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Liceo Scientifico R. Donatelli - prof.ssa Mara Massarucci Emanuele Giorgi, classe VD Riccardo Calzoni, Tommaso Campi, Andrea Mattioli, classe VG Geodetiche.

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Presentazione sul tema: "Liceo Scientifico R. Donatelli - prof.ssa Mara Massarucci Emanuele Giorgi, classe VD Riccardo Calzoni, Tommaso Campi, Andrea Mattioli, classe VG Geodetiche."— Transcript della presentazione:

1 Liceo Scientifico R. Donatelli - prof.ssa Mara Massarucci Emanuele Giorgi, classe VD Riccardo Calzoni, Tommaso Campi, Andrea Mattioli, classe VG Geodetiche nella geometria iperbolica Poincarè e linfinito di Escher Geodetiche sul cono

2 Geometria Iperbolica La geometria iperbolica, anche chiamata geometria della sella o geometria di Lobachevsky, è una geometria non euclidea ottenuta rimpiazzando il postulato delle parallele * con il cosiddetto postulato iperbolico, che afferma: * Nei testi di geometria in uso nelle scuole oggi, il V postulato viene generalmente enunciato nei seguenti termini: Data una qualsiasi retta r ed un punto P non appartenente ad essa, è possibile tracciare per P una ed una sola retta parallela alla retta r data" "Data una retta L e qualche punto A non su L, almeno due rette distinte esistono che passano per A e sono parallele a L." In questo caso parallelo significa che le rette non intersecano L, anche se non hanno distanza costante da L.

3 Linversione circolare detta anche trasformazione per raggi vettori reciproci del piano

4 Consideriamo la circonferenza γ di centro O e raggio r; si definisce inversione circolare di centro O e di potenza k = r^2, o equivalentemente inversione circolare relativa a γ, la trasformazione che associa ad ogni punto P del piano il punto P' appartenente alla semiretta uscente da O e passante per P tale che: (Il numero k viene detto potenza dellinversione circolare) Tale trasformazione è inoltre biunivoca e involutoria: non è quindi necessario distinguere il piano dei punti P da quello dei punti P (piani sovrapposti).

5 LE PROPRIETA dellinversione circolare 1) I punti di γ si trasformano in se stessi. 2) Le rette passanti per O si trasformano in se stesse. Linversione circolare è dunque uninteressante trasformazione che non trasforma rette in rette!

6 3) Le rette non passanti per O si trasformano in circonferenze per O e viceversa. 4) Le circonferenze non passanti per O si trasformano in circonferenze. Usando le animazioni con Cabri è visibile che mentre P descrive una circonferenza con verso antiorario, il punto P descrive una circonferenza immagine con verso orario (e viceversa): linversione è una trasformazione che inverte lordinamento su una data curva chiusa

7 Circonferenze ortogonali

8 Rette del primo e del secondo tipo

9 RETTE PARALLELE ED IPERPARALLELE

10 Nel fascio di rette passanti per P, le rette r ed s incontrano la retta passante per A e B sul bordo di γ separano le rette incidenti alla retta AB da quelle che non si intersecano con questultima. Le rette r ed s sono così definite parallele alla retta AB. Tra le rette r ed s sono comprese infinite rette che non intersecano la retta AB. Tali rette si definiscono iperparallele alla retta AB. Possiamo dunque concludere che: SONO VALIDI TUTTI GLI ASSIOMI DI EUCLIDE TRANNE QUELLO DELLE PARALLELE!

11 Il triangolo iperbolico Nella geometria iperbolica non abbiamo il V postulato, non è quindi affatto scontato che gli angoli di un triangolo iperbolico si comportino come quelli di un triangolo euclideo. Spostando lorizzonte allinfinito si ritorna alla geometria euclidea!

12 Si può infatti verificare che: - La somma degli angoli di ogni triangolo è minore di 180°. - Se due triangoli hanno rispettivamente uguali i tre angoli, allora sono congruenti. Osserviamo che, mentre nella geometria euclidea i criteri di congruenza dei triangoli sono tre (due angoli e un lato, due lati e l'angolo compreso, tre lati), in quella iperbolica ce n'è uno in più. Inoltre, nella geometria iperbolica, non esiste la similitudine.

13 LE CONICHE

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16 LE GEODETICHE NEL PIANO DI POINCARE La distanza tra due punti nel piano di Poincarè è così definita: La lunghezza iperbolica di un segmento AB gode di alcune proprietà: è definita per ogni coppia di punti interni al cerchio. è sempre positiva o nulla. è nulla se e solo se il punto A coincide con B. possiede la proprietà additiva, ovvero se A, B, C appartengono allo stesso segmento e B sta tra A e C, allora la lunghezza di AB + la lunghezza di BC = la lunghezza di AC. la lunghezza di un segmento AB tende allinfinito se il punto B tende a Q oppure se il punto A tende a P.

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18 Poincarè e linfinito di Escher Grazie alla geometria iperbolica di Poincarè, Escher racchiude e delimita linfinito in un cerchio, e chiama la sua opera Cerchio limite IV

19 Provare a disegnare le rette passanti per altri punti: basta spostare A o B in altri punti di intersezione delle ali degli angeli

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21 Circle Limit III is likewise based on circular arcs, but in this case, instead of being orthogonal to the boundary circle, they meet it at equal angles of almost precisely 80. (Instead of a straight line of the hyperbolic plane, each arc represents one of the two branches of an equidistant curve.") Da THE TRIGONOMETRY OF ESCHER'S WOODCUT CIRCLE LIMIT III" H. S. M. COXETER

22 Geodetiche sul cono La via più breve per andare da B al punto F, non è larco BF sulla circonferenza di base del cono ma, come si vede sullo sviluppo nel P.V., è il segmento B'F'. Muovere il punto P ed osservare la traccia di H sul cono.

23 Geodetiche sul cono Una geodetica chiusa è la via più breve per partire da B, circumnavigare il cono e tornare in B stesso. Basta osservare il segmento B'B'', rappresentazione della stessa linea rossa, sul piano verticale,dove è sviluppato il cono.


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