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Corso di POPOLAZIONE TERRITORIO E SOCIETA 1 AA 2013-2014 LEZIONE 8f.

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1 Corso di POPOLAZIONE TERRITORIO E SOCIETA 1 AA LEZIONE 8f

2 AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE CORRELAZIONE relazione di concordanza nella variabilità Pearson <0 relazione negativa >0 relazione positiva relazione debole relazione forte AUTO si riferisce ai valori di una stessa variabile SPAZIALE implica un ordinamento Misura del grado di concordanza della variabilità tra valori vicini di una stessa variabile osservata su unità territoriali

3 Semi-varianza Descrive la variabilità di una variabile osservata su un determinato insieme di dati spaziali z(x)=valore della v.bile z in un dato luogo x z(x+h) = valore della v.bile z in un luogo che dista h da x n(h) = numero di coppie di valori la cui distanza è h ORDINAMENTO Nella forma più semplice: 0 = non contigue; 1 = contigue

4 CONTIGUITA Se si tratta di puntiUna possibile strategia: poligoni di Thiessen metodo che ad ogni dato puntuale associa unarea: lo spazio allinterno di quellarea assume i valori più simili a quello del valore puntuale che a quello di qualsiasi altro punto 1)Triangoli di Delaunay (vicino più vicino) 2)Rette perpendicolari costruite sui baricentri 3)Punti dincontro = vertici dei poligoni W

5 la contiguità spaziale è un fattore che interagisce con il fenomeno studiato -attraverso la forma e la dimensione delle unità -vincoli territoriali/amministrativi che definiscono lo spazio -esistenza di altri elementi di contatto In generale, w ij > 0 esprimono lintensità con cui la circostanza della contiguità agisce sulle determinazioni del fenomeno nelle unità i e j Operativamente, w ij > 0 indica, ad esempio, la lunghezza di un confine in comune ecc.

6 Nella forma più semplice w ij = 0,1 Il valore 1 indica che le aree sono contigue, cioè ad esempio sono adiacenti Il modello teorico Nel mondo reale la contiguità è connessione. Ad esempio, SI TRATTA SOLO DI IPOTESI

7 MISURA DELLAUTOCORRELAZIONE SPAZIALE In presenza di autocorrelazione spaziale positiva, valori simili della variabile risultano spazialmente raggruppati, mentre in presenza di autocorrelazione spaziale negativa, risultano spazialmente raggruppati i valori dissimili della variabile; lassenza di autocorrelazione spaziale indica una distribuzione casuale dei valori nello spazio. ESEMPIO: Variabile caratteristica del territorio URBANO (U)/RURALE (R) Contiguità possibili: UU p(UU)=1/4 UR p(UR)=1/4 RU p(RU)=1/4 RR p(RR)=1/4 Se f(UU+RR)>2/4 AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE POSITIVA Se f(UR+RU)>2/4 AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE NEGATIVA

8 Gli elementi necessari per il calcolo degli indici di autocorrelazione spaziale sono: -una misura della variabilità del fenomeno studiato (Cij) e -una matrice che rappresenti la configurazione del territorio considerato (Wij). Tutti gli indici di autocorrelazione spaziale fanno riferimento ad una statistica cross-product. MATRICE DI CONTIGUITA (connessione, ponderazione spaziale) MATRICE DI DISTANZA

9 Esempio: W ij abcdefghi a b c d e f g h i

10 abcdefghi a b c d e f g h i (cella x cella)

11 Il calcolo di per losservazione ( =2) rientra nella distribuzione pertanto non vi è ragione di affermare che la sua manifestazione sia inusuale; infatti la frequenza con cui compare è uguale a quella degli altri valori

12 Il calcolo di per losservazione ( =3) ha una bassa probabilità di essere attribuita al caso

13 ESEMPIO

14 In generale non si conosce la forma della distribuzione di Essa dipende dalla funzione di distanza utilizzata. Per alcune statistiche, casi particolari della forma generica Cross Product (Join-count, Moran, Geary), è invece possibile fare riferimento ad una distribuzione teorica Normale, sempre che il numero delle unità geografiche sulle quali viene misurata lautocorrelazione spaziale risulti abbastanza elevato. IN TAL CASO è POSSIBILE FARE IL TEST Per la statistica cross product la media: con: La somma di tutti gli elementi della matrice di contiguità La somma di tutti gli elementi della matrice di distanze

15 ….e la varianza: con:

16 ESEMPIO: 48=S 0 Wij

17 Cij = 0

18 Trattandosi di valori 0,1 Poiché la matrice è simmetrica

19 Pertanto: Wij*Cij

20 Applichiamo il test sulla Normale a due code: lipotesi nulla H 0 =non vi è autocorrelazione spaziale, cioè i valori sono distribuiti in modo casuale. Poiché al livello di significatività al 95%, i valori limite sono –1,96 e + 1,96, il valore osservato è nella zona di rifiuto. La variabile è affetta da autocorrelazione spaziale; Osservando I dati, direi positiva.

21 STATISTICA JOIN-COUNT Per variabili misurate su scala nominale, dicotomiche SUCCESSO/INSUCCESSO n1 = B n2 = W BB+WW+BW(WB)=J ESTRAZIONI INDIPENDENTI (BINOMIALE) Numero complessivo possibili coppie =n 2 numero atteso di coppie di questo tipo

22 ESTRAZIONI NON INDIPENDENTI Numero complessivo di possibili coppie

23 Ipotesi di Normalità In generale, al crescere del numero delle osservazioni le precedenti distribuzioni (binomiale e ipergeometrica) tendono alla Normale, pertanto è possibile fare riferimento alle seguenti formule riconducibili alla statistica Ad esempio, si consideri la variabile codificata nel seguente modo: B,W I legami tra le aree confinanti saranno dunque del tipo BB, BW, WB, WW. La statistica Join Count consiste nel confrontare il numero di legami osservati del tipo BB (o WW) oppure i legami del tipo BW (e WB) con quelli attesi.

24 Conta il numero di legami BB= */2 (definizione del modello rook) Conta il numero di legami WW= */2 Conta il numero di legami BW = /2

25 E possibile applicare il test z

26 ESEMPIO Si desidera verificare lesistenza di autocorrelazione spaziale nei dati; si utilizza la statistica JOIN COUNT per il calcolo del numero di legami discordi. Se la frequenza osservata di legami discordi è superiore a quella attesa, significa che valori dissimili di una stessa variabili tendono a presentarsi in unità contigue, quindi si è in presenza di autocorrelazione spaziale negativa. pertanto il numero osservato di legami di tipo (B,W) è /2=2. E(BW)=2*(2*2)/4=2 Il numero dei legami discordi (B,W) osservati è uguale a quello atteso pertanto vi è assenza di autocorrelazione spaziale

27 APPROCCIO GRAFICO URBANO =ROSSO RURALE=GIALLO NODI LEGAMI 0, 1 NON CONTIGUO/CONTIGUO GIALLO = RURALE+RURALE ROSSO=URBANO+URBANO BIANCO=DISCORDI Infatti, dalla matrice indicata, delle 14 celle in cui vi è connessione, si ricava: UU = 2 RR = 2 UR = 5 RU = 5 Quindi UR+RU=10>14/2, e dunque lautocorrelazione è negativa, cioè tendono a raggrupparsi aree con valori dissimili.

28 INDICE DI MORAN Applicabile a caratteri quantitativi ordinati su scala di intervallo o di rapporto Lindice I di Moran è analogo al coefficiente di correlazione e come esso varia da +1 (forte autocorrelazione spaziale) a 0 (assoluta casualità) a –1(forte autocorrelazione negativa)

29 ESEMPIO Wij

30 W ij C ij

31 Significatività statistica dellIndice di Moran Si dimostra che lIndice di Moran ha una distribuzione Normale con

32 ESEMPIO: riprendendo lesempio precedente significativo al livello 0,05 (1/20 di probabilità che questo valore sia dovuto al caso). In altri termini rigetto lipotesi nulla che non vi sia autocorrelazione spaziale.

33 ESEMPIO Il valore è significatico al 95%. Pertanto si deve rifiutare lipotesi nulla di assenza di autocorrelazione spaziale; poiché I=0,58, significa che vi è una notevole autocorrelazione spaziale positiva tra i valori della variabile X


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