Dottorato di finanza aziendale. Complex systems in economics

Presentazione sul tema: "Dottorato di finanza aziendale. Complex systems in economics"— Transcript della presentazione:

1 Dottorato di finanza aziendale. Complex systems in economics
Dottorato di finanza aziendale. Complex systems in economics. State Preference Theory and Predictions. (a cura di Maurizio Fanni e Michele Ibba) Università di Trieste Facoltà di Economia. 2 marzo 2006

2 STATE PREFERENCE THEORY

3 Gli stati di natura. Il prezzo di un titolo può essere indagato sulla base di stati di natura che il titolo attraversa. Che sussistano diversi stati di natura è innegabile.

4 Quanti stati di natura esistono?
Questione più delicata è se sia possibile classificare gli stessi in modo inconfutabile. Certamente possono essere immaginate delle situazioni di contesto che siano interpretative, in ogni circostanza, della realtà (senza cioè che una parte di questa venga trascurata).

5 Alcuni esempi. Ad esempio, si può giudicare importante studiare la condotta del titolo rispetto all’andamento dell’economia (economia in espansione, in recessione e così via). Si richiede nella SPT che gli stati di natura siano mutualmente esclusivi. La presenza di diversi stati di natura è implicitamente supposta dalla teoria del rischio e dell’incertezza e di certo influisce sul valore dei titoli.

6 Gli stati di natura e gli analisti finanziari.
La previsione di differenti stati di natura può talora corrispondere a diversi possibili scenari presi in considerazione dagli analisti finanziari che indagano le prospettive di un’impresa o dei titoli da questa emessi.

7 Analogie con il processo di outlook.
Tale tipo di indagine presenta delle analogie con il processo di outlook delle agenzie di rating. Trattasi di un’opinione in merito alla probabile direzione in cui si muoverebbe il rating di una società nel caso in cui lo scenario ritenuto più probabile e posto a base dell’originario rating fosse messo in discussione.

8 Analogie con il processo di rating.
Ed ecco anche un’ipotesi che richiede approfondimenti. Ci si riferisce all’idea di qualificare come stati di natura le classi di rating in cui un titolo può essere collocato. Tale ipotesi sembra sufficientemente credibile quando si tratti di titoli obbligazionari.

9 Classi di rating e pay-off.
In occasione dell’ emissione di diverse trance di titoli obbligazionari aventi rating diversi (AAA, AA, A, BBB, etc.) ad ogni condizione sono associati diversi pay-off. Come vedremo, ad ogni stato di natura si associa un particolare pay-off. Ciò accadrebbe anche per l’ipotesi ora prospettata.

10 Principio di esclusione.
Come già avvertito si richiede nella SPT che gli stati di natura siano mutualmente esclusivi. Cioè, tutti possono manifestarsi, ma quando è il turno dell’uno, gli altri sono esclusi.

11 Coerenza con la realtà. In generale alla base della SPT c’è l’idea che esistano prezzi dei titoli coerenti con le condizioni reali. Detti prezzi “scontano” la presenza degli stati di natura. Perciò i prezzi di mercato dei titoli possono essere analizzati al fine di desumere la struttura per stati di natura.

12 Nasce l’idea dei pay-off.
Va da sé che ciò implica la conoscenza del valore a scadenza (uniperiodale) che si giudica di poter ottenere disfacendosi del titolo (o, comunque, con stima a valore di mercato), al verificarsi di uno degli stati di natura (e, cioè, per ciascun singolo stato).

13 Il prezzo del titolo nella SPT.
L’idea è che oggi il prezzo del titolo verrebbe a rappresentare una combinazione di valori di cessione che lo stesso riceverebbe in ciascuno stato di natura. Tale combinazione richiede la conoscenza di tassi di stima che, applicati ai valori di cessione, renda coerente il risultato cui si perviene rispetto al prezzo di mercato del titolo.

14 I prezzi originari o puri.
I pay-off per stato di natura sono oggetto di previsione da parte degli investitori. Detti pay-off rappresentano titoli puri condizionati dal loro stato di natura. L’acquisto di ciascun pay-off ha un prezzo (costo per unità di pay-off).

15 Mentre i pay-off e i relativi prezzi generano, per ciascuno stato di natura, una speciale attività finanziaria, un nuovo tipo di titolo che prende la denominazione di titolo originario o puro, i titoli di mercato possono essere interpretati quali portafogli di titoli originari o puri.

16 Un primo portafoglio di titoli puri
Ad esempio: supponiamo di stimare due stati di natura: 1 e 2. Consideriamo un titolo quotato sul mercato finanziario, il quale abbia un prezzo, oggi, coerente con il rischio, di euro 15: sia questo il titolo a. Se giudichiamo che al titolo a nello stato di natura 1 sia riconoscibile un valore di cessione (a scadenza) uniperiodale di euro 10, e nello stato di natura 2 sia riconoscibile un valore di cessione (a scadenza) uniperiodale di euro 20, possiamo scrivere la relazione seguente: (1)

17 Un secondo portafoglio di titoli puri
Allo stesso modo consideriamo il titolo di mercato b anch’esso quotato, il quale abbia un prezzo oggi, coerente con il rischio di euro 15. Se giudichiamo che al titolo b nello stato di natura 1 sia riconoscibile un valore di cessione (a scadenza) uniperiodale di euro 30, e nello stato di natura 2 sia riconoscibile un valore di cessione (a scadenza) uniperiodale di euro 10, possiamo scrivere la relazione seguente (2)

18 Estensione al portafoglio di mercato.
E così si farebbe per ciascun titolo di quel mercato e si potrebbe fare per il portafoglio di mercato che esprime la capitalizzazione dell’intero mercato.

19 Presenza di un budget monetario.
Le relazioni precedenti costituiscono la base elementare di multipli che vengono a generarsi quando del titolo a, b, ecc. si possiedono più azioni, ovvero quando si ponga, per un operatore, un volume d’investimento e, cioè la disponibilità di un capitale monetario (un budget) impiegabile nell’acquisto del titolo a, b, ecc.

20 Valori multipli. Ad esempio, se l’operatore dispone di euro 900, egli potrebbe acquistare sino a 60 azioni di a o di b (essendo 900:15=60). Allora, la (1) a le (2) diverrebbero e così via.

21 Obiettivi della ricerca.
La S.P.T. costituisce un territorio indagato in profondità attraverso strette connessioni con le funzioni di utilità degli operatori. La teoria ha sviluppato le condizioni di ottimizzazione del portafoglio, consentendo di individuare le migliori scelte di consumo e di investimento. In tale prospettiva è necessario conoscere il volume della ricchezza posseduta dagli operatori e le funzioni di utilità.

22 Obiettivi della ricerca.
Il nostro obbiettivo è diverso. Vogliamo indagare unicamente in merito alla predittività del modello di state preference theory. Ci prefiggiamo perciò disegnare la struttura ideale all’interno di un mercato perfetto ed efficiente e coerente con il CAPM.

23 Obiettivi della ricerca.
Pertanto prescinderemo dai budget degli operatori e ricondurremo il sistema di equazioni del modello di S.P.T. ad un sistema di equazioni aventi tutte il medesimo termine noto che verrà a rappresentare il prezzo di mercato di un quota ideale del portafoglio di mercato.

24 Articolazione dei pay-off.
I valori (indifferentemente unitari o multipli) corrispondenti ai c.d. pay-off (valori di cessione a scadenza uniperiodale) vengono ora indicati con i simboli

25 Il sistema di SPT. In generale, nasce il sistema che è rappresentabile come segue: (3)

26 Il mercato completo. Chiaramente il modello suppone, come ben evidenzia il sistema (3), che gli stati di natura presenti siano gli stessi per ciascun titolo del mercato. In tal senso, per costruire la logica della SPT occorrono almeno due stati di natura e due titoli coerenti. Se ciò accade acquisiscono significato i prezzi e

27 Il mercato completo. Cioè se il sistema è coerente, dati
e , emerge il posizionamento dei due titoli di mercato e, quindi, il posizionamento di tutti i titoli di quel contesto negli stessi stati di natura. Di qui l’utilità di utilizzare SPT in appoggio a CAPM. Se gli stati di natura sono, però, tre, occorre disporre di tre titoli coerenti e così via.

28 Definizione: il mercato si dice completo quando il numero di singoli titoli linearmente indipendenti è uguale al numero totale delle future condizioni alternative.

29 Il mercato completo con due titoli.
Per comprendere la questione, si consideri il caso dei due titoli, con i valori espressi della (1) e della (2). Sia il sistema seguente

30 Il mercato completo con due titoli.
Stabiliti i pay-off, il sistema diventa

31 Il mercato completo con due titoli.
Tale sistema consente di determinare i prezzi dei titoli puri come segue i quali sono coerenti con la linea del mercato

32 La retta del mercato ed i suoi punti.
Per

33 La retta del mercato ed i suoi punti.
25 J a 20 f b 10 Z 10 30 50

34 La retta del mercato ed i suoi punti.
Per interpretare il posizionamento reciproco dei portafogli di titoli puri conviene costruire la retta del mercato, come appare in figura.

35 La meccanica dei titoli puri.
Scelto il titolo a come parte del portafoglio di mercato si riporta sull’asse orizzontale il suo pay-off, valevole per lo stato di natura n. 1 e sull’asse verticale il suo pay-off valevole per lo stato di natura n. 2: a(10,20).

36 La meccanica dei titoli puri
Parimenti, scelto il titolo b che sia parte del portafoglio di mercato si riporta sull’asse orizzontale il suo pay-off valevole per lo stato di natura n. 1, e sull’asse verticale il suo pay-off valevole per lo stato di natura n. 2: b(30,10).

37 Un titolo non coerente. Supponiamo che su quel mercato sia presente un titolo c sottovalutato o sopravvalutato: ad esempio, si abbia c(25,10) oppure c(25,20). Attraverso operazioni di arbitraggio questo verrebbe ricondotto a collocarsi sulla retta come accadrebbe per la posizione espressa da e cioè c(25,12,5)

38 I riferimenti canonici
Sulla retta emergono alcuni punti canonici: le due intercette sull’asse verticale e su quello orizzontale; il posizionamento del titolo privo di rischio.

39 Lo stesso pay-off Si nota, qualsiasi sia l’inclinazione della retta, come il titolo privo di rischio presenti lo stesso valore di pay-off nei diversi stati di natura. Tale circostanza ne consente l’immediata percezione.

40 La lettura del tasso privo di rischio
Il confronto di detto valore con il prezzo di capitalizzazione permette di leggere la misura del tasso privo di rischio su base uniperiodale. Questo è tanto più elevato quanto più il prezzo di capitalizzazione è inferiore al pay-off, secondo la seguente legge

41 Un esempio 0,30 f + 0,60 f = 15 ma ciò significa che da cui
Così nel caso in esame: detto f il pay-off del titolo privo di rischio, identico nei due stati di natura, risulta 0,30 f + 0,60 f = 15 ma ciò significa che da cui

42 Quale tasso privo di rischio?
Nel caso in cui il prezzo di capitalizzazione coincida con il pay-off il tasso privo di rischio assume un valore nullo. La misura di Rf dipende così dall’inclinazione della retta del mercato.

43 Sia, ad esempio, la seguente nuova situazione dei titoli del mercato (per semplicità consideriamo direttamente i punti di intersezione della nuova retta con gli assi) da cui

44 Ne segue ma ciò significa che da cui

45 Determinazione delle probabilità
Una volta che si disponga di un mercato completo (due titoli e due stati di natura; tre titoli e tre stati di natura, ecc.), dall’osservazione della retta del mercato possono trarsi tutte le situazioni alternative, coerenti con il rischio.

46 Le basi del sistema. Giocano sempre un peso rilevante i punti di intersezione della retta con gli assi cartesiani. Nel primo esempio mostrato questi corrispondono al sistema:

47 Le basi del sistema. Nel secondo esempio mostrato questi corrispondono al sistema:

48 Come si perviene ad apprezzare le probabilità.
Immaginando di trovarsi su un mercato efficiente, per descrivere le probabilità per singolo portafoglio di titoli puri conviene dapprima ricercare per ogni elemento del portafoglio il tasso atteso di rendimento.

49 Costruiamo un esempio. Lavoriamo sul secondo sistema scegliendo sulla retta del mercato il seguente portafoglio, che indichiamo quale titolo di mercato J. e che è coerente per

50 La probabilità per stato di natura.
Ci poniamo le seguenti domande: qual è la probabilità di manifestazione del primo stato di natura? qual è la probabilità di manifestazione del secondo stato di natura?

51 Il tasso atteso di rendimento
Procediamo per gradi 1° step: ricerchiamo per ogni elemento del portafoglio (stato di natura) il tasso atteso di rendimento Primo stato Secondo stato

52 Valore attuale di un euro di pay-off
2° step: ricerchiamo il valore attuale di 1 euro contenuto nel pay-off di ciascuno stato Primo stato Secondo stato

53 Calcolo delle probabilità.
3° step: troviamo le probabilità. Dal momento che i valori attuali precedenti divergono dal prezzo puro (e cioè dal prezzo al quale è acquistabile oggi 1 euro di pay-off) deve essere Primo stato con Si constata che

54 Calcolo delle probabilità.
Secondo stato con Come può notarsi si ha Si constata che

55 Calcolo delle probabilità.
Noti i valori di tutti i coefficienti l’equazione data si trasforma nella seguente identità

56 Che consente di intuire l’espressione
Probabilità in termini di rapporto tra casi favorevoli e casi possibili dove

57 Ciascuna probabilità può essere interpretata come segue:
Primo stato Secondo stato e ciò in quanto

58 Ne segue con

59 Speranza matematica. Ora stabilito tutto questo, combinando le probabilità con i valori dei pay-off estremi (punti di incontro della retta del mercato con gli assi) può scriversi la seguente relazione notevole

60 Speranza matematica. e nell’esempio
0,4 ∙ 30 ∙ 0,5 + 0,6 ∙ 20 ∙ 0,5 = 12 Va da sé che la precedente relazione ha valore generale per qualunque punto della retta del mercato. È cioè applicabile permutando liberamente le probabilità con il vincolo di , con ciò individuando ogni volta un diverso portafoglio di titoli puri.

61 Un caso a tre condizioni.
Si voglia, ora, analizzare un caso analogo a quello precedentemente esposto in cui figuri un terzo titolo e si delinei un terzo scenario. Si consideri il seguente sistema: [1]

62 Un caso a tre condizioni.
Risolvendo il sistema, si trova che ha un valore pari a I pay-off relativi al terzo titolo consentono di determinare la sua posizione nel nuovo spazio di coordinate ( , , ). Il suo vettore posizione sarà in questo modo:

63 Con riferimento ai punti nello spazio determinati dalle coordinate espresse nel sistema [1], (30,0,0), (0,20,0), (10,5,3), è facile tracciare il piano Π su cui essi giacciono. Ricordando alcune semplici nozioni di geometria, si scrive l’equazione scalare del piano Π come segue:

64 L’equazione del piano può essere nella forma cartesiana implicita:
Mettendo a sistema l’equazione del piano Π con le equazioni degli assi coordinati si trovano i punti di intersezione :

65 Analogamente, mettendo a sistema l’equazione del piano Π con le equazioni dei piani ortogonali coordinati, si ottengono le equazioni delle rette di intersezione: intersezione con il piano P.O intersezione con il piano P.V intersezione con il piano P.L

66 È facile convincersi che l’equazione della retta ottenuta come intersezione del piano Π con il piano orizzontale sia la stessa della portfolio line ottenuta nel secondo esempio svolto su due dimensioni. Nell’esempio appena mostrato, il piano Π svolge il ruolo della portfolio line, per tanto può essere denominato “portfolio surface”. I risultati ottenuti sono riportati nel grafico seguente.

67 W1 W2 W3 O Π W2= − 2/3W 1+ 20 W3 = − 6/25 W 2+ 7,2 W3= − 9/25 W 1 + 7,2

68 In una siffatta rappresentazione, la posizione del titolo privo di rischio è individuata dal punto di intersezione della retta di equazione con il piano Π. Le sue coordinate sono: (4,5, 4,5, 4,5). Questa indagine è interessante. Ricordiamo che la determinazione del tasso privo di rischio nel caso di due titoli di mercato a due stati di natura si ottiene dati i prezzi puri nel modo seguente:

69 da cui discende: parimenti nel caso di tre titoli si avrà: Perché questo accada deve essere

70 Quanto sopra esposto determina la condizione generale per cui , ossia:
Quando si opera con tre titoli e tre stati di natura emerge un piano su cui giacciono i titoli di mercato (portafogli di titoli puri). Detto piano è una funzione degli stati di natura.

71 Dati i pay-off corrispondenti alle intersezioni del piano con gli assi coordinati e i prezzi puri, è possibile conoscere l’intera gamma di portafogli teorici di titoli puri, variando le probabilità per gruppi di tre. Tale gamma è caratterizzata da un sistema probabilistico coerente con il rischio, e, infatti, pur potendo variare nelle sue componenti, non muta il valore di mercato dei titoli.

72 Ne segue che ogni sistema di mercato completo può essere disaggregato in tre distinte matrici:
la matrice dei titoli puri la matrice delle intercette la matrice delle probabilità. La matrice delle probabilità si comporta come un gruppo di sostituzione.

73 La determinazione del portafoglio di mercato nel piano Π.
Il portafoglio di mercato rappresenta la totalità dei titoli “reali esistenti”. I titoli di mercato, come visto, possono essere espressi come una combinazione dei vari titoli puri. È allora possibile ridefinire il portafoglio di mercato come la combinazione di tutti i titoli puri.

74 Se sono i pay-off determinati alla fine del periodo al verificarsi di una delle tre possibili condizioni, ciascun possessore di un portafoglio di mercato riceverà una quota della ricchezza totale pari a: se si verifica il primo stato se si verifica il secondo stato se si verifica il terzo stato Dove è una costante, e indica la ricchezza totale relativa allo stato considerato.

75 Determinare la composizione del portafoglio di mercato di qualsiasi investitore è perciò semplice.

76 SPT e CAPM La capacità predittiva del modello trattato si accentua riuscendo a sviluppare la sua connessione con il CAPM. Facciamo riferimento al modello SPT a tre dimensioni. Risulta possibile individuare sulla portfolio surface i punti esprimenti il tasso privo di rischio ed il portafoglio di mercato.

77 SPT e CAPM Sulla portfolio surface, per i loro punti, passa la capital market line. Ed ecco la relazione del β: