INSTABILITA’ Partendo da un segnale U in uscita, facendo il giro dell’anello, si ritrova lo stesso segnale che si automantiene. Se GH>1 il segnale di.

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1 INSTABILITA’ Partendo da un segnale U in uscita, facendo il giro dell’anello, si ritrova lo stesso segnale che si automantiene. Se GH>1 il segnale di uscita, ad ogni giro nell,anello si amplifica e quindi si ha una oscillazione che aumenta di ampiezza anche senza alcun ingresso U=UGH G H

2 INSTABILITA’ Qual è la situazione limite per l’instabilità? si verifica quando il modulo di GH ( |GH| ) e’ uguale a 1, e lo sfasamento è uguale a -180o. NB Sfasare di 180o corrisponde a moltiplicare per –1 , poiché il nodo di confronto moltiplica a sua volta per –1, il segnale risulta uguale a se stesso e si automantiene!!!!

3 tale punto è detto punto critico
modulo di GH ( |GH| uguale a 1, e sfasamento è uguale a -180o corrisponde al punto complesso -1+j0 tale punto è detto punto critico

4 Sistemi a sfasamento minimo
Una condizione necessaria, ma non sufficiente, perché un sistema sia stabile è che i poli e gli zeri della sua funzione di trasferimento ad anello aperto G(s)•H(s) siano a parte reale non positiva Tali sistemi sono detti a sfasamento minimo La suddetta condizione si presenta molto frequentemente nella pratica dei sistemi di controllo

5 Margini di stabilità Più il diagramma di Nyquist di un sistema stabile ad anello aperto si mantiene distante dal punto critico (-1,0), tanto più grande risulterà il margine di sicurezza per la stabilità del sistema ad anello chiuso. Si introducono pertanto due parametri detti margine di guadagno e margine di fase, atti a misurare la stabilità relativa di un sistema di controllo retroazionato.

6 Rappresenta il massimo aumento di sfasamento in ritardo
che può tollerare la funzione d’anello L(s)=G(s)H(s) prima che si raggiunga la condizione di instabilità. Margine di fase G(s) H(s) + - R(s) Y(s) E(s) L’angolo che manca alla fase della funzione d’anello per raggiungere π in corrispondenza della pulsazione di cross-over, cioè della pulsazione in cui il modulo di L(iω) è unitario. Il diagramma polare di L(iω) passa per il punto critico Il diagramma polare di L(iω) contiene il punto critico

7 Rappresenta di quanto l’ordinata sul
Rappresenta il massimo aumento di guadagno che può tollerare la funzione d’anello L(s)=G(s)H(s) prima che si raggiunga la condizione di instabilità. Margine di guadagno G(s) H(s) + - R(s) Y(s) E(s) Rappresenta di quanto l’ordinata sul diagramma di Bode del modulo di L(iω) sta al di sotto dell’asse ω in corrispondenza della pulsazione . Il sistema è stabile

8 Criterio di stabilità di Bode
CNES affinché un sistema retroazionato sia asintoticamente stabile è che il modulo della fdt ad anello aperto L(s), valutato alla pulsazione sia minore dell’unità, ovvero, ragionando in db, minore di 0.

9 Criterio di stabilità di Bode
CNES affinché un sistema retroazionato sia asintoticamente stabile è che la fase della fdt ad anello aperto L(s), valutata alla pulsazione di cross over , per cui il modulo di L(s) risulta unitario, cioè nullo in db, e misurata in senso antiorario, sia in valore assoluto minore di π.

10 Criterio di stabilità di Bode
Un sistema a sfasamento minimo è stabile se la funzione di trasferimento ad anello aperto G(s)•H(s), alla pulsazione di taglio wco, ha una fase con valore assoluto minore di 180°

11 Cos’è wco? wco è la pulsazione (detta di crossover) per la quale il modulo del guadagno vale 1; tale valore equivale a 0 dB e quindi wco è la pulsazione che si individua nell’intersezione fra il diagramma di Bode del modulo e l’asse delle pulsazioni w

12 Cos’è wco? Cos’è la pulsazione di crossover (o di taglio) wco?
|G(s)•H(s)| Questo è il valore di wco Cos’è la pulsazione di crossover (o di taglio) wco? w E questa è la fase della G(s)•H(s) alla pulsazione wco  w

13 Condizioni di stabilità
In realtà, il criterio di Bode individua condizioni di stabilità che spesso, nella pratica, sono insufficienti a garantire una adeguata stabilità dei sistemi di controllo Nella pratica è quindi utile introdurre due parametri che permettono una definizione più adeguata delle condizioni di stabilità di un sistema di controllo: il margine di fase il margine di ampiezza (o di guadagno)

14 Cos’è il margine di fase?
Il margine di fase può essere definito: mF = 180° + F(wco) Il margine di fase è quindi un angolo che si ricava dalla somma di 180° più la fase della funzione di trasferimento ad anello aperto alla pulsazione di crossover L’individuazione del margine di fase è ancora più semplice con i diagrammi di Bode, come nell’esempio che segue

15 Cos’è il margine di fase?
che, in questo esempio, vale -135° In corrispondenza di wco |G(s)•H(s)| Si considerino i diagrammi di Bode di una generica funzione G(s)H(s) Il margine di fase mF dell’esempio considerato, vale dunque 180°-135°=+45° w si trova F(wt)  w F(wt) -90° -135° mF -180°

16 Condizioni di stabilità
Si può dire in definitiva che il sistema di controllo è sufficientemente stabile se il margine di fase è maggiore di 30° (mF > 30°) Il sistema di controllo è, viceversa, instabile se il margine di fase è negativo (mF < 0°)

17 Cos’è il margine di ampiezza?
Il margine di ampiezza può essere definito: mgdB = 0 - |G(s)•H(s)|dB(F=-180°) Il margine di ampiezza è, cioè, la differenza fra 0 ed il valore in dB del modulo della G(s)•H(s) quando la fase della stessa funzione di trasferimento ad anello aperto è pari a -180° L’individuazione del margine di ampiezza è ancora più semplice con i diagrammi di Bode, come nell’esempio che segue

18 Cos’è il margine di ampiezza?
si rileva il modulo del guadagno in dB |G(s)•H(s)| Si considerino i diagrammi di Bode di una generica funzione G(s)H(s) |G(s)•H(s)|dB(F=-180°) w mgdB Il margine di ampiezza mgdB dell’esempio considerato, è dunque positivo che, in questo esempio, è negativo  In corrispondenza di F = -180° w -180°

19 Condizioni di stabilità
Concludendo, si può dire che un sistema di controllo (retroazionato) a sfasamento minimo (cioè avente poli e zeri della F.d.T. ad anello aperto a parte reale non positiva) è stabile se i margini di fase mF e di ampiezza mgdB sono entrambi positivi Per avere una adeguata stabilità bisogna però verificare che mF sia maggiore di 30° e che mgdB sia maggiore di 1020 dB