Condizione necessaria di derivabilità se f è derivabile in x0 allora f è continua in x0 Dimostrazione se f è derivabile in x0 allora:
Continuità e derivabilità f è derivabile nel punto x0 f è continua nel punto x0 la derivabilità è condizione sufficiente per la continuità f è non continua nel punto x0 f è non derivabile nel punto x0 la continuità è condizione necessaria per la derivabilità
esempio f è continua nel punto f non è derivabile nel punto
esempio f è continua nel punto f non è derivabile nel punto
Punti di non derivabilità se f è continua in x0 non è detto che f sia derivabile in x0 x0 è un punto di flesso a tangenza verticale se flesso a tangenza verticale discendente flesso a tangenza verticale ascendente
Punti di non derivabilità se f è continua in x0 non è detto che f sia derivabile in x0 se x0 è una cuspide (punto di massimo) Cuspide (punto di massimo)
Punti di non derivabilità se f è continua in x0 non è detto che f sia derivabile in x0 se x0 è un punto di cuspide (punto di minimo) Cuspide (punto di minimo)
Punti di non derivabilità se f è continua in x0 non è detto che f sia derivabile in x0 se ed almeno uno dei due limiti sia finito, allora x0 è un punto angoloso
esercizio Determinare a e b in modo che f sia continua e derivabile su tutto R. Per tali valori disegnare la funzione e disegnare inoltre: continuità in 0 f continua in 0 derivabilità in 0
esercizio f derivabile in 0
Importante osservazione ricordiamo che se f è derivabile in x0 allora si ricava che: da cui si ricava: se f è derivabile in x0 allora la variazione assoluta è un infinitesimo di ordine maggiore o uguale al primo rispetto a
Esempi è un infinitesimo di ordine 1/3 rispetto a x da cui si ricava che f non è derivabile è un infinitesimo di ordine 1/2 rispetto a da cui si ricava che g non è derivabile
Teorema: derivazione della funzione inversa f continua e strettamente monotona in I Se f è derivabile in x0 appartenente ad I e allora esiste e si ha:
Esercizio Calcolare la derivata della funzione inversa in è un monotona in senso stretto in I da cui si ricava che la funzione inversa è derivabile
Esercizio Scambio di variabili: