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Dai numeri figurati al concetto di incommensurabilità: un possibile percorso! di Gemma Gallino e Stefania Serre.

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Presentazione sul tema: "Dai numeri figurati al concetto di incommensurabilità: un possibile percorso! di Gemma Gallino e Stefania Serre."— Transcript della presentazione:

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2 Dai numeri figurati al concetto di incommensurabilità: un possibile percorso! di Gemma Gallino e Stefania Serre

3 Pitagora

4 I numeri figurati triangolari 1 3 6

5 quadrati I numeri figurati triangolari 6

6 Si può osservare che: Triangolo ottusangolo: Triangolo acutangolo: Triangolo rettangolo:

7 La matematica si discosta dalle quel che cè, altre materie perché dimostra non solo quello che sicuramente non cè ma anche E utile ricordare che…….

8 SCOPRIAMO IN QUALE MODO SIA POSSIBILE!

9 Teniamo presenti i numeri figurati di Pitagora

10 Se il lato del quadrato si può ricoprire con un numero intero di palline......si potrà fare lo stesso per la diagonale?

11 Se il lato del quadrato si può ricoprire con un numero intero di palline......si potrà fare lo stesso per la diagonale?

12 Questa non è una soluzione accettabile: non si possono lasciare spazi vuoti!

13 Non funziona!

14 E se usassimo delle palline più piccole? Non funziona!

15 E se usassimo delle palline più piccole?

16 Non funziona!

17 E se usassimo delle palline ancora più piccole?

18 Non funziona! Si riuscirà in qualche modo?

19 GIOCO della SCACCHIERA

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21 Eliminiamo i due angoli bianchi della scacchiera

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23 …proviamo a coprire tutta la scacchiera Utilizzando questi tasselli...

24 …proviamo a coprire tutta la scacchiera

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28 E possibile coprire tutta la scacchiera ?

29 Osserviamo che:

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31 Ogni tassello copre una casella bianca e una nera Abbiamo eliminato dalla scacchiera due caselle bianche Quante sono le caselle bianche? Quante sono le caselle nere?

32 Sono in numero diverso! Resteranno sempre libere due caselle nere. Osserviamo che: Quante sono le caselle bianche? Quante sono le caselle nere? Ogni tassello copre una casella bianca e una nera Abbiamo eliminato dalla scacchiera due caselle bianche

33 Abbiamo dimostrato che: E impossibile ricoprire questa scacchiera con i nostri tasselli

34 - Argomentare logicamente i passaggi effettuati. - Partire da proprietà accettate come vere. Dimostrare in matematica significa: - Arrivare a una conclusione sicuramente vera : E impossibile ricoprire questa scacchiera con i nostri tasselli

35 Siamo passati da un approccio sperimentale... …a un approccio matematico! …proviamo... …dimostriamo che è impossibile...

36 Lato e diagonale di un quadrato sono è impossibile trovare ununità di misura che sia contenuta un numero intero di volte tanto nel lato quanto nella diagonale incommensurabili :

37 Lato e diagonale di un quadrato sono è impossibile trovare ununità di misura che sia contenuta un numero intero di volte tanto nel lato quanto nella diagonale incommensurabili :

38 Lato e diagonale di un quadrato sono è impossibile trovare ununità di misura che sia contenuta un numero intero di volte tanto nel lato quanto nella diagonale incommensurabili :

39 Rivediamo la dimostrazione proposta nel dialogo tra Ippaso e i pitagorici.

40 Supponiamo che: il rapporto tra diagonale e lato del quadrato sia m :n n m

41 Supponiamo che: il rapporto tra diagonale e lato del quadrato sia m :n b a A D C B il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b

42 Supponiamo che: b a A D C B 2b2=4c22b2=4c2 Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele a 2 =2b 2 a 2 è pari a è pari b è dispari a/b è ridotta ai minimi termini a=2ca2=4c2a2=4c2 Teorema di Pitagora b2=2c2b2=2c2 b 2 è pari b è pari

43 il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b Supponiamo che: b a A D C B Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele a 2 è pari a è pari b è dispari a/b è ridotta ai minimi termini a=2ca2=4c2a2=4c2 2b2=4c22b2=4c2 b2=2c2b2=2c2 b 2 è pari b è pari a 2 =2b 2 Teorema di Pitagora

44 il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b Supponiamo che: b a A D C B Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele a 2 è pari a è pari b è dispari a/b è ridotta ai minimi termini a=2ca2=4c2a2=4c2 2b2=4c22b2=4c2 b2=2c2b2=2c2 b 2 è pari b è pari a 2 =2b 2 Teorema di Pitagora contraddizione

45 Se supponiamo che: lato e diagonale siano commensurabili cioè che esista una unità di misura contenuta a volte nella diagonale e b volte nel lato... b a

46 …. questa affermazione ci porterà a delle conclusioni contraddittorie. Se supponiamo che: lato e diagonale siano commensurabili b è disparib è pari contraddizione

47 Se supponiamo che: lato e diagonale siano commensurabili lato e diagonale sono incommensurabili Perciò dobbiamo concludere che: …. questa affermazione ci porterà a delle conclusioni contraddittorie.

48 Una dimostrazione matematica, deve possedere tre qualità: inevitabilità, Deve somigliare a una costellazione semplice e ben delineata, non a un ammasso stellare sparso nella Via Lattea. per essere soddisfacente, (Hardy) imprevedibilità,economia. fine.

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50 Queste diapositive fanno parte di un percorso sul significato di dimostrazione intitolato Leredità di PITAGORA elaborato per il CE.SE.DI Torino Le illustrazioni sono tratte dal libro di Anna Parisi Numeri magici e stelle vaganti ed. Lapis


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