La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Considerazioni sul modello di Ehrenfest Benedetto Raimondi

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Considerazioni sul modello di Ehrenfest Benedetto Raimondi"— Transcript della presentazione:

1 Considerazioni sul modello di Ehrenfest Benedetto Raimondi

2 Il modello di Ehrenfest risale al 1907, anno della sua introduzione ad opera di Paul e Tatiana Ehrenfest. La sua attuazione ed applicazione concreta sono semplici ma, per avere risultati significativi, occorrono tempi lunghi. Per chi non lo conoscesse, esaminiamolo un pò…

3 Siano date due scatole, una vuota ed unaltra contenente N palline numerate ordinatamente da 1 a N. La scatola con le palline la chiameremo scatola A, quella vuota la chiameremo scatola B. Sia data, infine, unurna contenente N biglietti, numerati come le palline. Tra i biglietti e le palline cè una corrispondenza biunivoca. A B Urna

4 Ogni volta che viene estratto un biglietto, la pallina corrispondente va spostata dalla scatola in cui era allaltra. Dopo lo spostamento della pallina, il biglietto va reimmesso nellurna. A B Si effettuino K estrazioni, dopo tale numero di estrazioni si avranno: N A palline in A e N B palline in B. N A è definita popolazione della scatola A, analogamente per N B. Notare che N = N A + N B Si indichi con [N A, N B ] lo stato macroscopico con N A palline in A e N B palline in B. A [N A, N B ] corrispondono tutti i microstati ottenibili permutando le palline in A e B lasciando invariati N A e N B. Tale numero, indicato con W, è uguale a:

5 Allinizio, stato [N, 0], il valore di W, chiamato probabilità termodinamica, è uguale ad 1. Allo stato [N /2, N /2], corrispondente allequipartizione delle palline tra le scatole A e B, corrisponde il massimo valore di W e dellentropia S. Il legame tra S e W è dato dallequazione di Boltzmann: S = k lnW Allo stato [N /2, N /2], ripetiamo corrispondente al massimo valore di W, si perviene, con fluttuazioni della popolazione anche ampie, per valori di K sufficientemente grandi. k è la costante di Boltzmann. W cresce al crescere di K, numero di estrazioni. La crescita di W non è monotòna, si hanno fluttuazioni.La crescita di W non è monotòna, si hanno fluttuazioni Lampiezza delle fluttuazioni della popolazione dallo stato [N /2, N /2], decresce, per valori di K grandi, al crescere di N. Se N tende ad infinito… La probabilità dello stato generico [N A, N B ] é compresa tra 1 ed il massimo valore permesso di W.

6 Per N tendente ad infinito, lampiezza delle fluttuazioni della popolazione, nello stato [N /2, N /2], tende a zero. Le considerazioni esposte sono derivabili dallapplicazione concreta del modello di Ehrenfest. Per fare questo, tuttavia, occorre molto tempo. Per N = 20 e K = 1.000, stimando 5 secondi per ogni osservazione (estrazione, conteggio delle palline, verifica del vincolo N = N A + N B, riportare i dati su carta millimetrata per eventuali grafici)… Occorrerebbero secondi, cioè più di unora! Davide Neri e Valerio Innocenti Sedili hanno preparato, con Microsoft Excel ®, unefficace e fedele simulazione del modello di Ehrenfest. Tale lavoro simula, in quattro differenti fogli di lavoro, K = estrazioni per N uguale, rispettivamente a 20, 40, 80 e 160. I risultati si ottengono in pochi secondi e vengono riportati in due grafici. In uno si riporta N B vs K, in un altro si riporta S vs K.

7

8

9

10 Analogia tra modello di Ehrenfest e sistemi chimico-fisici suscettibili devoluzione verso stati dequilibrio

11 Risultati della simulazione del modello di Ehrenfest per proporre lo sviluppo di argomenti generalmente non vengono trattati o che non possono essere approfonditi come meriterebbero. Necessità di usare un approccio microscopico per comprendere levoluzione spontanea dei sistemi macroscopici verso stati dequilibrio. Necessità di usare un approccio microscopico per comprendere levoluzione spontanea dei sistemi macroscopici verso stati dequilibrio. Natura statistica dellentropia e carattere dattrattore che lo stato dequilibrio esercita sui sistemi lontani da questo. 1.Lo stato dequilibrio è quello più probabile. 2.Se si parte da uno stato lontano dallequilibrio si avrà evoluzione verso lo stato dequilibrio. 3.Può sempre accadere che un sistema transiti da uno stato più probabile verso uno meno probabile

12 Punto 1Punto 1, ricordiamo che: S = k ln W Lentropia S cresce al crescere di W e, per un dato valore di N, il valore massimo di W e quindi dellentropia S, si ha proprio se N A = N B = N/2 cioè se le palline sono equidistribuite tra le due scatole.

13 Punto 2Punto 2. Spostamento duna pallina da A a B Probabilità [N A, N B ] [N A -1, N B +1] uguale a N A /N. Spostamento duna pallina da B ad A Probabilità [N A, N B ] [N A +1, N B -1] uguale a N B /N. Se: N A > N B è più probabile [N A, N B ] [N A -1, N B +1] N A < N B è più probabile [N A, N B ] [N A +1, N B -1].

14 Punto 3Punto 3. a) da [N, 0] a [N/2, N/2] con una ben precisa sequenza destrazioni; b) da [N/2, N/2] a [N, 0] con la sequenza inversa. La a) é una delle tante che porta il sistema da da [N, 0] a [N/2, N/2]; la b) è una delle poche che allontana il sistema dallequilibrio. Daltronde, appena il sistema tende ad allontanarsi dallequilibrio, si verificano le condizioni discusse per il punto 2.punto 2 Le considerazioni fatte possono essere applicate allespansione spontanea dun gas nel vuoto o alla diffusione da regioni a pressione (o concentrazione) maggiore verso altre a pressione (o concentrazione) minore. La diffusione è sempre più probabile nel verso da dove la pressione (concentrazione) è maggiore a dove la pressione (concentrazione) è minore. La diffusione in verso opposto non è impossibile, è solo meno probabile.

15 Perentorietà di certe affermazioni con cui il secondo principio della termodinamica è stato formulato. In particolare occorre insistere sulla sostituzione della parola impossibile, tipica degli enunciati originari di Kelvin e Clausius, con lespressione estremamente improbabile. impossibile esclude la possibilità di fluttuazioni rispetto alla condizione dequilibrio; estremamente improbabile, di ampio respiro ed agevola la comprensione della tendenza dei sistemi macroscopici isolati ad evolvere spontaneamente verso condizioni di entropia massima e dequilibrio. Approccio microscopico indispensabile.

16 Proposte dapprofondimento interdisciplinare e conclusione

17 Nellottica di uno studio storico della scienza, il modello di Ehrenfest potrebbe essere usato come punto di partenza per approfondire la questione del rapporto tra il concetto termodinamico di attrattore e quello delle leggi del moto. Un altro aspetto, molto fecondo, collegato al precedente e non solo di pertinenza della termodinamica, è quello del rapporto tra tempo ed entropia. Nel lavoro di Neri ed Innocenti Sedili sevidenzia, pure, il problema del rapporto tra probabilità soggettiva e probabilità oggettiva… C. P. Snow, Le due culture, Feltrinelli, Superare la gratuita separazione tra le due culture, umanistica e scientifica e riunire in ununica prospettiva discorsi propri delle scienze dure, con discorsi storici e filosofici.


Scaricare ppt "Considerazioni sul modello di Ehrenfest Benedetto Raimondi"

Presentazioni simili


Annunci Google