 2007 Anna Maria Facenda - I.C. "A.Gandiglio" , Fano - Sez. Mathesis Pesaro

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