Corso di Elettrotecnica (Allievi aerospaziali) Reti Elettriche Parte II Revisione aggiornata al 14 aprile 2011 (www.elettrotecnica.unina.it)

Corso di Elettrotecnica Lezione del giorno 11 aprile 2011

Circuiti in regime lentamente variabile

Bipoli elementari lineari

Bipoli resistenza e induttanza In regime stazionario equivale ad un corto circuito ideale

Bipoli capacità e generatori ideali di tensione e di corrente

Flusso di autoinduzuine La corrente i crea B(t) e il flusso di autoinduzione γ concatenato con la spira orientata γ. Se γ è immersa in un mezzo lineare: γ=f(i)=Li L è il coefficiente di autoinduzione [Henry].Se il verso di γ è concorde con il verso di i, per i>0 γ>0 e per i<0 γ<0 → L= γ/i>0

Esempi di realizzazione del bipolo induttanza Nella spira attraversata da i(t) insorge la f.e.m. e(t): in cui φγ è il flusso d’autoinduzione Li. LKT fornisce: v+e=Ri Trascurando R:

Esempi di realizzazione del bipolo induttanza

Esempio di realizzazione del bipolo capacità Dato il condensatore piano C la LKT fornisce: v-vC=Ri≈0 C v=vC v(t) q=cvC

Realizzazione di generatori di tensione sinusoidale

Richiami sulle funzioni periodiche Si dice periodica una funzione del tempo y=f(t) che assume valori che si ripetono a "intervalli" regolari T. Si ha: Si dice periodo il valore minimo di T (se esiste) che soddisfa tale relazione.

Richiami sulle funzioni periodiche La frequenza è il numero di cicli in un secondo: f=1/T [Hertz] La pulsazione è la quantità: ω=2πf=2π/T [Rad/sec] Si dice valore medio di f(t) nel periodo T la quantità: indipendente da t0. Se Fm=0, f(t) si dice alternata o alternativa. Si dice valore efficace di f: (valore quadratico medio)

Funzioni periodiche: significato fisico del valore efficace Regime periodico Regime stazionario p=vi=Ri2 P=VI=RI2 Energia assorbita nell’intervallo T I 2 regimi sono equivalenti se WP=WS

Circuiti in regime lentamente variabile Analisi dei circuiti in regime sinusoidale

Grandezze sinusoidali AM ampiezza α fase Valore efficace: Se f=50 Hz, T=20 ms, ω=100π rad/s

Richiami sui numeri complessi Rappresentazione geometrica nel piano complesso Rappresentazione algebrica z=x+jy dove j è l’unità immaginaria definita da j2=-1. x è la parte reale di z y la parte immaginaria z è indicato anche come (x ,y). P è l’immagine di z. Gli assi x (asse reale) e y (asse immaginario) contengono le immagini di tutti i numeri reali e puramente immaginari. z è l’affissa complessa di P

Richiami sui numeri complessi Complesso coniugato di z=x+jy: z*=x-jy Modulo di z: Argomento di z (anomalia del vettore OP) ρ e θ sono le coordinate polari di z che si può indicare anche come z=[ρ, θ] Rappresentazione vettoriale di z sul piano complesso

Richiami sui numeri complessi Rappresentazione trigonometrica di z=x+jy: z=ρ(cosθ+jsin θ) Per la formula di Eulero ejθ=cosθ+jsinθ si ha la formulazione esponenziale complessa di z: z=[ρ, θ]= ρ ejθ

Operazioni sui numeri complessi SOMMA

Prodotto di numeri complessi Rappresentazione algebrica Rappresentazione polare

Divisione di numeri complessi Rappresentazione algebrica Rappresentazione polare

I vettori rotanti La grandezza sinusoid. è compiutamente identificata da A, α e ω, come la grandezza: Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra le a(t) e le . Si ha:

I fasori Fissata ω, è compiutamente identificata da A e α, come il fasore definito da: Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra le a(t) nel dominio del tempo ed i fasori nel campo complesso. α

Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali b(t) è sfasata in ritardo rispetto ad a(t) dell’angolo φ

Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali a(t) è sfasata in anticipo rispetto a b(t) dell’angolo │φ│

Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali a(t) e b(t) sono in fase

Le operazioni sulle grandezze sinusoidali Date dove: O

Applicazione dei fasori nello studio delle reti in regime sinusoidale Date i1(t), i2(t) e i3(t) calcolare i(t).

Prodotto di una grandezza sinusoidale per una costante Date: ed una costante reale k>0, α

Derivata temporale di una grandezza sinusoidale Data α

Prodotto di un fasore per un numero complesso

Prodotto di grandezze sinusoidali

Bipolo resistenza in regime sinusoidale Dominio dei fasori Dominio del tempo impedenza

Bipolo induttanza in regime sinusoidale Dominio dei fasori Dominio del tempo impedenza Reattanza

Bipolo capacità in regime sinusoidale Dominio dei fasori Dominio del tempo Impedenza Reattanza

Bipolo R-L in regime sinusoidale Dominio del tempo LKT Dominio dei fasori

Bipolo R-L in regime sinusoidale φ=arctg(ωL/R) Dominio del tempo i(t) costituisce un integrale particolare dell’equazione differenziale

Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale) L’integrale generale dell’equazione differenziale: è dove ip(t) è un integrale particolare e λ è la radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata R+λL=0 (T=L/R costante di tempo) (trascurabile per t>5T)

transitorio (v(t) sinusoidale) Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale) Se ad es. R=10 Ω, X=ωL=10 Ω, per f=50 Hz ω=100π rad/s, L=0,1/π Henry, T=L/R=0,01/π=3,18 ms e dopo circa 16 ms il termine transitorio ke-t/T è trascurabile. Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per t=0+ . La corrente i nell’induttanza è una variabile di stato, per cui i(0+)=i(0-). Se I0=[i(t)]t=0- imponendo i(0+)=I0 si ha: Se il circuito è inizialmente a riposo I0=0

Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale)

Bipolo R-C in regime sinusoidale Dominio del tempo LKT Dominio dei fasori

Bipolo R-C in regime sinusoidale Dominio del tempo

transitorio (v(t) sinusoidale) Bipolo R-C in regime transitorio (v(t) sinusoidale) L’integrale generale dell’equazione differenziale è: dove vcp(t) è un integrale particolare e λ è la radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata RCλ+1=0 (T=RC costante di tempo)

transitorio (v(t) sinusoidale) Bipolo R-C in regime transitorio (v(t) sinusoidale) Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per t=0+ . La tensione vC è una variabile di stato, per cui vC(0+)=vC (0-). Se V0=[vC(t)]t=0- imponendo vC(0+)=V0 si ha: La i è data da: Se la capacità è inizialmente scarica V0=0.

Bipolo R-C in regime transitorio (v(t) sinusoidale)

Bipoli R-L e R-C in regime stazionario v(t)=V (costante) v(t)=V (costante) vR=0 vC=V vR=V vL=0 i=0 i=V/R

Risposta del bipolo R-L ad un gradino di tensione L’integrale generale dell’equazione è: T=L/R Imponendo i(0+)=i(0-)=0:

Risposta del bipolo R-C ad un gradino di tensione L’integrale generale dell’equazione è: T=RC Imponendo vc(0+)=vc(0-)=0 si ha k=-V.

Bipoli R,L,C in regime sinusoidale R=A B>0 B<0 R=A R=A

Ammettenza di un bipolo

Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale

Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale LKT LKT LKC LKC

Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Millmann Millmann

Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Bipolo di Thévenin in regime stazionario Bipolo di Thévenin in regime sinusoidale

Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Bipolo di Norton in regime stazionario Bipolo di Norton in regime sinusoidale

Impedenze in serie

Impedenze in parallelo

Bipolo R-L-C e risonanza Impedenza L’impedenza del bipolo è: il bipolo è in risonanza se: ω0 pulsazione di risonanza.

Bipolo R-L-C e risonanza Corrente Valore efficace della corrente Se Il valore massimo di I si ha per ω=ω0 ed è pari a V/R

Bipolo R-L-C e risonanza. Fase Lo sfasamento φ: φ<0 per ω<ω0 il bipolo è equivalente a un bipolo R-C φ=0 per ω=ω0 il bipolo è equivalente al bipolo R φ=0 per ω=ω0 il bipolo è equivalente al bipolo R

Bipolo R-L-C e risonanza Fattore di merito Per ω=ω0 si ha: ω=ω0 Q fattore di merito

Bipolo R-L-C e risonanza Selettività La potenza massima assorbita dal bipolo si ha in ω=ω0: Pmax=RI2 In A e B la potenza P=Pmax/2. Δω è la larghezza di banda. Quanto più stretta è la banda tanto più selettivo è il bipolo. Al diminuire di R cresce Q=ω0L/R e Δω diminuisce.

Bipolo R-L-C e risonanza Influenza di R