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VINCENZO FANO E GINO TAROZZI Giornate urbinati della ricerca 23 novembre 2010.

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1 VINCENZO FANO E GINO TAROZZI Giornate urbinati della ricerca 23 novembre 2010

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9 ARISTOTELE ( )PITAGORA ( )

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11 Nella proposizione 117 del libro X degli Elementi di Euclide viene riportata una dimostrazione dellincommensurabilità del lato con la diagonale del quadrato. Si tratta con ogni probabilità di unaggiunta posteriore. Aristotele cita negli Analitici una dimostrazione molto simile.

12 Nel Menone platonico, Socrate insegna a uno schiavo che il quadrato che ha aria doppia di un quadrato dato non ha il lato doppio.

13 Il quadrato costruito sulla diagonale ha laria doppia.

14 Propongo una versione modificata di quella che è forse stata la prima dimostrazione dellincommensurabilità.

15 1. Ipotizziamo per assurdo che il lato azzurro del quadrato rosso sia lungo m punti e che la sua diagonale verde sia lunga n punti. PRIMO PASSO

16 Dunque n è più grande di m. Riduciamo la frazione n/m ai minimi termini, in modo che n non sia divisibile per m. 2. I punti dellarea del quadrato in azzurro sono il doppio di quelli dellarea del quadrato in rosso e il quadruplo di quelli del quadrato piccolo. SECONDO PASSO

17 Perciò larea del quadrato azzurro è divisibile per 4 e quella del quadrato rosso per Quindi il lato del quadrato rosso ha un numero pari di punti e lo stesso vale per il lato del quadrato azzurro. TERZO PASSO

18 4. Ma il lato azzurro è uguale a quello verde. E quello verde è la diagonale del quadrato rosso. Dunque n e m sono entrambi pari, contro lipotesi che avevamo ridotto n/m ai minimi termini. QUARTO PASSO

19 Perciò è impossibile che il lato e la diagonale di un quadrato siano costituite da un numero finito di punti indivisibili. CONCLUSIONE

20 In un certo senso solo con lopera di Cantor, nel 1880 il problema dellincommensurabilità verrà risolto, con la sua teoria dei numeri transfiniti.

21 Se i punti di un segmento sono infiniti, C, si può costruire una corrispondenza biunivoca fra due segmenti di lunghezza diversa. IL SEGMENTO VERDE E QUELLO ROSSO SONO EQUINUMEROSI


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