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Prof. Ciro Incontro. Premessa Eventi Definizione classica di probabilità I valori della probabilità Insiemi ed eventi Evento unione Evento intersezione.

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Presentazione sul tema: "Prof. Ciro Incontro. Premessa Eventi Definizione classica di probabilità I valori della probabilità Insiemi ed eventi Evento unione Evento intersezione."— Transcript della presentazione:

1 Prof. Ciro Incontro

2 Premessa Eventi Definizione classica di probabilità I valori della probabilità Insiemi ed eventi Evento unione Evento intersezione Teorema della probabilità dellevento contrario Teorema della Probabilità Totale (eventi incompatibili) Teorema della Probabilità Totale (eventi compatibili) Teorema della Probabilità Condizionata Teorema della Probabilità Composta (eventi indipendenti) Teorema della Probabilità Composta (eventi dipendenti)

3 Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità nacque dagli studi dei matematici sui giochi dazzardo. Il primo a interessarsi della ricerca di una legge che regolasse il gioco con i dadi fu Blaise Pascal. In questo campo si distinsero anche Eulero, Fermat e Bernoulli. Bisogna attendere però fino ai primi del XIX secolo, con Laplace, affinchè nel mondo matematico assuma importanza il calcolo delle probabilità, che Laplace riconobbe come un vero e proprio strumento scientifico. Le sue idee trovarono la più ampia conferma nel XX secolo con i grandi progressi realizzati in fisica quantistica. Il calcolo delle probabilità si interessa di tutti quei fenomeni il cui verificarsi dipende esclusivamente dal caso. Si tratta dei cosiddetti fenomeni incerti, i quali non sono né certi né impossibili, ma qualcosa che si colloca fra gli uni e gli altri. Il calcolo delle probabilità è quindi uno strumento che consente alluomo di assumere un comportamento razionale di fronte allincertezza. Le definizioni di probabilità. Le definizioni di probabilità. Dagli studi intrapresi dai matematici sui giochi dazzardo ha origine, allinizio dell800, la prima definizione di probabilità, denominata classica. In seguito si ebbero la definizione frequentista, quella soggettiva e, per ultima, quella assiomatica, dovuta principalmente a Kolmogorov. È interessante osservare che tutte queste definizioni si basano sul concetto di evento.

4 Evento. Evento. Per evento si intende qualsiasi fatto o avvenimento che può essere osservato. Ci sono avvenimenti che accadono con certezza, mentre altri sicuramente non possono mai verificarsi. Ci sono anche eventi che possono accadere, ma senza certezza. certo Un evento si dice certo se si verifica sempre. Per esempio Per esempio, se da una scatola, che contiene soltanto palline nere, se ne estrae una a caso, siamo sicuri che essa è nera. Questo è un evento certo. impossibile Un evento si dice impossibile se non si verifica mai. Per esempio Per esempio, lestrazione di una pallina nera da una scatola che contiene solo palline bianche è un evento impossibile. incerto Un evento si dice incerto se si verifica oppure no. Per esempio Per esempio, la vittoria di un atleta in una gara è un evento incerto, in quanto latleta può vincere o no. Altro esempio Altro esempio. Se una scatola contiene palline bianche e nere, lestrazione di una pallina nera è un evento possibile ma non certo, cosi come lestrazione di una pallina bianca. In altre parole, non possiamo prevedere il colore della pallina estratta, perché lestrazione è casuale.

5 Altri esempi: E 1 = « nel lancio di un dado esce il 4 » E 2 = « nel lancio di una moneta esce croce » La realizzazione di questi eventi dipende essenzialmente dal caso e, per questo motivo, essi sono chiamati eventi casuali o aleatori. Si noti che uno stesso evento può essere certo, impossibile o aleatorio a seconda del contesto in cui viene considerato. Esempio. Esempio. Levento « Maria vince alla lotteria » è certo se Maria compra tutti i biglietti della lotteria, è impossibile se non ne compra nemmeno uno, è aleatorio se ne compra uno o più di uno, ma non tutti.

6 e eo Dati due eventi E 1 e E 2 possiamo ottenere un evento composto mediante i connettivi logici e e o ; oppure dato un evento E è possibile ottenere la sua negazione (connettivo logico non ) come levento che si verifica se non si verifica E. La negazione dellevento E si indica con (si legge E negato). A titolo di esempio sono eventi semplici: E 1 = « uscita di croce nel lancio di una moneta » E 2 = « uscita del 4 nel lancio di un dado » E 3 = « uscita di un numero dispari nel lancio di un dado » sono invece eventi composti: o E 2 E 3 = « uscita del 4 o di un numero dispari nel lancio di un dado » = « uscita di testa nel lancio di una moneta » Eventi composti.

7 Evento contrario. Evento contrario. Dato un evento E, il suo evento contrario è quellevento che si verifica quando e solo quando non si verifica E, e lo indichiamo con il simbolo. Esempio. Esempio. Un mazzo di carte contiene carte con figure e carte senza figure. Levento E 1 = « estrazione di una carta con figura » ha come evento contrario E 2 = «estrazione di una carta senza figura » cioè. Esempio. Esempio. Nel lancio di una moneta, levento contrario delluscita testa è luscita croce. Esempio. Esempio. Nel lancio di un dado, levento contrario delluscita di un numero pari è luscita di un numero dispari.

8 Due eventi E 1 e E 2 sono incompatibili se il verificarsi di uno esclude il verificarsi contemporaneo dellaltro. In caso contrario i due eventi si dicono compatibili. Esempio. Esempio. Si considerano tre eventi che indichiamo con P, B, R e che corrispondono ai possibili esiti di un anno scolastico per uno studente e cioè: P = «promosso», B = «bocciato», R = «rimandato». Ciascuno di essi è incompatibile con gli altri due in quanto il verificarsi di uno di essi esclude il verificarsi degli altri due. Esempio. Esempio. Si supponga di estrarre, da un mazzo di carte, una carta. Gli eventi E 1 = « estrazione di una carta del segno di fiori » E 2 = « estrazione di una figura » sono eventi compatibili, in quanto è possibile estrarre una figura del segno di fiori. Due eventi E 1 e E 2 sono indipendenti se il verificarsi di uno dei due non influenza il verificarsi dellaltro. In caso contrario i due eventi si dicono dipendenti. Esempio Esempio. Si consideri il gioco della roulette. Gli eventi: E 1 =«uscita di un numero nero» E 2 =«uscita di un numero dispari» sono indipendenti, perché il verificarsi delluno non influisce sul verificarsi dellaltro. Eventi incompatibili Eventi incompatibili. Eventi indipendenti Eventi indipendenti.

9 La definizione classica di probabilità La definizione classica di probabilità. In molti problemi legati allestrazione da unurna contenente palline colorate, è possibile calcolare a priori quali e quanti casi possano realizzarsi e quali e quanti casi si possono considerare favorevoli allesito dellesperimento. È quindi possibile conoscere a priori il numero dei casi favorevoli f e quello dei casi possibili n. Secondo la definizione di Laplace: « La probabilità p di un evento E, che indichiamo con il simbolo, è uguale al rapporto fra il numero dei casi favorevoli allevento E e il numero dei casi possibili, ammesso che tutti siano egualmente possibili ». Cioè:conf = numero dei casi favorevoli n = numero dei casi n = numero dei casi possibili Definizione di Laplace Esempio. Esempio. Si calcoli la probabilità che lanciando una moneta esca croce. I casi possibili n sono due (testa e croce), il caso favorevole f è uno (croce). Si ha:

10 Esempio. Esempio. Si determini la probabilità che nel lancio di un dado: E 1 = « esce il 4 » E 2 = « esce un numero dispari » E 3 = « esce un numero maggiore di 2 » Calcoliamo la probabilità di ciascun evento nellipotesi che il dado non sia truccato: (casi possibili, casi favorevoli ) (casi possibili, casi favorevoli cioè 1, 3, 5) (casi possibili, casi favorevoli cioè 3, 4, 5, 6)

11 I valori della probabilità I valori della probabilità. Si è detto che n rappresenta il numero dei casi possibili ed f il numero dei casi favorevoli. impossibile Se un evento è impossibile, il numero dei casi favorevoli è 0; quindi: la probabilità di un evento impossibile è uguale a 0 la probabilità di un evento impossibile è uguale a 0. certo Se un evento è certo, il numero dei casi favorevoli è uguale a quello dei casi possibili; quindi: la probabilità di un evento certo è uguale a 1 la probabilità di un evento certo è uguale a 1. Per gli eventi aleatori, il numero dei casi favorevoli f è compreso fra 0 e n: la probabilità di un evento aleatorio è un numero compreso fra 0 e 1 la probabilità di un evento aleatorio è un numero compreso fra 0 e 1. In generale, considerando assieme i tre casi, possiamo dire che la probabilità di evento è compresa fra 0 e 1, estremi inclusi: Spesso il valore della probabilità viene espresso in termini percentuali. Per esempio, un evento certo si verificherà al 100%.

12 Insiemi ed eventi Insiemi ed eventi. Consideriamo il lancio di un dado e levento: E = « esce un numero dispari » Per descrivere la situazione possiamo utilizzare il linguaggio degli insiemi. Insieme Universo degli eventi, e cioè: Tutti gli eventi possibili sono 6 e si possono considerare come elementi di un insieme, che si indica con U, denominato Insieme Universo degli eventi, e cioè: U F Gli eventi favorevoli sono tre (i numeri 1, 3, 5) e possono essere considerati elementi di un insieme F, sottoinsieme di U. Poiché F è un sottoinsieme di U, il numero degli elementi di F è sempre minore o uguale al numero degli elementi di U. Se linsieme F non ha elementi, cioè, allora levento è impossibile; se F coincide con linsieme universo U, allora levento è certo.

13 Evento Unione Evento Unione. Consideriamo 1 2 dischetti numerati da 1 a 12 e gli eventi: E 1 = « estrazione di un numero pari » E 2 = « estrazione di un numero maggiore di 7 » Linsieme dei casi favorevoli a E 1 è: Linsieme dei casi favorevoli a E 2 è: Definizione. Definizione. Dati gli eventi E 1 e E 2, relativi allo stesso insieme universo, il loro evento unione, che indichiamo con, è quellevento che si verifica al verificarsi di almeno uno degli eventi dati. U A1A1 A2A2

14 Nella figura, A 1 è linsieme dei casi favorevoli a E 1, A 2 quello dei casi favorevoli a E 2. Allora è linsieme dei casi favorevoli a. Nellesempio considerato levento E ha come casi favorevoli sia quelli dellinsieme A 1 sia quelli dellinsieme A 2. Linsieme che lo rappresenta è quindi lunione dei due insiemi: Consideriamo i 12 dischetti numerati, levento: E = « esce un numero pari o maggiore di 7 » o è formato da due eventi semplici E 1 ed E 2, uniti dal connettivo o. Questo particolare evento si verifica se esce un numero pari oppure se esce un numero maggiore di 7, perciò è detto Evento Unione o Somma Logica di E 1 ed E U A1A1 A2A2

15 Definizione. Definizione. Dati gli eventi E 1 e E 2, relativi allo stesso insieme universo, il loro evento intersezione, che indichiamo con, è quellevento che si verifica quando si verificano contemporaneamente gli eventi dati. Evento intersezione Evento intersezione. U A1A1 A2A2 Consideriamo ancora i 12 dischetti numerati e levento: E = « esce un numero pari e maggiore di 7 » e Formato dai due eventi semplici E 1 ed E 2 uniti dal connettivo e: E 1 = « estrazione di un numero pari » E 2 = « estrazione di un numero maggiore di 7 »

16 Levento E si verifica se si verificano entrambi gli eventi E 1 ed E 2, perciò è detto Evento Intersezione o Prodotto Logico di E 1 ed E 2. Esso ha come casi favorevoli quelli comuni allinsieme A 1 e allinsieme A 2. Linsieme che lo rappresenta è linsieme intersezione: Nella figura, A 1 è linsieme dei casi favorevoli a E 1, A 2 quello dei casi favorevoli a E 2. Allora è linsieme dei casi favorevoli a U A1A1 A2A2 Osservazione. Nonostante la notazione insiemistica, ed non sono unione e intersezione di insiemi.

17 TEOREMI SULLA PROBABILITÀ TEOREMI SULLA PROBABILITÀ. Teorema della probabilità dellevento contrario. Il teorema della probabilità dellevento contrario può venire enunciato come segue: Dimostrazione. Se f è il numero di casi favorevoli dellevento E ed n il numero dei casi possibili, il numero dei casi favorevoli dellevento contrario è n – f, quindi si ha: Questo teorema può essere riformulato nel seguente modo: Levento contrario di un evento E ha probabilità La somma delle probabilità di un evento E e del suo contrario è uguale a 1: Si può anche dire che: La probabilità dellevento, contrario allevento E, è il complemento a 1 della probabilità dellevento E.

18 Esempio 1. Esempio 1. Si determini la probabilità di un evento E, sapendo che il suo contrario ha probabilità La probabilità di E è data da: Esempio 2. Esempio 2. Si calcoli la probabilità che lanciando contemporaneamente 4 monete si presenti almeno una testa. Il problema si può risolvere applicando il teorema dellevento contrario. Alla probabilità dellevento certo (che vale 1) si toglie la probabilità che si verifichino 4 croci: In questo modo si ricava:

19 Teorema della Probabilità Totale. Riprendiamo lesempio dei 12 dischetti numerati e consideriamo i due eventi incompatibili: E 1 = « estrazione di un multiplo di 5 » E 2 = « estrazione di un multiplo di 3 » Cerchiamo la probabilità dellevento unione: E = « esce un numero multiplo di 5 o di 3 » I casi favorevoli di E 1 sono 2, quelli di E 2 sono 4. Pertanto i casi favorevoli di E sono 6, mentre i casi possibili sono 12. La probabilità dellevento E è uguale alla somma delle due probabilità: Teorema della somma per eventi incompatibili. Dati due eventi E 1 e E 2 incompatibili, la probabilità dellevento unione è data dalla somma delle probabilità dei singoli eventi:

20 Esempio. Esempio. Unurna contiene 6 gettoni neri, 5 rossi e 4 bianchi. Estraendo a caso un gettone si può verificare uno dei seguenti eventi: E 1 = « estrazione di un gettone nero » E 2 = « estrazione di un gettone rosso » E 3 = « estrazione di un gettone bianco » Le probabilità sono: Calcoliamo ora la probabilità degli eventi: E 4 = « estrazione di un gettone nero o rosso » E 5 = « estrazione di un gettone rosso o bianco » E 6 = « estrazione di un gettone nero o rosso o bianco »

21 Teorema della somma per eventi compatibili. Se due eventi E 1 e E 2 sono compatibili, la probabilità del loro evento unione è uguale alla somma delle loro probabilità, diminuita della probabilità del loro evento intersezione: Consideriamo i 12 dischetti numerati e i seguenti eventi compatibili: E 1 = « estrazione di un numero pari » E 2 = « estrazione di un numero maggiore di 7 » I casi favorevoli di E 1 sono 6, quelli di E 2 sono 5. I casi favorevoli dellevento composto: E = « estrazione di un numero pari o maggiore di 7 » non sono 11 ma solo 8. Ciò è dovuto al fatto che vi sono casi favorevoli a entrambi gli eventi. Se sommiamo i casi favorevoli di E 1 e quelli di E 2,vengono considerati per due volte i casi di, mentre nellunione essi devono essere contati una sola volta. Possiamo concludere che i casi favorevoli di (eventi compatibili) si possono ottenere dalla somma di quelli di E 1 e quelli di E 2, sottraendo quelli di, cioè:

22 Esempio. Esempio. Dentro unurna vi sono 30 palline: 10 bianche numerate da 1 a 10, 10 rosse e 10 gialle numerate allo stesso modo. Calcoliamo la probabilità che, estraendone una a caso, venga estratta una pallina gialla o pari. Il numero totale di palline è 30. La probabilità che venga estratta una gialla è Le palline con numero pari sono 5 per ogni colore, quindi 15. La probabilità che venga estratto un numero pari è Gli eventi sono compatibili; i casi favorevoli a entrambi gli eventi (pallina gialla e pari) sono 5. La probabilità dellevento cercato è:

23 Teorema della Probabilità Condizionata. Supponiamo che un amico estragga un numero e, senza farcelo vedere, ci dica che esso è minore di 9, ossia che si è verificato levento E 2. Cosa si può dire della probabilità che il numero estratto sia multiplo di 3, ossia di ? Levento E 1 è condizionato dallevento E 2 : il fatto che E 2 si sia verificato ci dà alcune informazioni in più sulla probabilità che si verifichi E 1. Indichiamo la probabilità di E 1, calcolata nellipotesi che E 2 si sia verificato, con il simbolo. Chiameremo probabilità dellevento E 1 condizionata dallevento E 2. Esempio. Consideriamo il sacchetto con i gettoni numerati da 1 a 12 e i due eventi: E 1 = « esce un multiplo di 3 »E 2 = « esce un numero minore di 9 » Linsieme universo (casi possibili) è dato da quello dei risultati favorevoli a E 1 è quello dei risultati favorevoli a E 2 è La probabilità di E 1 è: Come si determina la probabilità di un evento che dipende da un altro evento?

24 Per calcolare la probabilità condizionata teniamo presente che: poiché supponiamo che levento E 2 si sia verificato, linsieme universo U per è dato dai risultati favorevoli a E 2, cioè i casi favorevoli devono essere ricercati solo allinterno del nuovo insieme universo; quindi sono dati dallintersezione tra i casi favorevoli per E 1 (insieme A) e quelli per E 2 (insieme B). Linsieme F dei casi favorevoli è dato da Dunque è data dal rapporto tra il numero di elementi di F e il numero di elementi di U : La probabilità di E 1 è, mentre quella di E 1 condizionata a E 2 è quindi: AB=U U casi favorevoli casi possibili

25 Esempio. Consideriamo un altro caso con i due eventi: E 1 = « esce un multiplo di 3 »E 3 = « esce un numero pari » Supponiamo che il nostro amico ci dica che ha estratto un numero pari, ossia che si è verificato levento E 3 rappresentato dallinsieme Se si è verificato levento E 3, i casi possibili che il numero uscito sia multiplo di 3, cioè dellevento E 1 condizionato dallevento E 3, sono 6 e quelli favorevoli 2, cioè quelli dellinsieme La probabilità di E 1 condizionata a E 3 è: A C U casi favorevoli casi possibili 3 La probabilità di E 1 è, e quella di E 1 condizionata a E 3 è quindi:

26 Dati due eventi E 1 e E 2, la probabilità che si verifichi levento E 1 condizionato alla realizzazione dellevento E 2 è data dal rapporto tra la probabilità dellevento intersezione di E 1 ed E 2 e la probabilità dellevento E 2. Due eventi, E 1 ed E 2 si dicono dipendenti se è diversa dalla probabilità condizionata. Gli eventi E 1 ed E 2 si dicono indipendenti se è uguale alla probabilità condizionata. Analogamente. Dati due eventi E 1 e E 2, la probabilità che si verifichi levento E 2 condizionato alla realizzazione dellevento E 1 è data dal rapporto tra la probabilità dellevento intersezione di E 1 ed E 2 e la probabilità dellevento E 1.

27 Esempio. Esempio. Si lanci una coppia di dadi: se la somma è 6, si determini la probabilità che uno dei due dadi abbia dato esito 2. Si tratta di determinare la probabilità di avere per somma 6, subordinata al fatto che su una delle due facce sia presente il numero 2. Consideriamo i due eventi:E 1 = « uscita faccia con il numero 2 » E 2 = « la somma dei punti delle facce è 6 » Poiché i casi possibili sono 36 e 11 sono le coppie che contengono almeno un 2, si ha: Le coppie che contengono un 2 e hanno come somma 6 sono 2 (infatti sono (2,4) e (4,2) ), mentre i casi possibili sono ancora 36. Quindi: In conclusione si ha: 13 5 secondo dado primo dado

28 Teorema della Probabilità Composta. Teorema del prodotto per eventi indipendenti. Se due eventi E 1 e E 2 sono indipendenti, la probabilità del loro evento intersezione è uguale al prodotto delle loro probabilità. La probabilità dellevento intersezione è denominata probabilità composta. Consideriamo un sacchetto che contiene tre gettoni con i numeri 1, 2, 3. Dal sacchetto estraiamo un gettone e poi un secondo gettone, dopo che il primo è stato rimesso nel sacchetto. Qual è la probabilità che in due estrazioni successive vengano estratti due numeri dispari? I casi possibili si possono ottenere mediante il seguente diagramma cartesiano. Per esempio la coppia (3,2) indica che è stato estratto prima il gettone 3 e poi il gettone 2. (1,3)(2,3)(3,3) (1,2)(2,2)(3,2) (1,1)(2,1)(3,1) seconda estrazione prima estrazione

29 Levento composto E = « estrazione di due numeri dispari » può essere visto come levento intersezione dei due eventi semplici: E 1 = « il primo numero è dispari » E 2 = « il secondo numero è dispari » E 1 ed E 2 sono indipendenti, infatti, dopo la prima estrazione, il gettone è rimesso nel sacchetto e la situazione iniziale viene ripristinata. Poiché i numeri dispari sono 2 e i casi possibili 3, la probabilità di E 1 ed E 2 è data da: I casi favorevoli allevento E corrispondono alle coppie (1;1), (1:3), (3;1), (3;3) quindi sono 4. I casi possibili sono 9 (come si può vedere nel diagramma cartesiano), quindi si ha: che è la probabilità dellevento intersezione di E 1 ed E 2.

30 Altro esempio. Altro esempio.Due urne contengono: Urna 1 : 5 palline bianche e 5 nere Urna 2 : 8 palline bianche e 4 nere Viene estratta una pallina da ogni urna. Qual è la prababilità che siano entrambe nere? Levento E = « vengono estratte due palline nere » è composto dai due eventi semplici: E 1 = « viene estratta una pallina nera dallurna 1 » E 2 = « viene estratta una pallina nera dallurna 2 » Si ha: Gli eventi sono indipendenti; quindi la probabilità dellevento intersezione è:

31 Teorema del prodotto per eventi dipendenti. Se due eventi E 1 e E 2 sono dipendenti, la probabilità del loro evento intersezione è uguale al prodotto della probabilità di E 1 per la probabilità di E 2 condizionata a E 1. Consideriamo ancora il sacchetto con tre gettoni che hanno i numeri 1, 2, 3 e gli eventi: E 1 = « il primo numero è dispari » e E 2 = « il secondo numero è dispari » ma supponiamo che, dopo la prima estrazione, il gettone non venga rimesso nel sacchetto. Gli eventi sono dipendenti: infatti, la probabilità del secondo evento non è più quella di prima, perché la composizione iniziale nel sacchetto risulta modificata. I due eventi semplici non hanno lo stesso insieme universo (casi possibili): nella prima estrazione U contiene 3 elementi, nella seconda ne contiene 2. Calcoliamo la probabilità condizionata, ossia la probabilità che si abbia E 2 supposto che sia avvenuto E 1. Se si è verificato E 1 significa che è stato estratto un numero dispari; quindi nel sacchetto rimangono due gettoni: il 2 e laltro numero dispari.

32 La probabilità di estrarre un numero dispari (evento E 1 ) è mentre la probabilità condizionata di estrarre un altro numero dispari è Calcoliamo, ora, la probabilità dellevento composto: E = « i numeri estratti sono entrambi dispari » La probabilità di E si ottiene applicando il Teorema del prodotto per eventi dipendenti, cioè moltiplicando la probabilità di E 1 per la probabilità di E 2 condizionata a E 1. Quindi: I casi possibili sono 6. I casi favorevoli sono 2, corrispondenti alle coppie (1;3) e (3;1).

33 Altro esempio.In unurna ci sono 8 palline bianche e 4 nere (fig. 1). Qual è la probabilità che, estraendo contemporaneamente due palline, esse siano entrambe bianche? Si può estrarre prima una pallina e poi, senza rimettere la prima nellurna, una seconda pallina. La probabilità che la prima sia bianca è: Situazione iniziale Situazione dopo la prima estrazione La probabilità che la seconda sia bianca, condizionata dal fatto che la prima estratta sia bianca, si ottiene pensando a unurna che contiene 7 palline bianche e 4 nere (fig. 2): fig. 1 fig. 2 La probabilità che entrambe le palline siano bianche è:


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